一种永磁球形步进电动机的运动分析与仿真
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?????????????????????????????????????????zyxcssccscscscc1003式2和式3给出了转子角速度矢量和广义欧拉角变化率之间的运动学映射关系它们是一组关于广义欧拉角的十分复杂的非线性方程组需要借助计算机求其数值解
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系统仿真学报 JOURNAL OF SYSTEM SIMULATION
为控制器中的位置反馈信号，它的可靠性与精度直接决定了 控制系统的可靠性与控制精度。因此，选择和使用高精度的 光电编码器是至关重要的。
图 3 由 3 个编码器和滑轨支架组成的检测装置
2 永磁球形步进电动机的运动学模型
2.1 单刚体运动学模型
为了对转子的运动学特性进行分析，首先要建立相应的 坐标系。建立如图 4 所示的坐标系，在不考虑支撑框架的情
（1）计算出下半球所有定子线圈和转子永磁体的球面 距离，根据实验和计算设定线圈与永磁体具有足够大作用力 时的最大球面距离，超过此值的定转子组合情况将被剔除。
（2）在上步结果中寻找能产生目标转矩的定转子对组 合情况。包括预测转轴是否接近于目标旋转轴；作用力方向 与转矩力臂方向是否近似垂直。若没有合适的结果，则进一 步增大误差范围，继续寻找。
图 1 永磁球形步进电动机的基本结构图
Vol. 17 No. 9 Sept. 2005
王群京, 等：一种永磁球形步进电动机的运动分析与仿真
• 2261 •
永磁球形步进电动机的工作原理不同于一般的步进电 动机，其三维运动可以绕空间任意轴旋转，控制主要包括进 行运动规划和换相。换相过程投影图如图 2 所示，其中大的 椭圆表示 16 个定子线圈，小的椭圆表示换相过程中的转子 永磁体，实心的表示被定子线圈所吸引的 2 个永磁体，阴影 的表示下一步将要被对应线圈所吸引的永磁体，图中表示绕 垂直纸面过中心一对定转子的轴逆时针旋转。稳态时电机由 2 对定转子进行定位，动态换相时以一对吸引的定转子为 轴，另一对定转子向相邻的一对进行切换，来完成一次步进 运动。运动规划是控制的核心，体现出控制策略的高度灵活 性，一般包括以下几方面：
⎠
（3）
式(2)和式(3)给出了转子角速度矢量和广义欧拉角变化
率之间的运动学映射关系，它们是一组关于广义欧拉角的十
分复杂的非线性方程组，需要借助计算机求其数值解。
2.2 带有滑轨支撑框架的刚体系运动学模型
滑轨支撑框架作为转子支撑结构和位置测量系统，在球 形电机中被广泛地采用，其运动学模型首先由 K.M. Lee 等 人建立并经过了实验的验证，成功地用在变磁阻球形电机的 控制上，本文在其基础上进行了必要的修改。电机转子的运 动范围受到框架的限制，但其仍可满足一般三维运动工作任 务的要求。其运动分析要复杂些，首先建立 3 个坐标系：固 结于定子上的参考坐标系 X-Y-Z，原点与定子球心相重合， Z 轴指向竖直方向，X 轴与外面的 X 框架轴线一致；固结于 转子上的坐标系 x-y-z，原点与球心重合，z 轴指向转子输出 杆的方向；固结与滑块上的中间坐标系 u-v-w，主要用来表 示 X-Y-Z 和 x-y-z 坐标系之间的变换关系，u 轴方向指向沿 X 框架和滑块接触点的切线方向，w 轴指向转子输出杆的方 向，与 z 轴方向重合。运动分析中有关参数如图 5 所示，3
引 言1
当前，机器人、机械手等做空间多维运动的精密装置得 到了广泛的应用，这类装置往往需要多台单自由度驱动元件 以及复杂的机械传动机构来完成空间的三维运动，从而导致 系统复杂，体积庞大，效率低下，精度不够，响应迟缓，动 态性能较差。在这种情况下，能够提供多自由度运动的球形 电动机得到了人们的广泛重视。关于球形电动机人们提出了 多种方案，如：Laithwaite 等人提出的感应型球形电动机[1]， Lee 等人提出的变磁阻型球形电动机[2,3]，Kaneko 等人首先 提出的永磁直流球形电动机[4]，黄声华等人提出的双馈型球 形电动机[5]，美国 Johns Hopkins 大学 Gregory S. Chirikjian 和 David Stein 等人提出的永磁球形步进电动机[6,7]等等。球 形电动机可以大大简化机构的复杂度，提高定位精度和响应 速度，缩小机构体积，从而达到快速定位的目的。因此，球 形电动机的应用前景极其广泛，如：机器人的关节，机械手 的关节，球形阀，全景摄像系统云台等等。
1 永磁球形步进电动机的结构和工作原理[7,8]
本文所研究的模型是基于美国 Johns Hopkins 大学研制 的原型机模型而建立起来的，其基本结构如图 1 所示。转子 由 2 个中空塑料半球壳做成，每个半球壳内部均匀分布有精 确定位的 40 个稀土永磁体。定子由底座、鞍形支架、16 个 铁磁线圈、环形支架以及环形支架上的 8 个轴承构成。正常 情况下定转子气隙大约为 0.127mm。该电机的一个显著特点 是定子对转子的覆盖范围小于半个转子，在不考虑转子支撑 连接和接触式位置检测的情况下，可以连续运动，大大扩展 了转子的运动范围。
Abstract: The structure and operation principle of a PM spherical stepper motor and its gimbal guideway orientation detection system were discussed. On the basis of kinematic analysis of rotor and gimbal guideway, the rigid body kinematic models of single rotor and rotor with the gimbal guideway were derived. Combined with the control strategy, simulations of actual stepping motions and the outputs of orientation detection system in the case of knowing targets points were carried out. Simulation results provide the references for the motion control strategy research and the experimentation design. Key words: permanent magnet; spherical stepper motor; kinematic model; simulation
先绕 x 轴旋转 α 角度，再绕 y 轴旋转 β 角度，最后绕 z 轴 旋转 γ 角度，由此转子刚体的任一方位均可由一组欧拉角
来确定。坐标系 X-Y-Z 与 x-y-z 之间地变换矩阵为：
⎜⎛ cγ sγ 0⎟⎞⎜⎛cβ 0 − sβ ⎟⎞⎜⎛1 0 0 ⎟⎞ A = Aγ Aβ Aα = ⎜− sγ cγ 0⎟⎜ 0 1 0 ⎟⎜0 cα sα ⎟
Z ωz
z
ωy y
O
Y
X x
ωx 图 4 单刚体坐标系
况下，电机转子和它所带的负载可以看作绕参考坐标系
X-Y-Z 自由旋转的刚体。为了描述转子的旋转运动，建立固
连于转子刚体上的动系 x-y-z，初始位置定义为 2 坐标系重
合，z 轴与转子输出杆方向一致。两套共原点三维坐标系之
间的相对位置可以用三次独立转动的三个转角来确定。刚体
速度的大小和方向用角速度矢量 ω 来表示。刚体绕相交轴
转动合成时，角速度的合成服从向量加法，因此转子角速度
ω 为：
• ••
ω =α+β+γ
将 ω 在动系 x-y-z 上投影可得：
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系统仿真学报
Vol. 17 No. 9 Sept. 2005
⎜⎛ω x ⎟⎞ ⎜⎛ cβcγ sγ
⎜ω y ⎟ = ⎜ − cβsγ cγ
（3）分别以当前稳态下工作的 2 对定转子作为固定点， 对前步筛选出的各组合情况下转子的运动情况进行分析，预 测步进后的稳态位置，对其旋转的幅度和目标与实际转轴之 间的误差分别计算，超出范围的加以舍弃。
（4）确定最终的路径。前面分析结果包含相当数量的 可能路径，使转子由初始位置逐步运动到目标位置。在每一 步中都要对下一步的路径加以确定。可以设定选择的标准， 如最小的转轴偏差、最大的旋转角度或二者的权衡。前面的 步骤重复进行，直到转子到达目标位置。
Vol. 17 No. 9 Sept. 2005
一种永磁球形步进电动机的运动分析与仿真
王群京，李 争，陈丽霞，鲍晓华
（合肥工业大学电气与自动化工程学院，合肥 230009）
摘 要：介绍了一种永磁球形步进电动机的结构、工作原理及滑轨支架形式的位置检测系统。在
对电机转子和滑轨支架进行运动学分析的基础上，给出了电机转子的单刚体运动学模型和带有滑
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠⎜⎝sβ 0 cβ ⎟⎠⎜⎝0 − sα cα ⎟⎠
⎜⎛ cβcγ = ⎜ − cβsγ
⎜⎝ sβ
cαsγ + sαsβcγ cαcγ − sαsβsγ
− sαcβ
sαsγ − cαsβcγ ⎟⎞ sαcγ + cαsβsγ ⎟
（1）
cαcβ ⎟⎠
角度余弦 cos 简记为 c，正弦 sin 简记为 s。转子旋转角
轨支架的刚体系运动学模型。结合相应控制策略，在已知目标场点的情况下，对电机实际步进运
动过程和位置检测系统输出进行了仿真研究。其结果为电机运动控制策略进一步的研究和实验方
案设计提供了借鉴和参考。
关键词：永磁；球形步进电动机；运动学模型；仿真
文章编号：1004-731X(2005)09-2260-05
中图分类号：TP391.9 文献标识码：A
收稿日期：2004-08-05
修回日期：2005-01-07
基金项目：国家自然科学基金资助项目（50377010）
作者简介：王群京(1960-), 男, 博士, 教授, 博导, 研究方向为电机及其
控制、新型电力传动等; 李争(1980-), 男, 河北省石家庄市人,博士研究
生, 研究方向为电力电子与电力传动。
图 2 换相过程投影图
关于转子位置测量系统本文采用滑轨支撑框架结构，包 括 2 个圆形滑轨支架、一个滑块和 3 个旋转编码器，如图 3 所示，目前尚无有关滑轨支架用于永磁球形步进电动机位置 测量的文献。带滑轨支架的球形电机运动学分析主要包括正 向运动学分析和逆向运动学分析。正向运动学分析就是根据 3 个编码器的输出值来确定转子当前的方位；逆向运动学分 析则相反，它是针对特定的转子目标位置，通过求解运动学 方程来确定 3 个编码器的目标输出。编码器的输出最终将作
⎜⎝ ω
0 0 1
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛
•
α
•
β
•
γ
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
（2）
⎜⎛
•
α
⎜ ⎜ ⎜
•
β
•
γ
⎝
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
−
cγ
cβ sγ sβcγ
cβ
− sγ
cβ cγ sβsγ
cβ
0⎟⎟⎞⎜⎛ωx ⎟⎞ 0⎟⎜ω y ⎟ 1⎟⎟⎜⎝ωz ⎟⎠
永磁球形步进电动机是一种新型的球形电动机，具有一 些独特的优点，如结构简单、体积小、重量轻、力能指标高、 控制简单等，有必要对其进行设计方法和理论的研究。由于
多自由度电机运动的复杂性，对其进行运动学分析是十分必 要的，它为电机的设计提供理论基础。对电机转子进行位置 检测作为电机不可缺少的反馈控制环节，是电机控制系统中 的关键技术之一，它的分辨率直接影响到系统的控制精度， 因此位置检测技术也是当前球形电机研究中迫切需要解决 的问题之一。
个旋转编码器的输出为θ X 、θ Y 、θ Z ， PX 、 PY 可以设
定为 X 滑轨和 Y 滑轨的中点，初始位置设定为 PX 、 PY 重 合位置，并且编码器输出标定为零。 O ' 为 u-v-w 坐标系的 原点，也是两滑轨的交点，随转子运动而不断变化。t X 、tY
Kinematic Analysis and Simulation of Permanent Magnet Spherical Stepper Motor
WANG Qun-jing, LI Zheng, CHEN Li-xia, BAO Xiao-hua
(School of Electrical Engineering & Automation, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China,)
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系统仿真学报 JOURNAL OF SYSTEM SIMULATION
为控制器中的位置反馈信号，它的可靠性与精度直接决定了 控制系统的可靠性与控制精度。因此，选择和使用高精度的 光电编码器是至关重要的。
图 3 由 3 个编码器和滑轨支架组成的检测装置
2 永磁球形步进电动机的运动学模型
2.1 单刚体运动学模型
为了对转子的运动学特性进行分析，首先要建立相应的 坐标系。建立如图 4 所示的坐标系，在不考虑支撑框架的情
（1）计算出下半球所有定子线圈和转子永磁体的球面 距离，根据实验和计算设定线圈与永磁体具有足够大作用力 时的最大球面距离，超过此值的定转子组合情况将被剔除。
（2）在上步结果中寻找能产生目标转矩的定转子对组 合情况。包括预测转轴是否接近于目标旋转轴；作用力方向 与转矩力臂方向是否近似垂直。若没有合适的结果，则进一 步增大误差范围，继续寻找。
图 1 永磁球形步进电动机的基本结构图
Vol. 17 No. 9 Sept. 2005
王群京, 等：一种永磁球形步进电动机的运动分析与仿真
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永磁球形步进电动机的工作原理不同于一般的步进电 动机，其三维运动可以绕空间任意轴旋转，控制主要包括进 行运动规划和换相。换相过程投影图如图 2 所示，其中大的 椭圆表示 16 个定子线圈，小的椭圆表示换相过程中的转子 永磁体，实心的表示被定子线圈所吸引的 2 个永磁体，阴影 的表示下一步将要被对应线圈所吸引的永磁体，图中表示绕 垂直纸面过中心一对定转子的轴逆时针旋转。稳态时电机由 2 对定转子进行定位，动态换相时以一对吸引的定转子为 轴，另一对定转子向相邻的一对进行切换，来完成一次步进 运动。运动规划是控制的核心，体现出控制策略的高度灵活 性，一般包括以下几方面：
⎠
（3）
式(2)和式(3)给出了转子角速度矢量和广义欧拉角变化
率之间的运动学映射关系，它们是一组关于广义欧拉角的十
分复杂的非线性方程组，需要借助计算机求其数值解。
2.2 带有滑轨支撑框架的刚体系运动学模型
滑轨支撑框架作为转子支撑结构和位置测量系统，在球 形电机中被广泛地采用，其运动学模型首先由 K.M. Lee 等 人建立并经过了实验的验证，成功地用在变磁阻球形电机的 控制上，本文在其基础上进行了必要的修改。电机转子的运 动范围受到框架的限制，但其仍可满足一般三维运动工作任 务的要求。其运动分析要复杂些，首先建立 3 个坐标系：固 结于定子上的参考坐标系 X-Y-Z，原点与定子球心相重合， Z 轴指向竖直方向，X 轴与外面的 X 框架轴线一致；固结于 转子上的坐标系 x-y-z，原点与球心重合，z 轴指向转子输出 杆的方向；固结与滑块上的中间坐标系 u-v-w，主要用来表 示 X-Y-Z 和 x-y-z 坐标系之间的变换关系，u 轴方向指向沿 X 框架和滑块接触点的切线方向，w 轴指向转子输出杆的方 向，与 z 轴方向重合。运动分析中有关参数如图 5 所示，3
引 言1
当前，机器人、机械手等做空间多维运动的精密装置得 到了广泛的应用，这类装置往往需要多台单自由度驱动元件 以及复杂的机械传动机构来完成空间的三维运动，从而导致 系统复杂，体积庞大，效率低下，精度不够，响应迟缓，动 态性能较差。在这种情况下，能够提供多自由度运动的球形 电动机得到了人们的广泛重视。关于球形电动机人们提出了 多种方案，如：Laithwaite 等人提出的感应型球形电动机[1]， Lee 等人提出的变磁阻型球形电动机[2,3]，Kaneko 等人首先 提出的永磁直流球形电动机[4]，黄声华等人提出的双馈型球 形电动机[5]，美国 Johns Hopkins 大学 Gregory S. Chirikjian 和 David Stein 等人提出的永磁球形步进电动机[6,7]等等。球 形电动机可以大大简化机构的复杂度，提高定位精度和响应 速度，缩小机构体积，从而达到快速定位的目的。因此，球 形电动机的应用前景极其广泛，如：机器人的关节，机械手 的关节，球形阀，全景摄像系统云台等等。
1 永磁球形步进电动机的结构和工作原理[7,8]
本文所研究的模型是基于美国 Johns Hopkins 大学研制 的原型机模型而建立起来的，其基本结构如图 1 所示。转子 由 2 个中空塑料半球壳做成，每个半球壳内部均匀分布有精 确定位的 40 个稀土永磁体。定子由底座、鞍形支架、16 个 铁磁线圈、环形支架以及环形支架上的 8 个轴承构成。正常 情况下定转子气隙大约为 0.127mm。该电机的一个显著特点 是定子对转子的覆盖范围小于半个转子，在不考虑转子支撑 连接和接触式位置检测的情况下，可以连续运动，大大扩展 了转子的运动范围。
Abstract: The structure and operation principle of a PM spherical stepper motor and its gimbal guideway orientation detection system were discussed. On the basis of kinematic analysis of rotor and gimbal guideway, the rigid body kinematic models of single rotor and rotor with the gimbal guideway were derived. Combined with the control strategy, simulations of actual stepping motions and the outputs of orientation detection system in the case of knowing targets points were carried out. Simulation results provide the references for the motion control strategy research and the experimentation design. Key words: permanent magnet; spherical stepper motor; kinematic model; simulation
先绕 x 轴旋转 α 角度，再绕 y 轴旋转 β 角度，最后绕 z 轴 旋转 γ 角度，由此转子刚体的任一方位均可由一组欧拉角
来确定。坐标系 X-Y-Z 与 x-y-z 之间地变换矩阵为：
⎜⎛ cγ sγ 0⎟⎞⎜⎛cβ 0 − sβ ⎟⎞⎜⎛1 0 0 ⎟⎞ A = Aγ Aβ Aα = ⎜− sγ cγ 0⎟⎜ 0 1 0 ⎟⎜0 cα sα ⎟
Z ωz
z
ωy y
O
Y
X x
ωx 图 4 单刚体坐标系
况下，电机转子和它所带的负载可以看作绕参考坐标系
X-Y-Z 自由旋转的刚体。为了描述转子的旋转运动，建立固
连于转子刚体上的动系 x-y-z，初始位置定义为 2 坐标系重
合，z 轴与转子输出杆方向一致。两套共原点三维坐标系之
间的相对位置可以用三次独立转动的三个转角来确定。刚体
速度的大小和方向用角速度矢量 ω 来表示。刚体绕相交轴
转动合成时，角速度的合成服从向量加法，因此转子角速度
ω 为：
• ••
ω =α+β+γ
将 ω 在动系 x-y-z 上投影可得：
• 2262 •
系统仿真学报
Vol. 17 No. 9 Sept. 2005
⎜⎛ω x ⎟⎞ ⎜⎛ cβcγ sγ
⎜ω y ⎟ = ⎜ − cβsγ cγ
（3）分别以当前稳态下工作的 2 对定转子作为固定点， 对前步筛选出的各组合情况下转子的运动情况进行分析，预 测步进后的稳态位置，对其旋转的幅度和目标与实际转轴之 间的误差分别计算，超出范围的加以舍弃。
（4）确定最终的路径。前面分析结果包含相当数量的 可能路径，使转子由初始位置逐步运动到目标位置。在每一 步中都要对下一步的路径加以确定。可以设定选择的标准， 如最小的转轴偏差、最大的旋转角度或二者的权衡。前面的 步骤重复进行，直到转子到达目标位置。
Vol. 17 No. 9 Sept. 2005
一种永磁球形步进电动机的运动分析与仿真
王群京，李 争，陈丽霞，鲍晓华
（合肥工业大学电气与自动化工程学院，合肥 230009）
摘 要：介绍了一种永磁球形步进电动机的结构、工作原理及滑轨支架形式的位置检测系统。在
对电机转子和滑轨支架进行运动学分析的基础上，给出了电机转子的单刚体运动学模型和带有滑
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠⎜⎝sβ 0 cβ ⎟⎠⎜⎝0 − sα cα ⎟⎠
⎜⎛ cβcγ = ⎜ − cβsγ
⎜⎝ sβ
cαsγ + sαsβcγ cαcγ − sαsβsγ
− sαcβ
sαsγ − cαsβcγ ⎟⎞ sαcγ + cαsβsγ ⎟
（1）
cαcβ ⎟⎠
角度余弦 cos 简记为 c，正弦 sin 简记为 s。转子旋转角
轨支架的刚体系运动学模型。结合相应控制策略，在已知目标场点的情况下，对电机实际步进运
动过程和位置检测系统输出进行了仿真研究。其结果为电机运动控制策略进一步的研究和实验方
案设计提供了借鉴和参考。
关键词：永磁；球形步进电动机；运动学模型；仿真
文章编号：1004-731X(2005)09-2260-05
中图分类号：TP391.9 文献标识码：A
收稿日期：2004-08-05
修回日期：2005-01-07
基金项目：国家自然科学基金资助项目（50377010）
作者简介：王群京(1960-), 男, 博士, 教授, 博导, 研究方向为电机及其
控制、新型电力传动等; 李争(1980-), 男, 河北省石家庄市人,博士研究
生, 研究方向为电力电子与电力传动。
图 2 换相过程投影图
关于转子位置测量系统本文采用滑轨支撑框架结构，包 括 2 个圆形滑轨支架、一个滑块和 3 个旋转编码器，如图 3 所示，目前尚无有关滑轨支架用于永磁球形步进电动机位置 测量的文献。带滑轨支架的球形电机运动学分析主要包括正 向运动学分析和逆向运动学分析。正向运动学分析就是根据 3 个编码器的输出值来确定转子当前的方位；逆向运动学分 析则相反，它是针对特定的转子目标位置，通过求解运动学 方程来确定 3 个编码器的目标输出。编码器的输出最终将作
⎜⎝ ω
0 0 1
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛
•
α
•
β
•
γ
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
（2）
⎜⎛
•
α
⎜ ⎜ ⎜
•
β
•
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⎝
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
−
cγ
cβ sγ sβcγ
cβ
− sγ
cβ cγ sβsγ
cβ
0⎟⎟⎞⎜⎛ωx ⎟⎞ 0⎟⎜ω y ⎟ 1⎟⎟⎜⎝ωz ⎟⎠
永磁球形步进电动机是一种新型的球形电动机，具有一 些独特的优点，如结构简单、体积小、重量轻、力能指标高、 控制简单等，有必要对其进行设计方法和理论的研究。由于
多自由度电机运动的复杂性，对其进行运动学分析是十分必 要的，它为电机的设计提供理论基础。对电机转子进行位置 检测作为电机不可缺少的反馈控制环节，是电机控制系统中 的关键技术之一，它的分辨率直接影响到系统的控制精度， 因此位置检测技术也是当前球形电机研究中迫切需要解决 的问题之一。
个旋转编码器的输出为θ X 、θ Y 、θ Z ， PX 、 PY 可以设
定为 X 滑轨和 Y 滑轨的中点，初始位置设定为 PX 、 PY 重 合位置，并且编码器输出标定为零。 O ' 为 u-v-w 坐标系的 原点，也是两滑轨的交点，随转子运动而不断变化。t X 、tY
Kinematic Analysis and Simulation of Permanent Magnet Spherical Stepper Motor
WANG Qun-jing, LI Zheng, CHEN Li-xia, BAO Xiao-hua
(School of Electrical Engineering & Automation, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China,)