整数规划
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第五章
整数规划
1．整数规划的基本概念 ． 2．分枝定界法解整数规划 ． 3．０－１规划 ． 4. 指派问题的解法
第一节
概
述
人们探讨某些线性规划问题， 人们探讨某些线性规划问题 ， 有时必须把 全部或部分决策变量限制为整数。 全部或部分决策变量限制为整数。这样的线性 整数规划。 规划问题，通常称为整数规划 规划问题，通常称为整数规划。作为线性规划 的特殊情况， 的特殊情况，整数规划也有最小化和最大化之 此外，整数规划还可以分成纯整数规划 纯整数规划和 别。此外，整数规划还可以分成纯整数规划和 混整数规划。二者的区别在于： 混整数规划。二者的区别在于：前者的决策变 量必定全部取整数 而后者的决策变量只是部 全部取整数。 量必定全部取整数。而后者的决策变量只是部 分取整数。 分取整数。
销售店 B1 B2 B3
表 2－1 － 需求量（ 周 需求量（箱/周） 50 60 30
表 2－2 －
产量 制药厂 (箱/周) 箱周 A1 A2 A3 A4 50 70 20 20
运资(元 箱 运资 元/箱) B1 3 10 1 4 B2 2 5 3 5模型
设 ： 制 药厂 i 每周运到销售店 j 的药品为 ij 药厂A 每周运到销售店B 的药品为x 箱（i = 1 , 2 ，3 ，4 ； j = 1 ，2 ，3 ）；
其中： 称为整数条件。 其中：“ xk´为整数 ” ,称为整数条件。
整数规划问题及其数学模型一律简称为整数 规划；整数规划删去整数条件之前和之后， 规划；整数规划删去整数条件之前和之后，分别 称为原整数规划 相应线性规划。 原整数规划和 称为原整数规划和相应线性规划。 按照四舍五入的规则， 按照四舍五入的规则，使相应线性规划的最 优解整数化，在通常情况下， 优解整数化，在通常情况下，不能作为原整数规 划的最优解。这可以从两个方面来说明： 划的最优解。这可以从两个方面来说明： 其一、相应线性规划的最优解化整后，已经 其一、相应线性规划的最优解化整后， 不是原整数规划的可行解， 不是原整数规划的可行解，当然也就不可能是它 的最优解。 的最优解。 其二、相应线性规划的最优解化整后，虽然 其二、相应线性规划的最优解化整后， 是原整数规划的可行解， 是原整数规划的可行解，但是有可能不是它的最 优解。 优解。
例2是最大化纯整数规划，其相应线性规划为： 是最大化纯整数规划，其相应线性规划为：
Max y = 5 x1 + 8 x2 5 x1 + 9 x2 ≤ 45 x1 + x2 ≤ 6 x , x = 0, 1, 2, L 1 2
Max y = 5 x1 + 8 x2 5 x1 + 9 x2 ≤ 45 x1 + x2 ≤ 6 x ,x ≥0 1 2
解：建立数学模型 设：在下周产品A1和 A2分别生产 x1 合和 x2 合， 在下周产品
百元。 的数学模型为： 所获利润为 y 百元。例2的数学模型为： 的数学模型为
表 2-3
产 品 A1 A2 利 润 百元/合 （百元 合） 5 8 加工时间（小时 合 加工时间（小时/合） B1 5 9 B2 1 1
∑C
j =1
n
j
xj
n ∑ aij x j ≤ (= , ≥ ) bi (i = 1, 2 ,L) j =1 x j ≥ 0 ( j = 1, 2 , L , n ) xk ′为整数 k = 1, 2 , L ; k ≤ n; xk ′ ∈ { x1, x2 L ,xn }
0 , 表示不在 A3兴建新厂 , u= 1, 表示在 A3兴建新厂 ;
0 , 表示不在 A4 兴建新厂 , v= 1, 表示在 A4 兴建新厂 ;
两个老厂A 及一个新厂A 两个老厂 1 和 A2 及一个新厂 3 和 A4 每周的 总费用为 y 元。新厂厂址的选择应该确保 y 达到 最小值。于是， 是目标函数， 最小值。于是，y 是目标函数，xij、u 和 v 都是 决策变量。它们之间的关系可以表述为： 决策变量。它们之间的关系可以表述为： y = 3x11 + 2x12 + 3x13（A1每周的运费） 每周的运费） + 10 x21 + 5x22 + 8x23（A2每周的运费） 每周的运费） + x31 + 3x32 +10x33（A3每周的运费） 每周的运费） + 4x41 + 5x42 + 3x43（A4每周的运费） 每周的运费） + 100 u（A3每周的操作费） （ 每周的操作费） + 120 v（A4每周的操作费） （ 每周的操作费）
例1 某医药公司现有两个制药厂 1和A2， 某医药公司现有两个制药厂A 三个销售店B 三个销售店 1、B2 和 B3。公司打算由两个拟 中选择一个，来兴建新厂。 建的制药厂A 建的制药厂 3 和 A4 中选择一个，来兴建新厂。 各销售店每周药品需求量见表2-1。 各制药厂 各销售店每周药品需求量见表 。 每周药品产量和每箱药品运费见表2-2。 每周药品产量和每箱药品运费见表 。 新厂 投产后， 估计每周的操作费（ 含折旧费） 投产后 ， 估计每周的操作费 （ 含折旧费 ） ： 元 元 A3 是100元，A4 是120元。在两个拟建的制药 厂中，应当选择哪个呢？ 厂中，应当选择哪个呢？
下面求解这个相应线性规划。我们采用图解法。 下面求解这个相应线性规划。我们采用图解法。
图解法:
相应线性规划的可行域R为图中的四边形 相应线性规划的可行域 为图中的四边形OABC， 为图中的四边形 并且最优解是： 3.75） 按照四舍五入的规则， 并且最优解是：(x1, x2)=（2.25, 3.75）。按照四舍五入的规则， 将这个最优解整数化，就得到： 将这个最优解整数化，就得到：(x1, x2)=（2，4）。它对应于 却位于可行域R 不是例2 点D，而点 却位于可行域 之外，因此,D（2，4）不是例2的 ，而点D却位于可行域 之外，因此, 可行解。从而， 也不可能是例2的最优解。容易断定， 可行解。从而，D（2，4）也不可能是例2的最优解。容易断定， 才是例2的最优解。 点 A（0，5）才是例2的最优解。
Max y = 5 x1 + 8 x 2 5 x1 + 9 x 2 ≤ 45 x1 + x 2 ≤ 6 x , x = 0, 1, 2, L 1 2
最大化纯 最大化纯 整数规划 整数规划
一般地，可把整数规划的数学模型写为： 一般地，可把整数规划的数学模型写为：
Min (Max ) y =
第二节
分枝定界法
分枝定界法可以用来求解纯整数规划 和混整数规划， 和混整数规划，它是整数规划的常用 解法。 解法。 分枝定界法可以划分为三步。 分枝定界法可以划分为三步。现就每 一步的主要特征、 一步的主要特征、理论依据和具体作 法说明如下： 法说明如下：
第一步
主要特征就是放宽。指通过删去整数条件，把原整 主要特征就是放宽 指通过删去整数条件， 放宽。 数规划化成相应线性规划 相应线性规划。 数规划化成相应线性规划。 实现放宽之后， 能够得到三个结论： 实现放宽之后 ， 能够得到三个结论 ： 原整数规 真包含于相应线性规划的可行域 划的可行域真包含于 相应线性规划的可行域。 划的可行域 真包含于 相应线性规划的可行域 。 不失 一般性， 单就最大化问题而言（ 下同） 一般性 ， 单就最大化问题而言 （ 下同 ） ， 原整数规 划的最优值不大于 相应线性规划的最优解。 不大于相应线性规划的最优解 划的最优值 不大于 相应线性规划的最优解 。 若相应 线性规划的最优解满足原整数规划的整数条件， 线性规划的最优解满足原整数规划的整数条件 ， 则 它也是原整数规划的最优解。 它也是原整数规划的最优解。 第一步的具体作法是： 首先， 删去整数条件 整数条件， 第一步的具体作法是 ： 首先 ， 删去 整数条件 ， 把原整数规划化成相应线性规划 其次， 化成相应线性规划。 把原整数规划 化成相应线性规划 。 其次 ， 求解相应 线性规划。 最后， 线性规划 。 最后 ， 如果相应线性规划的最优解也是 原整数规划的最优解， 那么整个计算过程即告结束； 原整数规划的最优解 ， 那么整个计算过程即告结束 ； 否则，便转入第二步。 否则，便转入第二步。
(4) 每个销售店每周药品的需求量能够得到各制药 厂的充分供应： 厂的充分供应：
x11 + x21 + x31 + x41 = 50 x12 + x22 + x32 + x42 = 60 x13 + x23 + x33 + x43 = 30
（5）药品箱数一定取非负值： ）药品箱数一定取非负值：
xij ≥ 0
的数学模型为： 例1的数学模型为： 的数学模型为
Min y = 3x11 + 2x12 + 3x13 + 10 x21 + 5x22 + 8x23+ x31 + 3x32 +10x33+ 4x41 + 5x42 + 3x43+100u+120v x11 + x 12 + x13 ≤ 50 x21 + x 22 + x23 ≤ 70 x31 + x 32 + x33 ≤ 20u 本数学模型 x41 + x 42 + x43 ≤ 20v 属于最小化 x11 + x21 + x31 + x41 = 50 混整数规划 x12 + x22 + x32 + x42 = 60 x13 + x23 + x33 + x43 = 30 xij≥0 ( i=1, 2, 3, 4 ; j =1, 2, 3 ) u, v = 0, 1
x1 + x2 =6 最优解 A ( 0, 5 ) A
x2
D(2, 4) B(2.25, 3.75) 5x1 +9 x2 = 45
R
o
C ( 6, 0 )
9
x1
求解整数规划不宜采用枚举法。 求解整数规划不宜采用枚举法。 整数规划常用的解法是分枝定界法和割平面法。 整数规划常用的解法是分枝定界法和割平面法。 分枝定界法 一旦遇到仅含两个决策变量的情况，可以采用 一旦遇到仅含两个决策变量的情况， 图解法， 图解法，其计算方法与线性规划图解法大同小 异，就不再赘述。 就不再赘述。
约束条件： 约束条件：
(1) u 和 v 全是 0－1 变量： u, v = 0, 1 － 变量： 选择一个来兴建新厂： (2) 由 A3 和 A4 选择一个来兴建新厂： u + v =1 (3) 每个制药厂每周运到各销售店的药品不会超 过其产量： 过其产量： x11 + x 12 + x13 ≤ 50 x21 + x 22 + x23 ≤ 70 x31 + x 32 + x33 ≤ 20 u x41 + x 42 + x43 ≤ 20 v
第二步
主要特征是分枝 分枝。 主要特征是 分枝 。 从相应线性规划的最优解 中 ， 任意选择一个不满足原整数规划整数条件的 决策变量x 决策变量 j=bj。 以使相应线性规划增加一个约束 。 条件； 小于b 的最大整数（ 大于b 条件 ； xj 小于 bj 的最大整数 （ 或 xj 大于 bj 的最小整 因而得到两个新的线性规划， 称为分枝 分枝。 数 ） ， 因而得到两个新的线性规划 ， 称为 分枝 。 其中每个新的线性规划，统称为枝 其中每个新的线性规划，统称为枝。 经过分枝之后，就有如下结论： 经过分枝之后，就有如下结论：原整数规划的 可行域真包含于两枝可行域的并集。 真包含于两枝可行域的并集 可行域真包含于两枝可行域的并集。原整数规划的 最优解不大于两枝最优值的最大值。 不大于两枝最优值的最大值 最优解不大于两枝最优值的最大值。 第二步的具体作法是： 第二步的具体作法是：先列出两枝各自的数学 模型，后计算每枝的最优解和最优值。 模型，后计算每枝的最优解和最优值。
例2 某医疗器械厂生产 1和A2两种产品。出 医疗器械厂生产A 两种产品。
厂前，每种产品均须经过两道工序：先用机器B 厂前，每种产品均须经过两道工序：先用机器 1 制造，后由机器 包装。 制造，后由机器B2包装。每台产品的利润和加工 时间见表2-3。在下周内，机器 时间见表 。在下周内，机器B1和B2分别可以 使用45小时和 小时 使用 小时和6小时。问怎样安排下周的生产任 小时和 小时。 务，才能使所获利润最大？ 才能使所获利润最大？
整数规划
1．整数规划的基本概念 ． 2．分枝定界法解整数规划 ． 3．０－１规划 ． 4. 指派问题的解法
第一节
概
述
人们探讨某些线性规划问题， 人们探讨某些线性规划问题 ， 有时必须把 全部或部分决策变量限制为整数。 全部或部分决策变量限制为整数。这样的线性 整数规划。 规划问题，通常称为整数规划 规划问题，通常称为整数规划。作为线性规划 的特殊情况， 的特殊情况，整数规划也有最小化和最大化之 此外，整数规划还可以分成纯整数规划 纯整数规划和 别。此外，整数规划还可以分成纯整数规划和 混整数规划。二者的区别在于： 混整数规划。二者的区别在于：前者的决策变 量必定全部取整数 而后者的决策变量只是部 全部取整数。 量必定全部取整数。而后者的决策变量只是部 分取整数。 分取整数。
销售店 B1 B2 B3
表 2－1 － 需求量（ 周 需求量（箱/周） 50 60 30
表 2－2 －
产量 制药厂 (箱/周) 箱周 A1 A2 A3 A4 50 70 20 20
运资(元 箱 运资 元/箱) B1 3 10 1 4 B2 2 5 3 5模型
设 ： 制 药厂 i 每周运到销售店 j 的药品为 ij 药厂A 每周运到销售店B 的药品为x 箱（i = 1 , 2 ，3 ，4 ； j = 1 ，2 ，3 ）；
其中： 称为整数条件。 其中：“ xk´为整数 ” ,称为整数条件。
整数规划问题及其数学模型一律简称为整数 规划；整数规划删去整数条件之前和之后， 规划；整数规划删去整数条件之前和之后，分别 称为原整数规划 相应线性规划。 原整数规划和 称为原整数规划和相应线性规划。 按照四舍五入的规则， 按照四舍五入的规则，使相应线性规划的最 优解整数化，在通常情况下， 优解整数化，在通常情况下，不能作为原整数规 划的最优解。这可以从两个方面来说明： 划的最优解。这可以从两个方面来说明： 其一、相应线性规划的最优解化整后，已经 其一、相应线性规划的最优解化整后， 不是原整数规划的可行解， 不是原整数规划的可行解，当然也就不可能是它 的最优解。 的最优解。 其二、相应线性规划的最优解化整后，虽然 其二、相应线性规划的最优解化整后， 是原整数规划的可行解， 是原整数规划的可行解，但是有可能不是它的最 优解。 优解。
例2是最大化纯整数规划，其相应线性规划为： 是最大化纯整数规划，其相应线性规划为：
Max y = 5 x1 + 8 x2 5 x1 + 9 x2 ≤ 45 x1 + x2 ≤ 6 x , x = 0, 1, 2, L 1 2
Max y = 5 x1 + 8 x2 5 x1 + 9 x2 ≤ 45 x1 + x2 ≤ 6 x ,x ≥0 1 2
解：建立数学模型 设：在下周产品A1和 A2分别生产 x1 合和 x2 合， 在下周产品
百元。 的数学模型为： 所获利润为 y 百元。例2的数学模型为： 的数学模型为
表 2-3
产 品 A1 A2 利 润 百元/合 （百元 合） 5 8 加工时间（小时 合 加工时间（小时/合） B1 5 9 B2 1 1
∑C
j =1
n
j
xj
n ∑ aij x j ≤ (= , ≥ ) bi (i = 1, 2 ,L) j =1 x j ≥ 0 ( j = 1, 2 , L , n ) xk ′为整数 k = 1, 2 , L ; k ≤ n; xk ′ ∈ { x1, x2 L ,xn }
0 , 表示不在 A3兴建新厂 , u= 1, 表示在 A3兴建新厂 ;
0 , 表示不在 A4 兴建新厂 , v= 1, 表示在 A4 兴建新厂 ;
两个老厂A 及一个新厂A 两个老厂 1 和 A2 及一个新厂 3 和 A4 每周的 总费用为 y 元。新厂厂址的选择应该确保 y 达到 最小值。于是， 是目标函数， 最小值。于是，y 是目标函数，xij、u 和 v 都是 决策变量。它们之间的关系可以表述为： 决策变量。它们之间的关系可以表述为： y = 3x11 + 2x12 + 3x13（A1每周的运费） 每周的运费） + 10 x21 + 5x22 + 8x23（A2每周的运费） 每周的运费） + x31 + 3x32 +10x33（A3每周的运费） 每周的运费） + 4x41 + 5x42 + 3x43（A4每周的运费） 每周的运费） + 100 u（A3每周的操作费） （ 每周的操作费） + 120 v（A4每周的操作费） （ 每周的操作费）
例1 某医药公司现有两个制药厂 1和A2， 某医药公司现有两个制药厂A 三个销售店B 三个销售店 1、B2 和 B3。公司打算由两个拟 中选择一个，来兴建新厂。 建的制药厂A 建的制药厂 3 和 A4 中选择一个，来兴建新厂。 各销售店每周药品需求量见表2-1。 各制药厂 各销售店每周药品需求量见表 。 每周药品产量和每箱药品运费见表2-2。 每周药品产量和每箱药品运费见表 。 新厂 投产后， 估计每周的操作费（ 含折旧费） 投产后 ， 估计每周的操作费 （ 含折旧费 ） ： 元 元 A3 是100元，A4 是120元。在两个拟建的制药 厂中，应当选择哪个呢？ 厂中，应当选择哪个呢？
下面求解这个相应线性规划。我们采用图解法。 下面求解这个相应线性规划。我们采用图解法。
图解法:
相应线性规划的可行域R为图中的四边形 相应线性规划的可行域 为图中的四边形OABC， 为图中的四边形 并且最优解是： 3.75） 按照四舍五入的规则， 并且最优解是：(x1, x2)=（2.25, 3.75）。按照四舍五入的规则， 将这个最优解整数化，就得到： 将这个最优解整数化，就得到：(x1, x2)=（2，4）。它对应于 却位于可行域R 不是例2 点D，而点 却位于可行域 之外，因此,D（2，4）不是例2的 ，而点D却位于可行域 之外，因此, 可行解。从而， 也不可能是例2的最优解。容易断定， 可行解。从而，D（2，4）也不可能是例2的最优解。容易断定， 才是例2的最优解。 点 A（0，5）才是例2的最优解。
Max y = 5 x1 + 8 x 2 5 x1 + 9 x 2 ≤ 45 x1 + x 2 ≤ 6 x , x = 0, 1, 2, L 1 2
最大化纯 最大化纯 整数规划 整数规划
一般地，可把整数规划的数学模型写为： 一般地，可把整数规划的数学模型写为：
Min (Max ) y =
第二节
分枝定界法
分枝定界法可以用来求解纯整数规划 和混整数规划， 和混整数规划，它是整数规划的常用 解法。 解法。 分枝定界法可以划分为三步。 分枝定界法可以划分为三步。现就每 一步的主要特征、 一步的主要特征、理论依据和具体作 法说明如下： 法说明如下：
第一步
主要特征就是放宽。指通过删去整数条件，把原整 主要特征就是放宽 指通过删去整数条件， 放宽。 数规划化成相应线性规划 相应线性规划。 数规划化成相应线性规划。 实现放宽之后， 能够得到三个结论： 实现放宽之后 ， 能够得到三个结论 ： 原整数规 真包含于相应线性规划的可行域 划的可行域真包含于 相应线性规划的可行域。 划的可行域 真包含于 相应线性规划的可行域 。 不失 一般性， 单就最大化问题而言（ 下同） 一般性 ， 单就最大化问题而言 （ 下同 ） ， 原整数规 划的最优值不大于 相应线性规划的最优解。 不大于相应线性规划的最优解 划的最优值 不大于 相应线性规划的最优解 。 若相应 线性规划的最优解满足原整数规划的整数条件， 线性规划的最优解满足原整数规划的整数条件 ， 则 它也是原整数规划的最优解。 它也是原整数规划的最优解。 第一步的具体作法是： 首先， 删去整数条件 整数条件， 第一步的具体作法是 ： 首先 ， 删去 整数条件 ， 把原整数规划化成相应线性规划 其次， 化成相应线性规划。 把原整数规划 化成相应线性规划 。 其次 ， 求解相应 线性规划。 最后， 线性规划 。 最后 ， 如果相应线性规划的最优解也是 原整数规划的最优解， 那么整个计算过程即告结束； 原整数规划的最优解 ， 那么整个计算过程即告结束 ； 否则，便转入第二步。 否则，便转入第二步。
(4) 每个销售店每周药品的需求量能够得到各制药 厂的充分供应： 厂的充分供应：
x11 + x21 + x31 + x41 = 50 x12 + x22 + x32 + x42 = 60 x13 + x23 + x33 + x43 = 30
（5）药品箱数一定取非负值： ）药品箱数一定取非负值：
xij ≥ 0
的数学模型为： 例1的数学模型为： 的数学模型为
Min y = 3x11 + 2x12 + 3x13 + 10 x21 + 5x22 + 8x23+ x31 + 3x32 +10x33+ 4x41 + 5x42 + 3x43+100u+120v x11 + x 12 + x13 ≤ 50 x21 + x 22 + x23 ≤ 70 x31 + x 32 + x33 ≤ 20u 本数学模型 x41 + x 42 + x43 ≤ 20v 属于最小化 x11 + x21 + x31 + x41 = 50 混整数规划 x12 + x22 + x32 + x42 = 60 x13 + x23 + x33 + x43 = 30 xij≥0 ( i=1, 2, 3, 4 ; j =1, 2, 3 ) u, v = 0, 1
x1 + x2 =6 最优解 A ( 0, 5 ) A
x2
D(2, 4) B(2.25, 3.75) 5x1 +9 x2 = 45
R
o
C ( 6, 0 )
9
x1
求解整数规划不宜采用枚举法。 求解整数规划不宜采用枚举法。 整数规划常用的解法是分枝定界法和割平面法。 整数规划常用的解法是分枝定界法和割平面法。 分枝定界法 一旦遇到仅含两个决策变量的情况，可以采用 一旦遇到仅含两个决策变量的情况， 图解法， 图解法，其计算方法与线性规划图解法大同小 异，就不再赘述。 就不再赘述。
约束条件： 约束条件：
(1) u 和 v 全是 0－1 变量： u, v = 0, 1 － 变量： 选择一个来兴建新厂： (2) 由 A3 和 A4 选择一个来兴建新厂： u + v =1 (3) 每个制药厂每周运到各销售店的药品不会超 过其产量： 过其产量： x11 + x 12 + x13 ≤ 50 x21 + x 22 + x23 ≤ 70 x31 + x 32 + x33 ≤ 20 u x41 + x 42 + x43 ≤ 20 v
第二步
主要特征是分枝 分枝。 主要特征是 分枝 。 从相应线性规划的最优解 中 ， 任意选择一个不满足原整数规划整数条件的 决策变量x 决策变量 j=bj。 以使相应线性规划增加一个约束 。 条件； 小于b 的最大整数（ 大于b 条件 ； xj 小于 bj 的最大整数 （ 或 xj 大于 bj 的最小整 因而得到两个新的线性规划， 称为分枝 分枝。 数 ） ， 因而得到两个新的线性规划 ， 称为 分枝 。 其中每个新的线性规划，统称为枝 其中每个新的线性规划，统称为枝。 经过分枝之后，就有如下结论： 经过分枝之后，就有如下结论：原整数规划的 可行域真包含于两枝可行域的并集。 真包含于两枝可行域的并集 可行域真包含于两枝可行域的并集。原整数规划的 最优解不大于两枝最优值的最大值。 不大于两枝最优值的最大值 最优解不大于两枝最优值的最大值。 第二步的具体作法是： 第二步的具体作法是：先列出两枝各自的数学 模型，后计算每枝的最优解和最优值。 模型，后计算每枝的最优解和最优值。
例2 某医疗器械厂生产 1和A2两种产品。出 医疗器械厂生产A 两种产品。
厂前，每种产品均须经过两道工序：先用机器B 厂前，每种产品均须经过两道工序：先用机器 1 制造，后由机器 包装。 制造，后由机器B2包装。每台产品的利润和加工 时间见表2-3。在下周内，机器 时间见表 。在下周内，机器B1和B2分别可以 使用45小时和 小时 使用 小时和6小时。问怎样安排下周的生产任 小时和 小时。 务，才能使所获利润最大？ 才能使所获利润最大？