河南省洛阳市2019-2020学年数学高二下期末预测试题含解析

河南省洛阳市2019-2020学年数学高二下期末预测试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1
．已知2
2
5sin )a x dx -=⎰
，且2a
m π
=
.则展开式212(1)m x x ⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
中x 的系数为（ ） A ．12 B ．-12
C ．4
D ．-4
【答案】D 【解析】 【分析】
求定积分得到a 的值，可得m 的值，再把()1m
x -按照二项式定理展开式，可得212(1)m
x x ⎛
⎫-
- ⎪⎝⎭
中x 的系数． 【详解】
∵2
222
2
1
5sin )2522
a x dx cosx ππ--==
⋅⋅-=⎰
，且24a
m π
=
=，
则展开式()()422112121m x x x x ⎛⎫⎛⎫-
-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2342121464x x x x x ⎛
⎫=-⋅-+-+ ⎪⎝
⎭， 故含x 的系数为844-+=-，故选D ． 【点睛】
本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 2．函数()f x lnx ax =-在区间()1,5上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．(,1]-∞
C ．1,5⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
D ．1(]5
-∞，
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数的导数，由题意可得()0f x '≥恒成立，转化求解函数的最值即可． 【详解】
由函数()ln f x x ax =-，得1
()f x a x
'=
-， 故据题意可得问题等价于()1,5x ∈时，1
()0f x a x
'=-≥恒成立， 即1a x ≤恒成立，函数1
y x =单调递减，故而15
a ≤，故选D.
【点睛】
本题主要考查函数的导数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，函数恒成立的等价转化，属于中档题.
3．若复数z 满足()2
11z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】B 【解析】
分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得到结论. 详解：()2
11z i i -=+，
()
()(
)2
21i i 1i
1i 2i 2i 1i z +++∴=
=
=---1i 11i 222
-+==-+， z ∴在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，位于第二象限，故选B.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 4．某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如下表：
根据以上数据可得回归直线方程y bx a =+，其中9.4b =，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为65.5万元，则a ，m 的值为（ ） A ．9.4a =，52m = B ．9.2a =，54m = C ．9.1a =，54m = D ．9.1a =，53m =
【答案】C 【解析】
分析：根据回归直线过样本中心和条件中给出的预测值得到关于ˆa
，m 的方程组，解方程组可得所求． 详解：由题意得()()()1711
4235,5026381144244
x y m m =
+++==+++=+， 又回归方程为9.4ˆˆy
x a =+， 由题意得()171149.442
65.59.46ˆˆm a
a ⎧+=⨯+⎪⎨⎪=⨯+⎩
，解得5ˆ9.14a m =⎧⎨=⎩． 故选C ．
点睛：线性回归方程过样本中心是一个重要的结论，利用此结论可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的参数．根据回归方程进行预测时，得到的数值只是一个估计值，解题时要注意这一点．
5．设(1)24i z i +=-，则2
z = （ ）
A B ．10
C ．
D ．100
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算化简z 为a bi +的形式，然后求得2z 的表达式，进而求得2
z . 【详解】
()()()()
2412413111i i i z i i i i ---=
==--++-，2216986z i i i =++=-+，210z =.故选B. 【点睛】
本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的平方和模的运算，属于基础题. 6．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12
C ．13
D ．14
【答案】C 【解析】 【分析】
利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴101109
1021002
S a ⨯=+⨯= ∴11a =
∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题.
7．已知双曲线()22
2
2:10,0x y C a b a b
-=>> 的右焦点为F 2，若C 的左支上存在点M ，使得直线bx ﹣ay ＝0是线段MF 2的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）
A B ．2
C D ．5
【答案】C
【解析】 【分析】
设P 为直线bx ay 0-=与2MF 的交点，则OP 为12MF F 的中位线，求得2F 到渐近线的距离为b ，运用中位线定理和双曲线的定义，以及离心率的公式，计算可得所求值． 【详解】
212P bx ay 0MF OP MFF -=设为直线与的交点，则为的中位线，
()2F c,0，直线bx ay 0-=是线段2MF 的垂直平分线，
可得
2F 到渐近线的距离为2F P b =
=，
且OP a ==，1 MF 2OP 2a ==，2
MF 2b =，可得21MF MF 2a -=， 即为2b 2a 2a -=，即b 2a =，
可得c e a ==== 故选C ． 【点睛】
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2x
f x m =-，则
()2019f =（ ）
A ．1
B ．-1
C ．2
D ．-2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据f （x ）是R 上的奇函数，并且f （x+1）=f （1-x ），便可推出f （x+4）=f （x ），即f （x ）的周期为4，而由x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -m 及f （x ）是奇函数，即可得出f （0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f （2019）=f （-1）=-f （1）=-1． 【详解】
∵()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()11f x f x +=-； ∴(2)()()f x f x f x +=-=-； ∴(4)()f x f x +=； ∴()f x 的周期为4；
∵[0,1]x ∈时，()2x
f x m =-； ∴由奇函数性质可得(0)10f m =-=； ∴1m =；
∴[0,1]x ∈时，()21x
f x =-；
∴(2019)(15054)(1)(1)1f f f f =-+⨯=-=-=-. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题. 9．极坐标系内,点1,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
到直线cos 2ρθ=的距离是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
通过直角坐标和极坐标之间的互化，即可求得距离. 【详解】
将cos 2ρθ=化为直角坐标方程为2x =，把1,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
化为直角坐标点为()0,1，即()0,1到直线2x =的距离为2，故选B. 【点睛】
本题主要考查极坐标与直角坐标之间的互化，点到直线的距离公式，难度不大.
10．函数()()()2f x x ax b =-+为偶函数，且在()0,∞+单调递增，则()20f x ->的解集为 A ．{}|22x x -<< B ．{|2x x >或}2x <- C ．{}|04x x << D ．{|4x x >或}0x <
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性得到2b a =，在()0,+∞单调递增，得0a >，再由二次函数的性质得到
()200f x f ->=（），
【详解】
函数()()2
22f x ax b a x b =+--为偶函数，
则20b a -=，故()()()2
422f x ax a a x x =-=-+，
因为在()0,+∞单调递增，所以0a >. 根据二次函数的性质可知，
不等式()202f x f ->=（），或 者()202f x f ->=-（），
的解集为{2222}{|04}x x x x x x --<-=或或， 故选D. 【点睛】
此题考查了函数的对称性和单调性的应用，对于抽象函数，且要求解不等式的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为自变量的大小比较，直接比较括号内的自变量的大小即可.
11．已知函数()x
f x x ae =+，则“1a >-”是“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”的
（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”求a 的范围，再利用充要条件的定义判断充要性. 【详解】
由题得切线的斜率为2，
所以'
1
()12,1,0x
x
x
f x ae ae a e =+=∴=∴=
> 因为{}|1a a >-{}|0a a ≠
⊃>, 所以“1a >-”是“曲线()y f x =存在垂直于直线20x y +=的切线”的必要不充分条件. 故答案为B
12．下列关于正态分布2(,)(0)N μσσ>的命题： ①正态曲线关于y 轴对称；
②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”；
③设随机变量~(2,4)X N ，则1()2
D X 的值等于2；
④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移. 其中正确的是（ ） A ．①② B ．③④
C ．②④
D ．①④
【答案】C 【解析】
分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．
详解：①正态曲线关于x μ=轴对称，故①不正确，
②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”；正确； ③设随机变量()~2,4X N ，则12D X ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值等于1；故③不正确； ④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移.正确. 故选C.
点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了正态分布及正态曲线，熟练掌握正态分布的相关概念是解答的关键．
二、填空题：本题共4小题 13．命题：“0x R ∃∈，使得2
001
04
x x -+
>”的否定是_______. 【答案】x R ∀∈，2
104
x x -+≤ 【解析】 【分析】
直接利用特称命题的否定解答即可. 【详解】
因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题：“0x R ∃∈，使得2
00104x x -+
>”的否定是：x R ∀∈，21
04
x x -+≤. 故答案为：x R ∀∈，2
1
04
x x -+≤. 【点睛】
本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
14．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在抛物线24y x =上，则ABP △面积的最
小值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】
通过三角形的面积公式可知当点P 到直线AB 的距离最小时面积最小，求出与直线2x ﹣y ﹣2＝0平行且为抛物线的切线的直线方程，进而利用两直线间的距离公式及面积公式计算即得结论． 【详解】
依题意，A （﹣2，0），B （0，﹣2），
设与直线x+y+2＝0平行且与抛物线相切的直线l 方程为：x+y+t ＝0， 联立直线l 与抛物线方程，消去y 得：y 2+4y+4t ＝0， 则△＝16﹣16t ＝0，即t ＝1，
∵直线x+y+2＝0与直线l 之间的距离d 2
22
=
=， ∴S min 12=
|AB|d 12
2222
=⨯⨯=1． 故答案为1．
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，数形结合是解决本题的关键，属于中档题．
15．已知向量()()()1
2311a b c λ===，，，，，.若2a b -与c 共线，则a 在c 方向上的投影为 ________. 【答案】2 【解析】 【分析】
利用共线向量的坐标表示求出参数λ，再依据投影的概念求出结果即可． 【详解】
∵()()1
23a b λ==，，，∴()()21222336a b λλ-=-⨯⋅-⨯=--，. 又∵2a b -与c 共线，∴36λ-=-，∴3λ=，∴()1
3a =，， ∴a 在c 方向上的投影为22a c c
⋅=.
【点睛】
本题主要考查共线向量的坐标表示以及向量投影的概念，注意投影是个数量．
16．设圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】
求出圆锥的底面半径，假设截面与圆锥底面交于,CD CD a =，用a 表示出截面三角形的高，得出截面三角形的面积关于a 的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值． 【详解】
解：∵圆锥的高是1，母线长是2， ∴底面半径2213r =
-=，
设过圆锥顶点的平面SCD 与圆锥底面交于CD ，过底面中心O 作OA ⊥CD 于E ，
设CD a =，则22
2
3,(023)44
a a OE r a =-=-<≤，
2
2
2
44
a SE OE OS ∴=+=-
∴截面SCD 的面积2
114224
a S CD SE a =⨯=-=
2242442
4
a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了圆锥的结构特征，基本不等式的应用，属于中档题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，4AB =，32=AD
（1）求sin ADB ∠；
（2）若32DC =ABCD 的面积. 【答案】（1）25
sin ADB ∠=（2）9 【解析】 【分析】
（1）在ABD △中由余弦定理得BD ， 再由正弦定理能求出sin ADB ∠；（2）
25
cos sin 5
BDC ADB ∠=∠=
，四边形ABCD 的面积ADB
BDC
S S S
=+，由此能求出结果．
【详解】
（1）在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=︒，45A ∠=︒，4AB =，32=AD
ABD △中，由余弦定理可得：
222
216182432102
BD AB AD AB AD cos BAD =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯
=， ∵
sin sin AB BD
ADB BAD
=∠∠，
∴2
42525210
AB sin BAD sin ADB BD ⋅∠∠==
=． （2）BCD 中，25
cos sin BDC ADB ∠=∠=
， 11
sin sin 922
ADB BDC S S S AD BD ADB CD BD CDB =+=
⋅⋅∠+⋅⋅∠=△△ 【点睛】
本题考查角的正弦值、四边形面积的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．目前，学案导学模式已经成为教学中不可或缺的一部分，为了了解学案的合理使用是否对学生的期末复习有着重要的影响某校随机抽取200名学生，对学习成绩和学案使用程度进行了调查，统计数据如下表所示：
已知随机抽查这200名学生中的一名学生，抽到善于使用学案的学生概率是0.6.
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d '-=++++，其中n a b c d =+++.
（I ）完成22⨯列联表（不用写计算过程）；
（Ⅱ）试运用独立性检验的思想方法分析有多大的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关？ 【答案】（1）见详解（2）有99.9%的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关. 【解析】 【分析】
（1）由已知数据列22⨯列联表，
（2）由2K 公式得：2
2
200(40308050)
16.49810.8281208090110
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，结合参考数据下结论即可.
【详解】
（1）22⨯列联表：
（2）由2K
公式得：
2
2
200(40308050)16.49810.8281208090110
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
故有99.9%的把握认为学生的学习成绩与对待学案的使用态度有关. 【点睛】
本题主要考查了22⨯列联表及2K 的运算及用独立性检验的思想方法分析，属于中档题.
19．某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的
情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时） （1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
.估计该校学生每周平均体育运
动时间超过4个小时的概率
.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附：
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20()P K k ≥
0.10
0.05
0.010
0.005
0k
2.706
3.841
6.635
7.879
【答案】（1）90；（2）0.75；（3）有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 【解析】
试题分析：（1）由分层抽样性质，得到4500
3009015000
⨯
=；（2）由频率分布直方图得
()120.10.0250.75-+=；（3）利用2×2列联表求2K .
试题解析： （1）由4500
3009015000
⨯
=，所以应收集90位女生的样本数据．
（2）由频率发布直方图得()120.10.0250.75-+=，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育
运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时165 60 225 总计210 90 300
结合列联表可算得
()2
2
300456030165
4.762 3.841
7522521090
K
⨯⨯-⨯
=≈>
⨯⨯⨯
有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关”
点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
20．某学生社团对本校学生学习方法开展问卷调查的过程中发现，在回收上来的1000份有效问卷中，同学们背英语单词的时间安排有两种：白天背和晚上临睡前背．为研究背单词时间安排对记忆效果的影响，该社团以5%的比例对这1000名学生按时间安排进行分层抽样，并完成一项试验，试验方法是：使两组学生记忆40个无意义音节（如xiq,geh),均要求刚能全部记清就停止识记，并在8小时后进行记忆测验．不同的是，甲组同学识记结束后一直不睡觉，8小时后测验；乙组同学识记停止后立刻睡觉，8小时后叫醒测验．两组同学识记停止8小时后的准确回忆（保持）情况如图（区间含左端点不含右端点）．
（1）估计1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节的保持率大于或等于60%的人数；
（2）从乙组准确回忆个数在范围内的学生中随机选3人，记：能准确回忆20个以上（含20）的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；
（3）从本次试验的结果来看，上述两种时间安排方法中哪种方法背英语单词记忆效果更好？计算并说明理由．
【答案】（1）180；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用频率分布直方图能求出1000名被调查的学生中识记停止8小时后40个音节保持率大于等于60%的人数；
（2）由题意知的可能取值为，分别求出相应的概率，由此得到随机变量的分布列，求解数学期望；（3）分别求出甲组学生的平均保持率和乙组学生的平均保持率，由此得到临睡前背英语单词的效果更好. 【详解】
（1）因为1000×5%=50，由图可知，甲组有4+10+8+4+2+1+1=30（人）
所以乙组有20,人，又因为40×60%=24，所以识记停止8小时后，40个音节的保持率大于或等于60%的甲组有1人，乙组有（0.0625+0.0375）×4×20=8（人）
所以（1+8）÷5%=180（人），估计1000名被调查的学生中约有180人.
（2）由图可知，乙组在范围内的学生有(0.025+0.025+0.075）×4×20=10（人）
在范围内的有0.075×4×20=6（人），X的可能取值为0,1,2,3，
，
X 0 1 2 3
P
所以X的分布列为
（3）2×4+6×10+10×8+14×4+18×2+22×1+26×1=288
甲组学生的平均保持率为
（6×0.0125+10×0.0125+14×0.025+18×0.025+22×0.075+26×0.0625+30×0.0375）×4×20=432，乙组学生的平均保持率为，
所以临睡前背英语单词记忆效果更好. 【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的应用，以及离散型随机变量的分布列与数学期望问题，其中解答认真审题，合理分析，正确求解随机变量的取值及对应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
21．已知二阶矩阵A 对应的变换将点(1,1)M 变换成'(3,3)M ，将点(1,2)N -变换成'(3,0)N . （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；
（2）若向量15β⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，计算3
A β.
【答案】（1）1
12332133A -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
；（2）8379⎡⎤⎢⎥⎣⎦．
【解析】
分析：（1）利用阶矩阵A 对应的变换的算法解出a b A c d ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，再求1A - （2）先计算矩阵A 的特征向量，再计算3
A β 详解：（1）a b A c d ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
，则 133133a b a b a b c d c d c d ++=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧==⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩， 1232322020a b a b a b c d c d c d --+-+=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎧==⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩
， 解得1a =，2b =，2c =，1d =，
所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，
所以1
12332133A -⎡⎤-⎢⎥=⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
； （2）矩阵A 的特征多项式为()()2
1
2
142
1
f λλλλ--==---- 223λλ=--，
令()0f
λ=，解得13λ=，21λ=-，
从而求得对应的一个特征向量分别为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，211α⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
. 令12m n βαα=+，求得3m =，2n =-， 所以()(
)(
)
3
3
3
3
12123232A A A A βαααα=-=-
()()
3331122132331λαλα⎡⎤=-=⋅⎢⎥⎣⎦ ()318321179⎡⎤
⎡⎤-⋅-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
.
点睛：理解矩阵的计算规则和相互之间的转换． 22．已知函数()2
2ln .f x a x x =-
()1讨论函数()f x 的单调性；
()2当0a >时，求函数()f x 在区间()21,e 上的零点个数.
【答案】 (1)见解析；(2)见解析 【解析】 【分析】
（1）先对函数()f x 求导，分别讨论0a ≤，0a >，即可得出结果； （2）先由（1）得0a >时，函数()f x 的最大值()
()()max ln 1f x f
a a a ==-，分别讨论()ln 10a a -<，
()ln 10a a -=，()ln 10a a ->，即可结合题中条件求出结果.
【详解】 解：（1） ()2
2ln f x a x x =-，∴ ()(
)2
2a x f x x
=
'-，
0x >
当0a ≤时，()(
)2
20a x f x x
-'=
<，
当0a >时，()(
)()()2
22x a x a a x f x x
x
--+-=='，
当0x a <<
时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<
∴当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；
当0a >时，()f x 在()
0,a 上单调递增，在(
)
,a +∞上单调递减.
（2）由（1）得()()()max ln 1f x f
a a a ==-，
当()ln 10a a -<，即0a e <<时，函数()f x 在(
)2
1,e
内有无零点；
当()ln 10a a -=，即a e =时，函数()f x 在()0,+∞内有唯一零点a ， 又21a e e <
=<，所以函数()f x 在()
2
1,e 内有一个零点；
当()ln 10a a ->，即a e >时，由于()110f =-<，()ln 10f
a a a =->，
()()
()()2244
2
2
2ln 422f e a e e a e a e a e =-=-=，
若2
20a e <，即44
e e a <<时，()
2
0f e <，由函数单调性知
(1x a ∃∈使得()10f x =，)
22,e x a ∃∈
使得()20f x =,
故此时函数()f x 在(
)2
1,e
内有两个零点；
若2
20a e ≥22
e a e ≥>()
2
0f e ≥，
且2ln
0f
e a e e a e ==->，()110
f =-<，
由函数的单调性可知()f x 在(e 内有唯一的零点，在)
2,e e 内没有零点，从而()f x 在()21,e 内只
有一个零点
综上所述，当()0,a e ∈时，函数()f x 在(
)2
1,e
内有无零点；
当{}4,4e a e ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 在()2
1,e 内有一个零点；
当4,4e a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，函数()f x 在()2
1,e 内有两个零点．
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.。