2024年新高一数学初升高衔接《三角函数的概念》含答案解析

第23讲 三角函数的概念
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用任意角的三角函数的定义求值；4．掌握公式一并会应用.
知识点 1 任意角的三角函数的定义
1、利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边OP 与单位圆交于点()y x P ,．三角函数定义
记作
符号表示
正弦函数点P 的纵坐标sin α
sin y α
=余弦函数点P
的横坐标cos
α
cos x α=正切函数
点P 的纵坐标与横坐标的比值
tan α
tan (0)y
x x
α=≠我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数
sin ,y x x R
=∈
余弦函数cos ,y x x R
=∈正切函数
()
tan ,2
y x x k k Z π
π=≠
+∈2、用角的终边上点的坐标表示三角函数
如图，设若α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点重合）的坐标为
(),x y ，点P 到原点的距离为(r r =
，则sin y r
α=
，cos x r α=，tan y x α=．
【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点P 的位置无关．
知识点 2 三角函数的定义域和函数值的符号
1、三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin α
{}R αα∈cos α{}
R αα∈tan α
,2k k Z πααπ⎧⎫
≠+∈⎨⎬
⎩⎭
【说明】单位圆上,x y 的取值范围是[1,1]-，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域．2、三角函数值在各象限的符号
根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图．
由于原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值，根据三角函数的定义，值（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号；（2）余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号；
（3）正切函数值的符号取决于由,x y 的符号共同决定，即,x y 同号为正，异号为负．【三角函数值的符号记忆】
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．
知识点 3 终边相同的角的三角函数值
1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：
απαsin )2sin(=+k α
παcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Z
k ∈注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
（2公式一统一概括为f (k ·2π＋α)＝f (α)(k ∈Z)，或f (k ·360°＋α)＝f (α)(k ∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．2、特殊角的三角函数值
0°30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
6π
4
π
3
π
2
π
32π4
3π6
5ππ
2
3πsin α
2
1
22231
2
32
22
10
－1
cos α
1
232
2210
-
2
1-
2
2-
23－10
tan α
3
31
3
3-－1
3
3-
知识点 4 三角函数定义的应用
1、已知角α的终边上一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2、已知角α的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值
方法：先求出点P 到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；
3、已知角α的终边所在的直线方程（y kx =，0k ≠），求角α的三角函数值
方法：先设出终边上的一点()(),0P a ka a ≠，求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意α的符号，对α分类讨论）
考点一：由终边上的点求三角函数值
例1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负
半轴上，点()6,8P --为角α终边上一点，则cos α=（ ）
A ．
4
5
B ．45
-
C ．
35
D ．35
-
【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·月考）若角α的终边经过点()1,2-，则
3232
sin 3cos sin 6cos 2sin cos αα
αααα++=-（ ）
A ．
B
C ．1
2
D ．
110
【变式1-2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角α的终边上的一点()4,3k k -，则sin α=
.
【变式1-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知角α的终边落在直线12y x =-上，求
sin α，cos α，tan α的值．
考点二：由三角函数值求终边上点的参数
例2.（23-24高一上·广东揭阳·月考）在平面直角坐标系中，点M (3,)m 在角α的终
边上，若sin α=
m =（ ）A ．6-或1
B ．1-或6
C ．6
D ．1
【变式2-1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且3
cos 5θ=-，
则m =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．43
±
D ．34
±
【变式2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角α的终边经过点()3,m -，若2tan 3
α=，则sin α=（ ）
A ．
B
C ．
D 【变式2-3】（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知角α的终边经过点(5,)P t ，且12sin 13
α=-，则tan α=
.
考点三：判断三角函数值的符号
例3.（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）下列选项中，符号为负的是（ ）A ．3π
sin
2
B ．3πcos
2
C ．tan 2
D ．cos2
【变式3-1】（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知()cos2,tan1P ，则点P 所在象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角,A B 是三角形ABC 的两个内角，则点
()cos ,cos P A B （ ）
A ．不可能在第一象限
B ．不可能在第二象限
C ．不可能在第三象限
D ．不可能在第四象限
【变式3-3】（23-24高一下·贵州遵义·月考）（多选）若角α的终边在第三象限，则
sin 2cos 3tan 222
sin
cos
tan
2
2
2αα
α
α
α
α+-
的值可能为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．4
-考点四：由符号确定角所在的象限
例4.（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）若cos tan 0θθ<，则θ是第
象限
角．
【变式4-1】（23-24高一下·北京·期中）若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【变式4-2】（22-23高一下·山西大同·月考）已知 sin cos 0αα<，且cos 0α>，则角α的终边位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【变式4-3】（23-24高一下·上海·月考）若θ终边不在坐标轴上，且
cos cos sin sin 1θθθθ+=-，则θ在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
考点五：圆上的动点与旋转点
例5.（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、
Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转
π
12
弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转
11π
12
弧度，则P 、Q 两点在第4次相遇时，点P 的坐标是（
）
A ．1,2⎛ ⎝
B ．12⎛ ⎝
C ．12⎛- ⎝
D ．12⎛- ⎝【变式5-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π
6
弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）
A ．12⎛- ⎝
B ．12⎫⎪⎪
⎭C ．21⎫
-⎪⎪
⎭D ．21⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【变式5-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转
π
12
弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转
11π
12
弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是 .
【变式5-3】（22-23高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系xOy 中，若点P 从点()3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动
11π
6
到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）
A ．32⎛⎫
⎪⎝⎭B ．32⎛- ⎝C ．32⎫
-⎪⎪
⎭
D ．3
,2⎛ ⎝考点六：诱导公式一的应用
例6.（23-24高一下·江西吉安·月考）sin300cos0︒︒的值为（ ）
A ．0
B ．1
2
C ．12
-
D ．【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）()sin 1050-︒=（ ）
A ．1
2
B C ．12
-
D ．【变式6-2】（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）17sin
4
π
的值为（ ）
A ．
B
C ．
D 【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）29πsin 3⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
B ．12
-
C D ．1
2
一、单选题
1．（23-24高一下·河南·月考）若角α的终边经过点(P -，则sin α=（ ）
A B ．C D ．2．（23-24高一下·贵州仁怀·月考）()cos 300-︒的值（ ）
A ．1
2
-
B ．
C
D ．1
2
3．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5
m
α=，则m =（ ）A ．3
B ．3
±C ．5
D ．5
±4．（23-24高一下·广西桂林·月考）若角α的终边经过点()1,2sin A α-，且()0,πα∈，则α=（ ）A ．
π
6
B ．
π3
C ．
5π6
D ．
2π3
5．（23-24高一下·北京·月考）已知角α终边上有一点(2sin 3,2cos3)P -，则α为（ ）A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
6．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点P 从()0,1-出发，沿着单位圆的边界顺时针运动8π
3
弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）
A ．12⎫⎪⎪
⎭B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．21⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
二、多选题
7．（23-24高一下·江西吉安·月考）下列函数值中，符号为负的为（ ）
A ．7
sin π
3B ．πcos 4⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
C ．2π2πsin
cos 33
D ．tan2
8．（23-24高一上·福建泉州·月考）若角α的终边经过点()3,4(0)P t t t ->，则下列结论正确的是（ ）
A ．α是第二象限角
B ．α是钝角
C ．4
tan 3
α=-
D ．点()cos ,sin αα在第二象限
三、填空题
9．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第四象限的点P ，且点P 的横坐标为1
2，则sin α= ．
10．（23-24高一下·河南·月考）已知角θ的终边经过点(4,)P m ，若sin θ=，则实数m =
．
11．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期末）已知tan 0x <且cos 0x <，则x 的终边在第 象限.
四、解答题
12．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知角α的终边在直线y x =上，求sin cos αα+的值．
13．（23-24高一上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆221x y +=与x 轴的正半轴及负半轴分别交于点A ，B ，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆交于x 轴下方一点P ．
(1)如图，若120POB ∠=︒，求点P 的坐标；
(2)若点P 的横坐标为sin α的值．
第23讲 三角函数的概念
模块一 思维导图串知识
模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三模块四 小试牛刀过关测1．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号；3．会利用任意角的三角函数的定义求值；4．掌握公式一并会应用.
知识点 1 任意角的三角函数的定义
1、利用单位圆定义任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边OP 与单位圆交于点()y x P ,
．
三角函数定义
记作符号表示
正弦函数点P 的纵坐标sin αsin y α
=余弦函数点P 的横坐标cos α
cos x α
=正切函数
点P 的纵坐标与横坐标的比值
tan α
tan (0)y
x x
α=≠我们将正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数sin ,y x x R
=∈余弦函数cos ,y x x R
=∈正切函数
()
tan ,2
y x x k k Z π
π=≠
+∈2、用角的终边上点的坐标表示三角函数
如图，设若α是一个任意角，它的终边上任意一点P （不与原点重合）的坐标为
(),x y ，点P 到原点的距离为(r r =
，则sin y r
α=
，cos x r α=，tan y x α=．
【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点P 的位置无关．
知识点 2 三角函数的定义域和函数值的符号
1、三角函数的定义域
三角函数
定义域
sin α{}R αα∈cos α
{}
R αα∈tan α
,2k k Z πααπ⎧⎫
≠+∈⎨⎬
⎩⎭
【说明】单位圆上,x y 的取值范围是[1,1]-，根据正弦函数、余弦函数的定义，我们可以得到正弦函数、余弦函数的值域．2、三角函数值在各象限的符号
根据三角函数的定义以及单位圆上点的位置（在哪个象限），可以得到正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号，如下图．
由于原点到角的终边上任意一点的距离r 是正值，根据三角函数的定义，值（1）正弦函数值的符号取决于纵坐标y 的符号；（2）余弦函数值的符号取决于横坐标x 的符号；
（3）正切函数值的符号取决于由,x y 的符号共同决定，即,x y 同号为正，异号为负．【三角函数值的符号记忆】
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正．
知识点 3 终边相同的角的三角函数值
1、公式一：由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一：
απαsin )2sin(=+k α
παcos )2cos(=+k απαtan )2(tan =+k 其中Z
k ∈注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．
（2公式一统一概括为f (k ·2π＋α)＝f (α)(k ∈Z)，或f (k ·360°＋α)＝f (α)(k ∈Z)．其特征是：等号两边是同名函数，且符号相同，即同名同号．2、特殊角的三角函数值
0°30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
6π
4
π
3
π
2
π
32π4
3π6
5ππ
2
3πsin α0
2
1
22231
2
32
22
10
－1
cos α
1
2
32
22
10
-
2
1-
22-
2
3－10
tan α
3
31
33
-－1
3
3-
知识点 4 三角函数定义的应用
1、已知角α的终边上一点P 的坐标，求角α的三角函数值方法：先求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解；
2、已知角α的一个三角函数值和终边上的点P 的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值
方法：先求出点P 到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题；
3、已知角α的终边所在的直线方程（y kx =，0k ≠），求角α的三角函数值
方法：先设出终边上的一点()(),0P a ka a ≠，求出点P 到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意α的符号，对α分类讨论）
考点一：由终边上的点求三角函数值
例1．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负
半轴上，点()6,8P --为角α终边上一点，则cos α=（ ）
A ．
4
5
B ．45
-
C ．
35
D ．35
-
【答案】D
【解析】因为点()6,8P --为角α终边上，故
3
cos 5α==-，故选：D.
【变式1-1】（23-24高一下·辽宁·月考）若角α的终边经过点()1,2-，则
3232
sin 3cos sin 6cos 2sin cos αα
αααα++=-（ ）A
．B
C ．1
2
D ．
110
【答案】D
【解析】因为角α的终边经过点()1,2-，
所以
sin α=
=
cos α==
所以32
32sin 3cos sin 6cos 2sin cos αααααα+
+
-3
232311065525⎛⎝⎭=+ ⎛⎫⎝⎭-⨯ ⎪⎝⎭⎝
⎝⎭=-⎭.故选：D
【变式1-2】（23-24高一下·上海奉贤·期中）已知钝角α的终边上的一点()4,3k k -，则sin α= .
【答案】3
5
/0.6
【解析】因为钝角α的终边上的一点()4,3P k k -，所以0k <，
则5OP k =-，故33
sin 55
k k α-==-，故答案为：
35
【变式1-3】（23-24高一下·河北张家口·月考）已知角α的终边落在直线1
2
y x =-上，求
sin α，cos α，tan α的值．
【答案】答案见解析
【解析】因为角α的终边落在直线1
2
y x =-上，而直线即过第二象限也过第四象限，
当角α的终边在第二象限时，在直线上取一点()2,1-
，
则11sin tan 22ααα=
=====--，
当角α的终边在第四象限时，在直线上取一点()2,1-，
则11sin tan
22ααα-=
=====-.
考点二：由三角函数值求终边上点的参数
例2.（23-24高一上·广东揭阳·月考）在平面直角坐标系中，点M (3,)m 在角α的终
边上，若sin α=
m =（ ）A ．6-或1B ．1-或6
C ．6
D ．1
【答案】C
【解析】因点M (3,)m 在角α的终边上，则
sin α==
0m >，解得，6m =.故选：C.
【变式2-1】（23-24高一下·河南南阳·期中）已知角θ的终边经过点(,1)P m -，且
3
cos 5
θ=-，则m =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．43
±
D ．34
±
【答案】B
【解析】由题知
3
cos 5θ=
=-，解得34
m =-．故选：B.
【变式2-2】（23-24高一下·江西抚州·期中）已知角α的终边经过点()3,m -，若2tan 3
α=，则sin α=（ ）
A ．
B
C ．
D 【答案】A
【解析】因为角α的终边经过点()3,m -，且2tan 3
α=
，
所以2
tan 33
m α=-=，解得2m =-，
所以
sin α=故选：A.【变式2-3】（23-24高一上·广东肇庆·期末）已知角α的终边经过点(5,)P t ，且12
sin 13
α=-，则tan α= .
【答案】125
-
【解析】由角α的终边经过点(5,)P t ，可得r OP ==
因为12sin 13α=-1213=-，所以12t =-，所以12
tan 5α=-.故答案为：12
5
-
.考点三：判断三角函数值的符号
例3.（23-24高一下·云南保山·期中）（多选）下列选项中，符号为负的是（ ）A ．3π
sin
2
B ．3πcos
2
C ．tan 2
D ．cos2
【答案】ACD 【解析】3π
sin
12
=-，3πcos 02=，故A 正确，B 错误；因为
π
2π2
<<，是第二象限角，所以tan 20<，cos 20<，故C 、D 正确.故选：ACD ．
【变式3-1】（23-24高一下·辽宁大连·月考）已知()cos2,tan1P ，则点P 所在象限为（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】180157.3π
=≈
，故tan10>；
18022114.6π
=⨯≈
，故cos2<0.
故点P 在第二象限.故选：B
【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·月考）已知角,A B 是三角形ABC 的两个内角，则点
()cos ,cos P A B （ ）
A ．不可能在第一象限
B ．不可能在第二象限
C ．不可能在第三象限
D ．不可能在第四象限
【答案】C
【解析】对于A ，当角,A B 是锐角时，cos 0,cos 0A B >>，点P 在第一象限，错误；
对于B ，当角A 是钝角，角B 是锐角时，cos 0,cos 0A B <>，点P 在第二象限，错
误；
对于C ，因三角形最多有一个钝角，故cos A 与cos B 不可能同时小于0，即点P 不可能在第三象限，正确；
对于D ，当角A 是锐角，角B 是钝角时，cos 0,cos 0A B ><，点P 在第四象限，错
误.故选：C
【变式3-3】（23-24高一下·贵州遵义·月考）（多选）若角α的终边在第三象限，则
sin 2cos 3tan 222
sin
cos
tan
2
2
2αα
α
α
α
α+-
的值可能为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．4
-【答案】BC
【解析】由角α的终边在第三象限，得π
π2π2π,Z 2
k k k α-+<<-
+∈，则ππ
ππ,Z 224
k k k α-+<<-+∈，因此
2
α
是第二象限角或第四象限角，
当
2
α
是第二象限角时，
sin
2cos 3tan 22212(3)2
sin
cos
tan
2
22
αα
α
ααα
+-
=---=，
当
2
α
是第四象限角时，
sin
2cos 3tan 22212(3)4
sin
cos
tan
222
αα
α
α
αα
+-
=-+--=.故选：BC
考点四：由符号确定角所在的象限
例4.（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）若cos tan 0θθ<，则θ是第
象限
角．
【答案】三或四
【解析】由于cos tan 0θθ<，所以cos tan θθ，一正一负，
当θ是第一象限角时，cos tan θθ，均为正数，不符合，当θ是第二象限角时，cos tan θθ，均为负数，不符合，当θ是第三，或者第四象限角时，cos tan θθ，一正一负，符合，故答案为：三或四
【变式4-1】（23-24高一下·北京·期中）若θ满足sin 0,tan 0θθ<>，则θ的终边在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】由sin 0θ<可知θ的终边在第三象限或第四象限或y 轴负半轴上，
由tan 0θ>，可知θ的终边在第一象限或在第三象限，则θ的终边在第三象限，故选：C.
【变式4-2】（22-23高一下·山西大同·月考）已知 sin cos 0αα<，且cos 0α>，则角α的终边位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】D
【解析】因为sin cos 0αα<，且cos 0α>,所以sin 0α<，即角α的终边位于第四象限.故选:D.
【变式4-3】（23-24高一下·上海·月考）若θ终边不在坐标轴上，且
cos cos sin sin 1θθθθ+=-，则θ在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C
【解析】因为()22
cos cos sin sin 1sin cos θθθθθθ+=-=-+,
所以sin sin cos cos ,θθθθ=--=，
所以cos 0,sin 0θθθ≤≤，终边不在坐标轴上所以θ在第三象限.故选：C.
考点五：圆上的动点与旋转点
例5.（23-24高一上·安徽六安·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、
Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转
π
12
弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转
11π
12
弧度，则P 、Q 两点在第4次相遇时，点P 的坐标是（ ）
A ．1,2⎛ ⎝
B ．12⎛ ⎝
C ．12⎛- ⎝
D ．12⎛- ⎝【答案】C
【解析】相遇时间为π11π42π81212t ⎛⎫
=⨯÷+= ⎪⎝⎭
秒，
故P 转过的角度为
π2π8123
⨯=，
其对应的坐标为2π2πcos ,sin 33⎛
⎫ ⎪⎝⎭，即12⎛- ⎝.故选：C
【变式5-1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）单位圆上一点P 从()0,1出发，逆时针方向运动π
6
弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为（ ）
A ．12⎛- ⎝
B ．12⎫⎪⎪
⎭C ．21⎫
-⎪⎪
⎭D ．21⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
【答案】A
【解析】点P 从()0,1出发，沿单位圆逆时针方向运动
π
6
弧长到达Q 点，所以π23π2π6QOx ∠=
+=， 所以cos ,sin 32π32πQ ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
其中1cos
,sin 3232π2π=-=Q 点的坐标为12⎛- ⎝.故选：A.【变式5-2】（23-24高一上·福建莆田·期末）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，动点P 、Q 从点()1,0A 出发在单位圆上运动，点P 按逆时针方向每秒钟转
π
12
弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转
11π
12
弧度，则P 、Q 两点在第1804次相遇时，点P 的坐标是 .
【答案】12⎛- ⎝【解析】相遇时间为π11π18042π36081212t ⎛⎫
=⨯÷+= ⎪⎝⎭
秒，
故P 转过的角度为
π2π3608300π123
⨯=+，
故对应坐标为2π2πcos ,sin 33⎛
⎫ ⎪⎝⎭，即12⎛- ⎝.
故答案为：12⎛- ⎝【变式5-3】（22-23高一下·山西忻州·开学考试）在直角坐标系xOy 中，若点P 从点()3,0出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动
11π
6
到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）
A ．32⎛⎫
⎪⎝⎭B ．32⎛- ⎝C ．32⎫
-⎪⎪
⎭
D ．3
,2⎛ ⎝【答案】C
【解析】根据题意可知，作出图示如下：
根据题意可得3OP =，π
6
POQ ∠=
，作1Q Q x ⊥轴且垂足为1Q ；
利用三角函数定义可得13cos OQ POQ =⨯∠=
133sin 2QQ POQ =⨯∠=；
又Q 点在第四象限，所以点Q 的坐标为32⎫
-⎪⎪⎭
.故选：C
考点六：诱导公式一的应用
例6.（23-24高一下·江西吉安·月考）sin300cos0︒︒的值为（ ）
A ．0
B ．1
2
C ．12
-
D ．【答案】D
【解析】()()sin300cos0sin 300360sin 60sin60︒︒=︒-︒=-︒=-︒=.故选：D ．
【变式6-1】（23-24高一下·黑龙江绥化·月考）()sin 1050-︒=（ ）
A ．1
2B C ．12
-
D ．【答案】A
【解析】()()1
sin 1050sin1050sin 336030sin 302
-︒=-︒=-⨯︒-︒=︒=
.故选：A 【变式6-2】（22-23高一下·辽宁葫芦岛·期末）17sin
4
π
的值为（ ）
A ．
B
C ．
D 【答案】D
【解析】17ππsin
sin 4πsin 444π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭故选：D.【变式6-3】（23-24高一下·河南南阳·月考）29πsin 3⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
B ．12
-
C D ．1
2
【答案】C
【解析】29πππsin sin 10πsin 333⎛⎫⎛
⎫-=-+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故选：C
一、单选题
1．（23-24高一下·河南·月考）若角α的终边经过点(P -，则sin α=（ ）
A B ．C D ．【答案】C
【解析】因为角α的终边经过点(P -，所以sin y r α=
==．故选：
C ．
2．（23-24高一下·贵州仁怀·月考）()cos 300-︒的值（ ）
A ．1
2
-
B ．
C
D ．1
2
【答案】D
【解析】()()1
cos 300cos 36060cos 602
-︒=-︒+︒=︒=
，故选：D 3．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5
m α=，则m =（ ）A ．3B ．3±C ．5D ．5
±【答案】B
【解析】因为已知角α的终边经过点()()4,0m m ≠，且sin 5
m α=
，所以
sin 5
m
α=
=
，解得3m =±，故选：B.4．（23-24高一下·广西桂林·月考）若角α的终边经过点()1,2sin A α-，且()0,πα∈，则α=（ ）A ．
π
6
B ．
π3
C ．
5π6
D ．
2π3
【答案】D
【解析】由三角函数定义可得
sin α=
因为()0,π,sin 0αα∈>，所以
1=sin α=
，易知，点A 在第二象限，所以2π
3
α=
.故选：D 5．（23-24高一下·北京·月考）已知角α终边上有一点(2sin 3,2cos3)P -，则α为（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角
【答案】A 【解析】依题意，
π
3π2
<<，则sin 30,cos30><，即2sin 30,2cos30>->，所以点P 在第一象限，即α为第一象限角.故选：A
6．（23-24高一上·浙江杭州·月考）点P 从()0,1-出发，沿着单位圆的边界顺时针运动8π
3
弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为（ ）
A ．12⎫⎪⎪
⎭B ．12⎛ ⎝C ．12⎛- ⎝D ．21⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
【答案】D
【解析】由题意，以x 轴的非负半轴为始边，
以Q 所在的射线OQ 为终边的最小正角为5π
6
，由任意角的三角函数的定义可得，
Q 的坐标为5π5π(cos
,sin )66，即1()2
，故选：D.二、多选题
7．（23-24高一下·江西吉安·月考）下列函数值中，符号为负的为（ ）A ．7
sin π
3
B ．πcos 4⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
C ．2π2πsin
cos 33
D ．tan2
【答案】CD
【解析】7π
π2π33=+ ,7π3
∴是第一象限角，7sin π03>∴，
∵π4-是第四象限角，∴πcos 04⎛⎫
-> ⎪⎝⎭
；
∵2π3
是第二象限角，∴2π2πsin
0,cos 033><，∴2π2π
sin cos 033<；∵
π
2π2
<<，∴2是第二象限角，∴tan20<．故选：CD.8．（23-24高一上·福建泉州·月考）若角α的终边经过点()3,4(0)P t t t ->，则下列结论正确的是（ ）
A ．α是第二象限角
B ．α是钝角
C ．4
tan 3
α=-D ．点()cos ,sin αα在第二象限
【答案】ACD
【解析】由点()3,4(0)P t t t ->在第二象限，可得α是第二象限角，但不一定是钝角，A 正确，B 错误；
44
tan 33
t t α=
=--，C 正确；由sin 0α>，cos 0α<，则点()cos ,sin αα在第二象限，D 正确.故选：ACD.
三、填空题
9．（23-24高一上·陕西咸阳·月考）已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，终边与单位圆交于第四象限的点P ，且点P 的横坐标为1
2，则sin α= ．
【答案】
【解析】依题意，设点1(,),02P y y <，由22
1(12y +=，得y =sin α=
故答案为：
10．（23-24高一下·河南·月考）已知角θ的终边经过点(4,)P m ，若sin θ=，则实数m =
．
【答案】2
-【解析】由于角θ的终边经过点(4,)P m ，
由角θ正弦的定义得：
sin θ=
sin θ=，
=，解方程得：2254m m =+，即24m =，得2m =±，
0=<，则0m <，所以2m =-．故答案是：2-.
11．（23-24高一上·内蒙古兴安盟·期末）已知tan 0x <且cos 0x <，则x 的终边在第 象限.【答案】二
【解析】由tan 0x <，得角x 的终边所在的象限是第二、四象限，
因为cos 0x <，所以角x 的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上，由于上述条件要同时成立，所以x 的终边在第二象限；故答案为：二
四、解答题
12．（23-24高一下·江西宜春·月考）已知角α的终边在直线y x =上，求sin cos αα+的值．
【解析】由题意可设角α的终边上任意一点(),A x x ，
则由三角函数的定义有
sin cos αα=
=
=，
当0x >时，sin cos
αα+=
=
当0x <时，sin cos
αα⎛+=+= ⎝.
故sin cos αα+=13．（23-24高一上·云南昆明·月考）在平面直角坐标系xOy 中，单位圆221x y +=与x 轴的正半轴及负半轴分别交于点A ，B ，角α的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆交于x 轴下方一点P ．
(1)如图，若120POB ∠=︒，求点P 的坐标；
(2)若点P 的横坐标为sin α的值．
【答案】(1)1,2⎛ ⎝；(2)【解析】（1）过P 点作PC OA ⊥于C 点，
若120POB ∠=︒，则60POC ∠=︒，
又1OP =，则1,2OC CP ==
由题意点P 在第四象限，所以P 的坐标为1,2⎛ ⎝.
（2）由题意设P y ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，∵点P 在单位圆221x y +=上，且在x 轴下方，
∴2
2
1y ⎛+= ⎝，且0y <，解得y =
∴sin y α==。