第一章3伯努利方程
伯努利方程三种形式公式
伯努利方程三种形式公式
第一种形式的伯努利方程公式是：
P₁ + 1/2ρv₁² + ρgh₁ = P₂ + 1/2ρv₂² + ρgh₂
其中P₁和P₂分别表示两个位置的压力，ρ表示流体的密度，v₁和v₂表示两个位置的流速，g为重力加速度，h₁和h₂表示两个位置的高度。
这个公式描述了流体在两个位置之间能量守恒的关系。
等式左边的第
一项表示压力能，第二项表示动能，第三项表示单位质量的重力势能。
等
式右边的三项表示相应位置的压力能、动能和重力势能。
这个公式适用于
流体在不完全关闭的管道、管道两端处于同一高度的情况。
第二种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² + ρgh = const
这是一个简化形式的伯努利方程，它将两个位置的参数合并成一个常数。
这个公式的物理意义是，当流体在流动过程中没有受到外界力的作用时，流体的总能量保持不变。
这个公式适用于理想的水平管道、无摩擦的
流动。
第三种形式的伯努利方程公式是：
P + 1/2ρv² = const
这是伯努利方程的最简形式，它忽略了重力势能的影响。
这个公式适
用于理想的非粘性流体在无重力情况下的流动，如气体等。
这三种形式的伯努利方程公式分别适用于不同的流体力学问题。
选择
适用的公式取决于具体的流动条件和需要分析的问题。
无论选择哪种形式，
伯努利方程都提供了一个重要的工具，可以帮助我们研究流体力学中的能量转换和守恒。
§1-2伯努利方程及其应用
§1-2伯努利方程及其应用
例1.3 如图1—5所示,液槽内离开液面h处开一小孔。液体密度为ρ, 液面上方是空气,它被液槽盖封闭住,其绝对压强为p,在液槽侧面小 孔处的压强为大气压强p0。当p>>p0时,试证明小孔处的液流速度 为： v2 = 2( p − p0 ) / ρ
解:将整个流体当作一个流管,用 v1和v分别表示水面处和 2 孔口处的流速。由连续性方程知 v 2 且因为S1>>S2,故 v 2 >> v1 可以近似地取 v1 = 0
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
大 学 物 理
主讲教师：杨宏伟
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
一 、 伯努利方程 伯努利方程是由瑞士物理学家伯努利 （D.Bernoulli）提出来的，是理想流体 作稳定流动时的基本方程，对于确定流 体内部各处的压力和流速都有很大的实 际意义,在水利、造船、航空航天等部门 有着广泛的应用。
第一章 流体的运动
§1-2伯努利方程及其应用
例1.2水管里的水在压强P=4×105Pa的作用下流入房 间，水管内直径为2.0cm,管内水的流速为4m/s。引入 到5m高处二层楼浴室的水管，内直径为1.0cm，试求浴 室内水的流速和压强（已知水的密度ρ=1000kg/m3）。 解：由连续性原理知
2
S1v1 = S 2 v2
A
B
将整个管子作流管，由连续性方 程 S1v1 = S 2 v2 以及伯努利方程 (1-5) 2
C
D E
p + 0.5 ρv = 恒量
图1—6 空吸作用 图1—6 空吸作用
第一章 流体的运动 由于 S1 >> S 2
第一章3伯努利方程
u22
hf
实际流体的伯努利方程反映了流体流动过程中各种能量的转化 和守恒规律。
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式中各项的物理意义
gz、 u2 、 p 处于某个截面上的流体本身所具有
2 的能量 We和ΣHf： 流体流动过程中所获得或消耗的能量 We：输送设备对单位质量流体所做的有效功， Ne：单位时间输送设备对流体所做的功，即功率
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五、柏努利方程式的应用
1、应用柏努利方程的注意事项
1）作图并确定衡算范围 根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方
向，定出上下游截面，以明确流动系统的衡算范围。 2）截面的截取
两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流体必须是 连续的，所要求未知量应在两截面或两截面之间，截面的
第一章 流体流动
第二节流体流动 的基本知识
一、流量与流速 二、稳态流动与非稳态流动 三、连续性方程式 四、柏努力方程式 五、柏努力方程式的应用
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一、流量与流速
1.流量：单位时间内流过管截面的流体质量或体积。 质量流量 Qm (kg/s) 体积流量 Qv (m3/s)
2.平均流速：单位时间内流过单位截面积的流体体积。 简称流速，用u表示，单位m/s。
二、稳态流动与非稳态流动
稳态流动： 流动系统中流体的流速、压强、
密度等有关物理量仅随位置而改 流
动
变，而不随时间而改变。
系
统
非稳态流动：上述物理量不仅随位置而且随时 间 变化的流动。
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三、连续性方程式
在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算
衡算范围：取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管段。 对于连续稳定系统：
伯努利方程
伯努利方程在解决涉及流体的问题时，能量守恒的说法是有用的。
对于稳定流动中的非粘性可压缩流体，单位体积的压力、势能和动能之和在任何点都是恒定的。
（1）伯努利原理：在沿着水平流线的点上，较高压力区域具有较低的流体速度，而较低压力区域具有较高的流体速度。
沿着流体流动流线导出的欧拉方程的一种特殊形式通常被称为伯努利方程：（2）能量方程对于可压缩流的稳态，欧拉方程变为E=单位质量流量的能量（J/kg,Btu/slug）p=流体中的压力（Pa，psi）ρ=流体密度（kg/m3）v=流体速度（m/s，ft/s）Eloss=单位质量流量的能量损失（J/kg，Btu/slug）（2）head方程（1）可以修改为h=head（m液柱，ft液柱）γ=ρ g=流体比重（N/kg，lbf/段塞）方程（2）通常被称为“head（头）”，因为所有元素都有长度单位。
注意！-头部单元是以流动流体的密度为基准的。
对于其他装置，如mm水柱，检查速度压力头。
（3）动态压力（1）和（2）是可压缩流中稳态的伯努利方程的两种形式。
如果我们假设引力可以忽略不计——仰角很小——那么伯努利方程可以修改为：其中：p=压力（Pa，psi）p loss=压力损失（Pa，psi）p d=1/2 ρv^2=动压（Pa，psi）通常将流速分量称为流体流动的动态压力。
注意！-流速增加会降低压力——流速降低会增加压力。
这种现象可以在文氏管流量计中观察到，其中收缩区域的压力降低并在收缩区域之后恢复。
在测量滞流压力的皮托管中也可以观察到这种现象。
滞流压力是速度分量为零的地方。
（4）伯努利方程和储罐通过小孔的流动液体从储罐中通过靠近底部的孔口流动。
伯努利方程可以适用于从表面（1）到孔口（2）的流线：通过乘以g，并假设能量损失可以忽略-（4）可以转换为：流速如果：和（根据连续性方程）那么流出孔口的速度可以表示为（5）排气罐对于内部压力等于外部压力的通风罐p1=p2（5b）并且表面积比孔口面积大得多A1>>A2（5c）-则可以将等式5修改为v2=（2gh）^1/2（6）“从水箱中出来的速度等于自由物体下落距离h的速度。
伯努利方程公式
伯努利方程公式介绍在物理学和工程学中，伯努利方程是描述流体在不同位置之间的速度、静压力和动压力之间关系的基本方程。
它是基于质量守恒和能量守恒的原理推导出来的。
伯努利方程广泛应用于流体力学、飞行器设计、液压系统等领域。
公式伯努利方程的数学表达式如下所示：P + (1/2)ρv^2 + ρgh = constant其中：•P 表示流体在某一点的静压力（单位为帕斯卡）；•ρ 表示流体的密度（单位为千克/立方米）；•v 表示流体在某一点的速度（单位为米/秒）；•g 表示重力加速度（单位为米/秒^2）；•h 表示流体在某一点的高度（单位为米）。
解释伯努利方程可以解释为流体在不同位置之间能量的转化。
方程的左边分别表示流体在某一点的静压力、动压力和重力势能的总和，而右边表示这些能量在流体运动过程中保持不变。
在没有外力作用的情况下，伯努利方程说明了流体在不同位置之间速度、压力和高度之间的相互关系。
应用伯努利方程在实际应用中具有广泛的意义。
下面是一些常见的应用场景：管道流动在管道流动中，伯努利方程可以用来计算流体在不同位置之间的压力变化情况。
通过测量流体的速度和压力，可以利用伯努利方程来推算出管道中的流速、管道的截面积等重要参数。
飞行器设计在飞行器设计中，伯努利方程可以帮助工程师计算飞机的升力和阻力。
通过将飞机的速度、空气密度和升力系数代入伯努利方程，可以确定飞机的升力和阻力大小，从而优化飞行器的设计。
液压系统在液压系统中，伯努利方程可以用来推算液体在管道中的压力变化。
通过测量流体的速度和压力，可以利用伯努利方程来优化液压系统的性能，例如提高液压系统的效率和减少压力损失。
总结伯努利方程是描述流体运动中速度、压力和高度之间关系的重要公式。
它通过质量守恒和能量守恒的原理，揭示了流体在不同位置之间能量的转化和平衡。
伯努利方程在物理学和工程学中具有广泛的应用，是研究流体力学和优化系统设计的基础工具。
通过深入理解和应用伯努利方程，可以对流体运动和力学系统进行准确的分析和预测。
伯努利方程
p c T v
t
51
二、空穴现象(气穴 )
• 1. 定义:由于压力降到某一值，而有气泡产生的现象称之为气
穴现象。
• 2. 原因:局部压力降低（漩涡、涡流）。
• 3. 后果:减少流量，引起流量、压力波动，使容积效率降低。
•
破坏连续性和动态性能，产生振动、噪声、冲击，
47
一、液压冲击
4. 冲击压力
1）冲击现象描述 2）冲击压力计算
根据动量方程
如果流速v0不是降到零，而是降到
v1，则上式变为: p c(v0 v1 ) c4v8
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3）非完全冲击情况下的冲击压力
p c T v
t
50
3）非完全冲击情况下的冲击压力
• 关闭阀门时间 t T 2时l 称为完全冲击， t>T时为非完全冲击。 c
8
（一）理想液体的伯努利方程 ——能量方程
• 1. 压力所做的功
9
（一）理想液体的伯努利方程 ——能量方程
• 2. 重力所做之功 • 以水平面为基准面。
10
（一）理想液体的伯努利方程 ——能量方程
• 3. 动能变化 在稳定流动中，AB段液体的动能是不变的， AB段运动到AB段时动能的增量仅是AA段液 体移到BB段动能的变化，故动能的增量为：
6）适用于不可压缩流体，＝const（对于气体在v<50m/s时也可
按该式计算，如果v>50m/s且要求精度较高时，则应按可压缩 流体的伯努利方程计算，这时要计算气体的内能）。 7）基准面是水平面。
19
伯努利方程的应用例题
• 2. 应用举例 例：图3-8为文氏流量计
流体力学伯努利方程
流体力学伯努利方程
伯努利方程是描述流体在不可压缩、不黏性、定常流动条件下的基本定律。
它揭示了流体在沿流线运动过程中的能量转换关系。
下面按照列表的形式对伯努利方程进行说明：
1. 方程含义
伯努利方程是流体力学中的一条重要方程，描述了流体在沿流线运动过程中压强、速度和位能之间的关系。
2. 方程表达式
伯努利方程的数学表达式为：
P + 1/2ρv^2 + ρgh = constant
其中，P是流体的压强，ρ是流体的密度，v是流体的流速，g是重力加速度，h是流体元素的高度。
3. 方程意义
伯努利方程可以从宏观上描述流体的能量守恒。
方程右侧的常数表示流体在不同位置的能量之和，包括压力能、动能和重力势能。
4. 各项参数的意义
- 压强：表示流体内部分子之间的相互作用力，与流体的密度和速度无关，随着深度增加而增加。
- 速度：表示单位时间内流体通过某一横截面的体积，与压强和密度的乘积成反比。
- 位能：表示流体元素相对于某一参考点的高度，与压强和速度无关，
随着高度增加而增加。
5. 应用范围
伯努利方程可应用于多个领域，如工程中的管道流动、航空航天中的
气体动力学、水力学中的水流运动等。
总结：
伯努利方程是流体力学的重要定律，可以揭示流体在运动过程中压强、速度和位能之间的转换关系。
它广泛应用于工程、航空航天、水力学
等领域，对于理解和分析流体运动具有重要意义。
化工原理第一章流体流动知识点总结
第一章流体流动一、流体静力学：压强，密度，静力学方程二、流体基本方程：流速流量，连续性方程，伯努利方程三、流体流动现象：牛顿粘性定律，雷诺数，速度分布四、摩擦阻力损失：直管，局部，总阻力，当量直径五、流量的测定：测速管，孔板流量计，文丘里流量计六、离心泵：概述，特性曲线，气蚀现象和安装高度8■绝对压力：以绝对真空为基准测得的压力。
■表压/真空度 ：以大气压为基准测得的压力。
表 压 = 绝对压力 － 大气压力真空度 = 大气压力 － 绝对压力1.1流体静力学1.流体压力/压强表示方法绝对压力绝对压力绝对真空表压真空度1p 2p 大气压标准大气压：1atm = 1.013×105Pa =760mmHg =10.33m H 2O112.流体的密度Vm =ρ①单组分密度),(T p f =ρ■液体：密度仅随温度变化（极高压力除外），其变化关系可从手册中查得。
■气体：当压力不太高、温度不太低时，可按理想气体状态方程计算注意：手册中查得的气体密度均为一定压力与温度下之值，若条件不同，则需进行换算。
②混合物的密度■ 混合气体：各组分在混合前后质量不变，则有nn 2111m φρφρφρρ+++= RTpM m m=ρnn 2211m y M y M y M M +++= ■混合液体：假设各组分在混合前后体积不变，则有nmn12121w w w ρρρρ=+++①表达式—重力场中对液柱进行受力分析：液柱处于静止时，上述三力的合力为零:■下端面所受总压力 A p P 22=方向向上■上端面所受总压力 A p P 11=方向向下■液柱的重力)(21z z gA G -=ρ方向向下p 0p 2p 1z 1z 2G3.流体静力学基本方程式g z p g z p 2211+=+ρρ能量形式)(2112z z g p p -+=ρ压力形式②讨论：■适用范围：适用于重力场中静止、连续的同种不可压缩性流体；■物理意义：在同一静止流体中，处在不同位置流体的位能和静压能各不相同，但二者可以转换，其总和保持不变。
环境工程原理总复习
2 2
u12
2g
Hi
H H0 kqV 2
★工作点（上述曲线的交点）
★允许安装高度
Hg
p0
g
ha
pv
g
Hf
p0 h
g
pv
g
Hf
H g max
ha h hr 0.3
2、离心式风机
★全风压
pt
g(z2
z1) ( p2
p1)
(u22 u12)
2
hf
★轴功率
P qV pt
1000
1 1 S
ln
1
S
Y1 Y2
m m
X2 X2
S
1 1 S
ln1
S
Y1 Y2
Y2* Y2*
S
S mG L
NOL
1
1 S
ln1
S
X X
2 1
Y1 Y1
/ /
m m
S
1
1 S
ln1
S
X 2 X1*
X1
X
* 1
S
S L mG
5、填料塔
★泛点气速的计算 横坐标
★塔径
D 4VS
习题：P61~65，1-15、1-19、1-32、 1-37
第二章 流体输送机械
了解离心泵、风机的各种特性和参量，及其根据工艺要 求的选型计算
1、离心泵
★压头
H
z
p
g
u 2 2g
H f
★有效功率 ★轴功率 ★泵特性曲线 ★管路特性曲线
Pe HqV g
P = Pe/
H
h0
pM pV
g
u
流体力学基本概念和流体运动方程
18
第三节伯努利（Bernoulli）方程
z
p
V2
常数
g 2g
(3-42)
在特殊情况下，绝对静止流体V=0，由式(3-41)可以得到静力学基本 方程
一、方程的物理意义和几何意义
为了进一步理解理想流体微元流束的伯努利方程，现来叙述该方 程的物理意义和几何意义。
1、物理意义
理想流体微元流束的伯努利方程式（3-41）中，左端
1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水流平均流速V 2m/s，
已知d1=0.5m，
d2=1m，试求截面2-2处的平均流速
V
为
2
多少？
【解】 由式（3-33）得
V1 4d12 V2 4d22
V2
V1dd122
20.52 1
0.5(m/s)
24.03.2020
17
图 3-14 输水管道
24.03.2020
dqm分别为： dqv=VdA
(3-16)
dqm=ρVdA
(3-17)
24.03.2020
8
图 3-6 管内流动速度分布
24.03.2020
9
六、均匀流和非均匀流
根据流场中同一条流线各空间点上的流速是否相同， 可将总流分为均匀流和非均匀流。若相同则称为均匀流，
V u (x ,y )i v (x ,x )j
24.03.2020
5
图 3-2 流体的出流
2体流动分为三类：
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束，即 流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
流体流动的伯努利方程
2
积分得总流伯努利方程
2 2 u12 p1 u2 p2 ' ( gy ) dm ( gy ) dm gh 1 2 l1 2 dm 2 2 A1 A2 1
2 p1 U12 p2 U2 m( y1 ) 1 m m( y2 ) 2 m mhl g 2g g 2g
第一章 流体力学基础
——流体流动的伯努利方程
西安建筑科技大学
粉体工程研究所
1
1.7 流体流动的伯努利方程
• 流体沿流线流动的伯努利方程 • 流体沿管道流动的伯努利方程 • 流体流动的阻力 • 伯努利方程的应用
2
势的概念
伽利略、惠更斯 落体、斜面运动和钟摆的速度，其数值都与一 定的高度相联系；在理想情况下，下落的物体依靠所得到的速度 可以回到原来的高度但是不能再高了。
FM u x u y y x
x g y y du 1 p
d du y ρ x 1 p gy d ρ y du z 1 p gz d ρ z
x
gx
1 u y ux z ( ) 2 x y
适用于无旋、等温、无粘性和 恒定的不可压流场
5
得欧拉方程的特殊形式，即伯努利方程：
1 2 p u 常数 2
对于质量力场： FM g
0 x g y
1 2 p 可得伯努利方程： 2 u gy 常数
可得沿流线流动的伯努利方程：
1U12
2g
0
2U 22
2g
U 2
2g
hl12
p2 0 g
U2 3 2g
伯努利方程伯努利方程式
在实际应用中，管道流体传输需要考虑到安全、环保等方面的要求，而伯努 利方程可以为这些问题的解决提供理论支持和实践指导。
其他领域的应用
航空航天：飞机设计中的流体动力学分析 船舶工程：船舶推进器优化设计 化工领域：分离过程的优化控制 气象学：气象预报中的风速计算
伯努利方程的局限性
添加标题
伯努利方程的推导
推导过程：通过 微分方程和积分 方程的推导，得 到伯努利方程的 形式
初始条件和边界 条件：在推导过 程中需要考虑的 初始条件和边界 条件
推导结论：得到 伯努利方程后， 对其进行分析和 解释
应用场景：介绍 伯努利方程在流 体力学、航空航 天等领域的应用
伯努利方程的应用场景
航空领域：飞机飞行时，机翼上 下的空气流速不同，产生升力
气象学：风速与气压的关系，如 风向标和气象气球
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
管道流动：液体在管道中流动时， 流速快的地方压力小，流速慢的 地方压力大
船舶工程：船只航行时，船体下 方的水流速度更快，产生向上的 升力
04
伯努利方程的应用
航空领域的应用
飞机起飞和降落：伯努利方程解 释了气流对飞机机翼的作用力， 影响起飞和降落的安全。
重要支持。
随着科技的不 断进步，伯努 利方程的理论 研究将更加深 入，有望为解 决复杂流体问 题提供更多思
路和方法。
未来发展中， 伯努利方程的 应用前景将更 加广阔，为人 类社会的进步 和发展做出更
大的贡献。
YOUR LOGO
THANK YOU
汇报人：XX
对航空航天的影响
飞机机翼设计：利用伯努利方程 原理，设计出机翼形状，实现升 力产生和飞行稳定性。
伯努利方程p1和p2
伯努利方程介绍
伯努利方程是流体力学中一个重要的方程，它描述了流体在运动过程中压强、速度和密度之间的关系。
在流体的运动过程中，伯努利方程可以表示为：p1 + ρ1(v1)^2/2 + g1z1 = p2 + ρ2(v2)^2/2 + g2z2。
其中，p1和p2分别表示流体的压强，ρ1和ρ2分别表示流体的密度，v1和v2分别表示流体的速度，g1和g2分别表示流体的重力加速度，z1和z2分别表示流体的位置高度。
在伯努利方程中，等号左边表示流体的总能量（包括压能和动能），等号右边表示流体的总能量（也包括压能和动能）。
因此，伯努利方程描述的是流体在运动过程中能量的守恒。
在流体运动中，伯努利方程具有非常广泛的应用。
例如，在管道中流动的流体，如果管道截面突然变小，流体的速度会增加，而压强会减小。
这是因为流体的总能量是守恒的，当管道截面变小时，流体的流速会增加，动能增加，而压能减小。
因此，伯努利方程可以帮助我们理解和预测流体运动中的各种现象。
此外，伯努利方程还可以用于解释飞机飞行的原理。
当飞机在空中飞行时，机翼上方的空气流速大于下方的空气流速，导致机翼上方的压强小于下方的压强，从而产生向上的升力。
这也是伯努利方程的应用之一。
总之，伯努利方程是流体力学中的一个重要方程，它描述了流体在运动过程中能量的守恒。
通过理解和掌握伯努利方程，我们可以更好地理解流体运动中的各种现象，并为实际应用提供重要的理论支持。
伯努利方程PPT课件精选全文
3.利用伯努利方程解题
1、常与连续性方程联合使用 2、选择待求点和最简单点(已知量最多) 列方程 3、选择方便解题的零势能参考面 4、不熟悉特殊形式，可列出完整形式
第22页/共28页
【例题2】水从一个大容器里放出。确定出口处 的流速
p1
1 2
12
gh
p2
1 2
2 2
由于Ｓ1>>Ｓ2，故有
总结
伯努利方程
p 1 2 gh p 1 2 gh
2 1
1
1
2 2
2
2
伯努利方程的应用
水平管 粗细均匀管
p 1
1 2
v12
p 2
1 2
v22
空吸现象 流量计 皮托管
p1 gh1 p2 gh2 体位对血压的影响
作业：2-4、2-6
第27页/共28页
谢谢您的观看！
第28页/共28页
• 伯努利方程： • 原理：能量守恒定律
条件：理想流体、定常流动 描述：流速v，高度h和压强p之间的关系 结论：？？？
第2页/共28页
2.2.1 伯努利方程的推导
* 以 流 管 中 XY 段 的 理 想 流体为研究对象
p1 F1
S1 X 1
X′
h1
1t
Y 2 Y′ p2
F2 S2
2t
h2
在短时间Δt(Δt→0)内，流体XY移至X´Y´
根据功能原理推导伯努利方程 外力的总功=机械能增量
第3页/共28页
* 以 流 管 中 XY 段 的 理 想
流体为研究对象
Y 2 Y′ p2
F2 S2
p1 F1
S1 X 1
伯努利方程
伯努利方程伯努利方程就是能量守衡定律在流动液体中的表现形式。
(动能定理)1、理想液体的运动微分方程在微小流束上，取截面积为dA，长为ds的微元体，现研究理想液体定常流动条件下在重力场中沿流线运动时其力的平衡关系。
微元体的所受的重力为-ρgdAds，压力作用在两端面上的力为微元体在定常流动下的加速度为微元体的力平衡方程为上式简化后可得p，z，u只是s的函数，进一步简化得上式即为重力场中，理想液体沿流线作定常流动时的运动方程，即欧拉运动方程。
2、理想液体的伯努利方程沿流线对欧拉运动方程积分得上式两边同除以g 得以上两式即为理想液体作定常流动的伯努利方程。
伯努利方程推导简图物理意义：第一项为单位重量液体的压力能称为比压能（p/ρg ）；第二项为单位重量液体的动能称为比动能（u2/2g ）；第三项为单位重量液体的位能称为比位能（z）。
由于上述三种能量都具有长度单位，故又分别称为压力水头、速度水头和位置水头。
三者之间可以互相转换，但总和（H，称为总水头）为一定值。
3．实际液体流束的伯努利方程实际液体都具有粘性，因此液体在流动时还需克服由于粘性所引起的摩擦阻力，这必然要消耗能量，设因粘性二消耗的能量为hw'，则实际液体微小流束的伯努利方程为4．实际液体总流的伯努利方程将微小流束扩大到总流，由于在通流截面上速度u是一个变量，若用平均流速代替，则必然引起动能偏差，故必须引入动能修正系数。
于是实际液体总流的伯努利方程为式中hw---由液体粘性引起的能量损失；α1，α2---动能修正系数，一般在紊流时取α＝1，层流时取α＝2。
5．伯努利方程应用举例例1 侧壁孔口流出速度条件: p1和p2 ，h为高，以小孔中心线为基准。
例2 文丘利流量计例3 液压泵的最大吸油高度例4 试运用连续性方程和伯努利方程分析变截面水平管道各处的压力情况.条件:A1>A2>A3 比较:流速和压力的大小四、动量方程液体作用在固体壁面上的力，用动量定理来求解比较方便。
伯努利方程
第二节 流体流动的基本方程式
四、伯努利方程的应用 1.作图与确定衡算范围 2.截面的选取 3.基准水平面的选取 4.单位必须一致
速、压力、密度等有关物理量仅随位置而 变化，不随时间而变，这种流动称为稳定 流动。 （2）若流体在各截面上的有关物理量既随 位置而变，又随时间而变，则称为不稳定
第二节 流体流动的基本方程式
制药生产中，流体流动大多为稳定流动， 故非特别指出，一般所讨论的均为稳定流 动。
第二节 流体流动的基本方程式
律，从截面1-1‘进入的流体质量流量ws1
应等于从2-2’截面流出的流体质量流量
wwss12=。ws2
u1A1ρ1= u2A2ρ2
第二节 流体流动的基本方程式
可推广到管道的任一截面，即：
ws= u1A1ρ1 =u2A2ρ2=…= uAρ=常数
若流体不可压缩，ρ=常数，则上式可简化 为
Vs= u1A1=u2A2=…= uA=常数
质量流速：单位时间内流体流过单位管路
截 单u面位积为V的Aks g质/（量m称2为·s）质。G量流w速As 。 以VAs G表 u示，其
第二节 体流动的基本方程式
3.黏度 牛顿黏性定律
F u A
y
μ——动力黏度，简称黏度，单位为Pa·S。
第二节 流体流动的基本方程式
三、伯努利方程 在图所示的稳定流动系统中，流体从1-1'截
面流入，从2-2'截面流出。
第二节 流体流动的基本方程式
运动着的流体涉及的能量形式有：
内能、位能、动能、静压能、 热、 功
伯努利方程.ppt
理想流体伯努力方程
p1
Z1
1 2g
u12
p2
Z2
1 2g
u22
(4)
对于实际流体，考虑流体的粘性时， 粘性流体的伯努力方程式：
p1
Z1
1 2g
u12
p2
Z2
1 2g
u2 2
hw 1 2
He
p1
Z1
1 2g
u12
p2
Z2
1 2g
u22
hw12
He—单位重量流体所获得的外加有效机械能，m
hw12
压力势能
各种能量形式之间可以相互转换
1 1’
p1
Z1
1 2g
u12
p2
Z2
1 2g
u2 2
p1 1
2
1’
2’
Z1＞Z2,u1＞u2 P1＜p2
0 1-1 2-2： 位能与动能转化为压力势能
Z1
2
p2
2’ Z2
0
压力势能
动能
2-2 1-1： 压力势能转化为位能与动能
位能
各种能量形式之间可以相互转换
(1) 每一项表示单位重量流体所具有的能量 （2）方程式表示单位重量流体所具有的总机械能守恒 （3）方程式表示各种能量形式之间可以相互转换
3.4.3 各种能量形式之间可以相互转换
p1
Z1
1 2g
u12
p2
Z2
1 2g
u2 2
Z1=Z2,u1＞u2 P1＜p2
1-1 2-2： 动能转化为压力势能
a.渐变流（缓变流），近似满足均匀流规律：z
p
c
b.急变流：流速沿流向变化显著的流动。
流体力学-伯努利方程
2. 定常流动：
流体质点经过空间各点的流速虽 然可以不同，但如果空间每一点 的流速不随时间而改变，这样的 流动方式称为定常流动，也称为 稳定流动 是一种理想化的流动方式。
三.流线、流管
1.
流线：为了形象地描述定常流动的流体
而引入的假想的直线或曲线
流线上任意点的切线方向就是流体质点流经该点的速度方向 稳定流动时，流线的形状和分布不随时间变化，且流线与流体质点的运 动轨迹重合； 流线的疏密程度可定性地表示流体流速的大小； 流线不相交；
皮托管：由双层圆头玻璃管组 成，内外管分别通过橡皮管与 U 形压强计的两管相连、内管的 开口在 A ，外管的开门 ( 即管壁 上钻的几个小孔)在B。A 正对流 速方向，A、B间忽略高度差；
驻点 ：当流体遇到障碍物受阻时， 在障碍物前会有一点，该点流体 静止不动，故称驻点；
v
1 2 p A pB v 2
1.3 理想流体的流动
本节重点：
掌握理想流体模型； 理解理想流体、流线、流管等物理概念； 掌握理想流体的稳定流动的连续性原理； 掌握贝努利方程的原理；
一.基本概念： 1. 流体： 具有流动性的液体和气体； 2. 流体动力学： 研究流体的运动规律以及流体与其他物体 之间相互作用的力学； 二.流体动力学的应用： 生物体液和氧分的输送，动物体内血液的循 环，土壤中水分的运动，农田排灌、昆虫迁 飞；
W＝p1 S11t p2 S2 2 t V＝S11t＝S2 2 t 1 1 2 m 2 mgh2 ( m12 mgh1 )＝p1 S11t p2 S 2 2 t 2 2 1 1 2 V 2 Vgh2 ( V12 Vgh1 )＝p1V p2 V 2 2 1 1 2 2 p1 1 gh1＝p2 2 gh2 2 2
化工原理 伯努利方程
伯努利方程流体宏观运动机械能守恒原理的数学表达式。
1738年瑞士数学家D.伯努利在《水动力学──关于流体中力和运动的说明》中提出了这一方程。
它可由理想流体运动方程（即欧拉方程）在定态流动条件下沿流线积分得出；也可由热力学第一定律导出。
它是一维流动问题中的一个主要关系式，在分析不可压缩流体的定态流动时十分重要，常用于确定流动过程中速度和压力之间的相互关系。
方程的形式 对于不可压缩的理想流体，密度不随压力而变化，可得：Zg+22u P +ρ＝常数式中Z 为距离基准面的高度;P 为静压力;u 为流体速度;ρ为流体密度;g 为重力加速度。
方程中的每一项均为单位质量流体所具有的机械能，其单位为N ·m/kg ，式中左侧三项，依次称为位能项、静压能项和动能项。
方程表明三种能量可以相互转换，但总和不变。
当流体在水平管道中流动时Z 不变，上式可简化为：ρPu +22＝常数 此式表述了流速与压力之间的关系:流速大处压力小,流速小处压力大。
对于单位重量流体,取管道的1、2两截面为基准,则方程的形式成为：gu g P Z g u g P Z 2222222111++=++ρρ 式中每一项均为单位重量流体的能量，具有长度的因次，三项依次称为位头、静压头和动压头（速度头）。
对于可压缩理想流体，密度随压力而变化。
若这一变化是可逆等温过程，则方程可写成下式：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+若为可逆绝热过程，方程可写为：1211222211ln 22P PP u gZ u gZ ρ++=+式中γ为定压比热容Cp 和定容比热容Cv 之比，即比热容比，也称为绝热指数。
对于粘性流体，流动截面上存在着速度分布，如用平均流速u 表达动能项，应对其乘以动能校正系数d ο。
此外,还需考虑因粘性引起的流动阻力,即造成单位质量流体的机械能损失h f ，若在流体流动过程中，单位质量流体又接受了流体输送机械所做的功W ，在这些条件下,若取处于均匀流段的两截面1和2为基准，则方程可扩充为：α值可由速度分布计算而得, 流体在圆管内作层流流动时α=2；作湍流流动时，α≈1.06。
第一章3气体流动的基本方程
k
1 p2 则： 2 p1
1 k
由此求出流体机械对单位质量气体所作的全功为：
k 1 2 2 k k p1 p2 v2 v1 Lk 1 k 1 1 p1 2
绝热过程：
多变过程：
二、能量守恒定律—伯努利方程
如果流体作稳定流流动，由能量守恒关系可求得下述 几种形式的能量方程： 1、流管伯努利方程：
gh
dp
v const 2
微压力、密度和速度。
2
式中：h、dp、ρ、v—分别为流管任一截面的位置高度、
2、不可压缩流体的伯努利方程：
p1 v p2 v h1 h2 hw g 2 g g 2 g
p1 v p2 v gh1 gh2 ghw 2 2
2 1 2 2
2 1
2 2
如果忽略位置高度的影响，则有：
p1
v
2
2 1
p2
v
2
2 2
hw
总压力损失计算式：
l v2 v2 hw hl h d 2g 2g
v1 v2>v1
v2
声速流动：当 M=1 时，dA/ds=0，此时速度v不变 当v ≤50m/s 时，不必考虑压缩性。 当v ≈140m/s 时，应考虑压缩性。 在气动装置中，气体流动速度较低，且经过压缩，可以认为
不可压缩；自由气体经空压机压缩的过程中是可压缩的。
§1—6
气动元件的通流能力
气动元件的通流能力，是指单位时间内通过阀、管 路等的气体质量。目前通流能力可以采用有效截面积S表 示，也可以用流量表示。 一、有效截面积S： 1、定义与简化计算：
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Ne
We qm
We
qv
2020/7/24
静止的流体
gz1
1 2
u12
p1
We
gz2
1 2
u22
p2
H f , 12
若对于静止流体，又没有外加功，上式就转化：
2020/7/24
பைடு நூலகம்
分析：
高位槽、管道出口两截面 u、p已知 求△Z
柏努利方程
解：
取高位槽液面为截面1-1’，连接管出口内侧为截面2-
2’,
并以截面2-2’的中心线为基准水平面，在两截面间列柏努
利方程式：
gZ1
u12 2
p1
We
gZ2
u22 2
p2
hf
2020/7/24
式中： Z2=0 ；Z1=? P1=0(表压) ； P2=9.81×103Pa(表压）
衡算基准：1kg质量的流体， 0-0面为基准面
两截面距基准水平面的垂直距离分别为z1, z，2 两截面处的流速分别为 u1,，u2两截面处的压力
分别为 p1, ，p2 流体在两截面处的密度为 ，1, 2
单位质量流体所获得的外加功为 W，e 从截面
1-1流到截面2-2的全部能量损失为 h。f
2020/7/24
gz1
p1
gz2
p2
常数
即P2 = P1 + ρ（Z1-Z2）g
P2 = P1 + ρhg——流体静力学基本方程
流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例
2020/7/24
五、柏努利方程式的应用
1、应用柏努利方程的注意事项
1）作图并确定衡算范围 根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方
向，定出上下游截面，以明确流动系统的衡算范围。 2）截面的截取
2020/7/24
• P11 例1-2
2020/7/24
例：如本题附图所示，密度为850kg/m3的料液从高位槽送入 塔中，高位槽中的液面维持恒定，塔内表压强为9.81×103Pa ，进料量为5m3/h，连接 管直径为φ38×2.5mm，料液在连接 管内流动时的能量损失为30J/kg(不包 括出口的能量损失)，试求高位槽内 液面应为比塔内的进料口高出多少？
在应用柏努利方程之前，应把有关的物理量换算成一致 的单位，然后进行计算。两截面的压强除要求单位一致外， 还要求表示方法一致。
2020/7/24
2、柏努利方程的应用
1）确定流体的流量 2）确定容器间的相对位置 3）确定输送设备的有效功率 4) 确定管道内流体的压强 5）流向的判断 6）不稳定流动系统的计算
衡算范围：取管内壁截面1-1’与截面2-2’间的管 段。 对于连续稳定系统： Qv1 Qv2
2020/7/24
Qm uA u1 A11 u2 A2 2
如果把这一关系推广到管路系统的任一截面，有：
Qm u1A11 u2 A22 uA 常数
若流体为不可压缩流体
Qv
Qm
u1A1
u2 A2
u2
VS A
VS
d2
5
3600 0.0332
1.62m / s
4
4
由连续性方程 u1 A1 u2 A2 ∵A1>>A2,
∴u1<<u2,可忽略，u1≈0。
We=0 ， hf 30J / kg
将上列数值代入柏努利方程式，并整理得：
z1
1.622 (
2
9.81103 850
30) / 9.81
uA 常数
——稳定流动的连续性方程
2020/7/24
对于圆形管道，
u1
4
d12
u2
4
d22
2
u1 u2
d d
2 1
表明：当体积流量Qv一定时，管内流体的流速与 管道直径的平方成反比。
2020/7/24
伯努利方程——预备知识
（一）流动系统的能量
位能是相对值，计算时 需规定基准水平面
位能：流体因处于重力场中而具有的能量。
2020/7/24
二、稳态流动与非稳态流动
稳态流动： 流动系统中流体的流速、压强、
密度等有关物理量仅随位置而改 流
动
变，而不随时间而改变。
系
统
非稳态流动：上述物理量不仅随位置而且随时 间 变化的流动。
2020/7/24
2020/7/24
2020/7/24
三、连续性方程式
在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算
两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流体必须是 连续的，所要求未知量应在两截面或两截面之间，截面的
有关物理量Z、u、p等除了所求的物理量之外 ，都必须是已
知的或者可以通过其它关系式计算出来。
2020/7/24
3）基准水平面的选取 由于等号两边都有位能，故基准水平面可以任意选取而
不影响计算结果，但必须与地面平行，为了计算方便，一般 可将基准面定在某一流通截面的中心上，这样，该流通截面 的位能就为零。 4）单位必须一致
u = Qv / A
2020/7/24
流量与流速的关系为： Qv uA Qm uA
对于圆形管道， A d 2
4
u
Qv
d
2
4
2020/7/24
d 4Qv
u
——管道直径的计算式
生产实际中，管道直径应如何确定？ 工程上，液体流速一般为 0.5 ～ 3m/s
气体流速一般为 10 ～ 30m/s
实际流体的伯努利方程
由稳定流动系统的能量守恒知，输入系统的能量应等于输出系 统的能量，即有
gz1
p1
1 2
u12
We
gz2
p2
1 2
u22
hf
实际流体的伯努利方程反映了流体流动过程中各种能量的转化 和守恒规律。
2020/7/24
式中各项的物理意义
gz、 u2 、 p 处于某个截面上的流体本身所具有
单位质量流体的位能为g（z J / kg）
动能：流体因具有一定流动速度而具有的能量。
单位质量流体的动能为 1 u（2 J / kg） 2
静压能：流体具有一定的压力而具有的能量。
单位质量流体的静压能为p（J / kg）
2020/7/24
伯努利方程
1.实际流体的伯努利方程
不可压缩流体
衡算范围：1-1面、2-2面与壁面所围成的封闭区域
第一章 流体流动
第二节流体流动 的基本知识
一、流量与流速 二、稳态流动与非稳态流动 三、连续性方程式 四、柏努力方程式 五、柏努力方程式的应用
2020/7/24
一、流量与流速
1.流量：单位时间内流过管截面的流体质量或体积。 质量流量 Qm (kg/s) 体积流量 Qv (m3/s)
2.平均流速：单位时间内流过单位截面积的流体体积。 简称流速，用u表示，单位m/s。