向量内积的定义及运算规律

( 3)若是 实 对 称 矩 阵A的r重 特 征 值, 则 对 应
的必有r个线性无关的特征向量. (4)实对称矩阵必可对角化.即若A为n阶实对
称阵,则必有正交阵P, 使得 P 1 AP ,其中是 以A的n个特征值为对角元素的对角阵.
１２ 二次型
定义 含有n个变量 x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
k
[1, 2] 1 , [1, 1] 2
故
2
1 1
0
2 ;
(3)令
3
k1 1
k2
2 3,且
与
3
2, 1正
交, 得
k1
[
[
1, 3] 1, 1]
1 2
,
k2
[ 2 , 2] [ 2, 2]
1, 3
1 3
故
3
1 1
3 3
.
1
(4)将 1, 2, 3单位化,得
1 2
定理 设 1 , 2 ,, m 是方阵A的m个特征值,
p1 , p2 ,, pm 依次是与之对应的特征向量,如果
1 , 2 ,, m 各不相等,则 p1 , p2 ,, pm 线性无关.
即属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
1
1
例2
已
知向量
1
1 0
,
2
0 1
,
3
0 0
是线性
0
0
1
无 关 向 量 组, 求 与 之 等 价 的 正 交 单 位向 量 组.
解一 先正交化，再单位化
(1)取 1 1;
(2)令
2
k
1
Hale Waihona Puke 2,使得与
2
1正交,
[ 1, 2] k[ 1, 1] [ 1, 2] 0,
1 2
实数实对称矩阵的特征值为量必正交特征值的特征向实对称矩阵的属于不同个线性无关的特征向量的必有则对应重特征值对角阵个特征值为对角元素的其中使得则必有正交阵即若实对称矩阵必可对角化称为二次型的二次齐次函数个变量含有的二次型称为对称阵的矩阵为二次型其中二次型可记作称为实二次型是实数时称为复二次型是复数时ijij定义或法式称为二次型的标准形只含平方项的二次型为对称如果的特征值的矩阵其中化为标准形jiij变换换一般而言不是正交此时所用的可逆线性变二次型化为标准拉格朗日配方法亦可把定义都有如果对任何是正定的称对称矩阵显然都有如果对任何设有实二次型数的个数相等中正中正数的个数与实的可逆变换有两个化线性变换的不变它们是二次型对于非退的符号称为称为负惯性指数称为正惯性指中正数的个数即正惯性指数个系数全为正它的标准形的为正定的充分必要条件实二次型为正定的充分必要条件对称矩阵112221121111为负定的充分必要条件对称矩阵的各阶主子式都为正要条件是为正定的充分必对称矩阵霍尔维茨定理ijjkikijkj交条件元素满足正证明矩阵的各列方法验证然后先求出根据正交阵的定义方法为正交矩阵证明阶单位矩阵然后根据正交矩阵的定先验证将线性无关向量组化为正交单位向量组可以先正交化再单位化
(2)齐次性 x x ;
(3)三角不等式 x y x y .
当 x 1时, 称x为单位向量.
向量的内积满足施瓦茨不等式 [ x, y]2 [ x, x][ y, y],
从而有 [ x, y] 1, (当 x y 0时). xy
３ 向量的夹角
定义 当 x 0, y 0时,
arccos[ x, y]
９ 相似矩阵
定义 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P, 使
P 1 AP B, 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.
对A进行运算P 1 AP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.
矩阵之间的相似具有(1)自反性；(2)对称性； (3)传递性．
１０ 有关相似矩阵的性质
四、已知 A的特征值，求与 A
相关矩阵的特征值
五、求方阵 A的特征多项式
六、关于特征值的其它问题
七、判断方阵 A可否对角化
八、利用正交变换将实对称 矩阵化为对角阵
九、化二次型为标准形
一、证明所给矩阵为正交矩阵
方法1 证明矩阵的各列(或行)元素满足正
交条件
n
n
aki akj ij (或 aik a jk ij),i, j 1,2,, n;
(2)任给实二次型f
n
a ij x i x j (a ij a ji ),总
i, j1
有正交变换x Py, 使f化为标准形
f
1
y12
2
y
2 2
n
y
2 n
,
其中 1 , 2 ,, n是f的矩阵A (aij)的特征值.
(3)拉格朗日配方法亦可把二次型化为标准 形,此时所用的可逆线性变换一般而言不是正交 变换.
AT A AA
[E (2 / aT a) a aT] [E (2 / aT a) a aT]
E [2 / (aT a)] a aT [2 / (aT a)] a aT [4 / (aT a)2]a(aT a)aT .
a 0, aT a为一非零数, 故a(aT a)aT (aT a)(a aT ),
(1)若 A与 B相似，则 A与 B的特征多项式 相同，从而 A 与 B 的特征值亦相同．
(2)若A与对角矩阵
1
2
n
相似,则 1 , 2 ,, n是A的n个特征值.
(3)若A PB P 1 ,则 Ak P Bk P 1 ,
( A) P (B) P 1 .
特别地,若有可逆阵P, 使 P 1 AP 为对角阵,
当aij是复数时, f称为复二次型;当aij是实数时, f称为实二次型.
１３ 二次型的标准形
定义 只含平方项的二次型
f
k1
y12
k2
y
2 2
kn
y
2 n
称为二次型的标准形(或法式).
１４ 化二次型为标准形
(1)任给可逆矩阵C,令B CT AC ,如果A为对称
阵,则B亦为对称阵,且R(B) R( A)..
1
1 1
1
0 0
2
;
2
2 2
1 6
1 2
0
6 6
;
1 (2 3)
3
3 3
1 (2 1 (2
3
3) 3) 2
.
解二 同时进行正交化与单位化
(1)取 1 1,并单位化得
1 2
1
1 1
1
0 0
2
;
(2)令 2 k 1 2,使得 2与 1正交,得
k [ 1, 2]
第二步 单位化
取
e1
1 b1
b1 , e2
1 b2
b2 ,,er
1 br
br ,就得
V的一个规范正交基.
５ 正交矩阵与正交变换
定义 如果n阶矩阵A满足 AT A E (即 A1 AT ),
那么称A为正交矩阵. 方阵 A为正交矩阵的充分必要条件是 A的行
（列）向量都是单位向量，且两两正交． 正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn
k 1
k 1
方法2 根据正交阵的定义,先求出AT ,然后
验证A AT E.
例1 设a是n维列向量, E为n阶单位矩阵,证明
A E [2 /(aT a)]a aT 为正交矩阵.
证明 先验证 AT A,然后根据正交矩阵的定义验 证A AT E.
AT [E (2 / aT a) a aT]T E (2 / aT a)a aT A,
) nn
的特
征值,
则
(1)也是 AT 的特征值;
(2) k 是 Ak的特征值(k为任意自然数); ( )是
( A)的特征值.其中 ( ) a0 a1 am m ,
( A) a0 E a1 A am Am .
(3)当A可逆时, 1
是
A1的
特征值;
1
A是
A的
特征值.
８ 有关特征向量的一些结论
0;
a21 a22
an1 ann
对称矩阵A为负定的充分必要条件是 : 奇数阶主子
式 为 负, 而 偶 数 阶 主 子 式 为 正, 即
a11 a1r
(1)r
0,(r 1,2,, n).
a r1 a rr
典型例题
一、证明所给矩阵为正交矩阵 二、将线性无关向量组化为正
交单位向量组 三、特征值与特征向量的求法
A E 0称为方阵A的特征方程. f ( ) A E 称为方阵A的特征多项式.
n阶方阵A有n个特征值.若A (aij)的特征值为
1, 2 ,, n ,则有 (1) 1 2 n a11 a22 ann; (2)1 2 n A .
７ 有关特征值的一些结论
设是A
(a
ij
量, 为实数) :
(1)[x, y] [ y, x];
(2)[x, y] [ x, y];
(3)[x y, z] [x, z] [ y, z].
２ 向量的长度
定义 令
x
[x, x]
x12
x
2 2
x
2 n
,
x 称为n维向量x的长度(或范数).
向量的长度具有下列性质：
(1)非负性 当x 0时, x 0;当x 0时, x 0;
向量内积的定义及运算规律
定义 设有n维向量
x1
x
x2
,
xn
y1
y
y2
,
yn
令[ x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn ,[ x, y]称为向量
x与y的内积.
内积的矩阵表示 [x, y] xT y,
其中x, y都是列向量. 内积满足下列运算规律(其中x, y, z为n维向
AT A E [4/(aT a)]a aT [4/(aT a)]a aT E, 故A是正交矩阵.
特别当aT a 1时, A E 2a aT 是正交矩阵.
二、将线性无关向量组化为正交单位 向量组
将线性无关向量组化为正交单位向量组，可
以先正交化，再单位化；也可同时进行正交化与
单位化．
1
第一步 正交化
取 b1 a1;
b
2
a
2
[b1 [b1
, ,
a 2] b1]
b1
;
br
ar
[b1 [b1
, ,
ar] b1]
b1
[b2 [b2
, ,
a b
r] 2]
b
2
[b [br
r 1
1 ,
,a br
r] 1]
b
r
1
.
则b1 , b2 ,, br 两两正交,且与a1 , a2 ,, ar 等价.
１５ 正定二次型
定义 设有实二次型f ( x) xT Ax,如果对任何x 0, 都有f ( x) 0(显然f (0) 0),则称f为正定二次型,并 称对称矩阵A是正定的;如果对任何x 0, 都有f ( x) 0,则称f为负定二次型,并称对称矩阵A是负定的.
１６ 惯性定理
设有实二次型f xT Ax,它的秩为r,有两个 实的可逆变换
则有 Ak P k P 1 , ( A) P () P 1 .
(4) A 能对角化的充分必要条件是 A有 n 个线 性无关的特征向量．
(5) A有n个互异的特征值，则 A与对角阵相似．
１１ 实对称矩阵的相似矩阵
(1)实对称矩阵的特征值为实数.
(2)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向
量必正交.
的一个规范正交基.
定义 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px称为 正交变换．
正交变换的特性在于保持线段的长度不变．
设y Px为正交变换,则有 y yT y xT PT px xT x x .
６ 方阵的特征值和特征向量
定义 设A是n阶矩阵,如果数和n维非零列向量x
使关系式
Ax x 成立,那么, 这样的数称为方阵A的特征值,非零向 量x称为A的对应于特征值的特征向量.
x Cy 及 x Pz
使
f
k1
y
2 1
k2
y
2 2
k
r
y
2 r
(k i 0),
及
f
1
z
2 1
2
z
2 2
r
z
2 r
( i 0),
则k1 , k 2 ,, k r中正数的个数与 1 , 2 ,, r中正
数的个数相等.
注意 k1 , k 2 ,, k r中正数的个数p称为正惯性指 数;
r p N称为负惯性指数; s p N p (r p) 2 p r称为f的符号 差. 它们是二次型对于非退化线性变换的不变 量.
若 e1 , e2 ,, er 是V的一个规范正交基,那么V 中任一向量a都可表为
a 1e1 2e2 r er , 其中 i eTi a [a, ei],(i 1,2,, r ).
施密特正交化方法 设 a1 , a2 ,, ar 是向量空间V的一个基,要求V
的一个规范正交基,只需把a1 , a2 ,, ar 这个基规 范正交化.
f
(
x1
,
x
2
,,
x
n)
a11
x
2 1
a 22
x
2 2
a nn
x
2 n
2
a12
x1
x
2
2
a13
x1
x
3
2 an1,n xn1 xn
称为二次型.
二次型可记作f xT Ax, 其中 AT A. A称 为二次型f的矩阵, f称为对称阵A的二次型,对 称阵A的秩称为二次型f的秩.
二次型与它的矩阵是一一对应的．
1, 2
1 2
1 6
2
1 1
2 ,
0
2
1 2
0
6 6
.
(3)令 3 k1 1 k 2 2 3 ,且 3 与 2 , 1正交,
得
k1 [ 1, 3] 1 2 ,
k2 [ 2 , 3] 1 6 ,
1 3
1 (2 3)
3
xy 称为n维向量x与y的夹角.
当[x, y] 0时, 称向量x与y正交. 若x 0,则x与任何向量都正交.
４ 正交向量组的性质
所谓正交向量组，是指一组两两正交的非零 向量．向量空间的基若是正交向量组，就称为正 交基．
定理 若n维向量a1 , a2 ,, ar 是一组两两正交的非 零向量,则a1 , a2 ,, ar 线性无关. 定义 设n维向量e1 , e2 ,, er 是向量空间V (V Rn) 的一个基,如果e1 , e2 ,, er 两两正交,则称 e1 , e2 ,, er 是V的一个规范正交基.
１７ 正定二次型的判定
(1)实二次型f xT Ax为正定的充分必要条件 是 :它的标准形的n个系数全为正,即正惯性指数 p n;
(2)对称矩阵A为正定的充分必要条件是 : A的 特征值全为正;
(3)(霍尔维茨定理)对称矩阵A为正定的充分必
要条件是: A的各阶主子式都为正,即
a11 a1n
a11 0; a11 a12 0;,