2015高考数学一轮总复习课件：同步测试11 不等式的性质、解法及线性规划

A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<c<a
【解析】依题意得，当 x<1 时，有 f′(x)>0，f(x) 为增函数，又 f(3)＝f(－1)，且－1<0<12<1，因此有 f(－ 1)<f(0)<f12，即有 f(3)<f(0)<f12，c<a<b，故选 C.
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二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将各小题的结果填在题中横线上．)
7．不等式lnxx>0 的解集是__x__x____1___．
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3x－y－2≤0 8．已知实数 x，y 满足 3x＋2y－4≥0，则 3x2
13
2y－3≤0
＋y2 的最小值为____4____．
3)， 即证4（4（k＋k＋1）1）2－1>ln22kk＋＋13.在不等式 x－1x>2ln x 中，令 x＝22kk＋ ＋31，
得 ln22kk＋ ＋31<1222kk＋＋31－22kk＋ ＋13＝4（4（k＋k＋1）1）2－1. ∴n＝k＋1 时命题也成立．
n
根据数学归纳法，可得不等式
i＝ 1
4i24－i 1>ln(2n＋1)对一切 n∈N*成立.
n1
2
3
4
…9 8
p
2 99
1 49
2 97
1 48
…1
又知每生产一件正品盈利 a 元，每生产一件次品
损失a2元(a>0)．
(1)将该厂日盈利额 T(元)表示为日产量 n(件)的一
种函数关系式；
(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少
件？( 3≈1.73)
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根据(1)的推导有，x∈(1，＋∞)时，f(x)>g(x)，即 x－1x>2ln x.
令 x＝3，得 3－13>2ln 3，即43>ln 3.
因此，n＝1 时不等式成立．
另解：∵
e>52，∴e4>524＝61265>27，
∴4>ln
27，即43>ln
3.
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假设当
_____2__, 0_______0_,_2_______．
【解析】因为函数 f(x)在(0，＋∞)上为单调递减
函数，且 f(2)＝0，所以函数 f(x)在(0，2)上的函数值为
正，在(2，＋∞)上的函数值为负，
当
x>0
时
，
3f（－x）－2f（x）≤ 5x
0⇔
3f(－
x)－
2f(x)≤0，
又 f(－x)＝－f(x)，
号，
而 n∈N*，且T（a82）<T（a83），
故
n＝83
时T取最大值，即 a
T
取最大值时日产量应为
83
件．
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12．(16 分)已知数列{an}满足 a1＝1，a2＝5，n≥2 时，an＋1＝5an－6an－1.
(1)证明：数列{an＋1－3an}为等比数列； (2)求数列{an}的通项公式 ； (3)试比较 an 与 2n2＋1 的大小，并说明理由．
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13．(18 分)已知 f(x)＝x－ax(a>0)，g(x)＝2ln x＋bx， 且直线 y＝2x－2 与曲线 y＝g(x)相切．
(1)若对[1，＋∞)内的一切实数 x，不等式 f(x)≥g(x) 恒成立，求实数 a 的取值范围；
(2)当 a＝1 时，求最大的正整数 k，使得对[e，3](e ＝2.718 28…是自然对数的底数)内的任意 k 个实数 x1， x2，…，xk 都有 f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xk－1)≤16g(xk)成立；
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
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2．设 a＋b<0，且 b>0，则( D ) A．b2>a2>ab B．b2<a2<－ab C．a2<－ab<b2 D．a2>－ab>b2
【解析】由条件有－a>b>0，易知选 D.
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3．已知向量 a＝(x，2)，b＝(4，y－1)，若 a⊥b，
则 9x＋3y 的最小值为( A )
A．2 3 B．4 C．12 D．6
【解析】∵a⊥b，∴4x＋2(y－1)＝0，
∴2x＋y＝1，∴9x＋3y≥2 9x·3y＝2 32x＋y＝2 3， 当且仅当22xx＝ ＋yy＝1，即xy＝＝1214时，取等号，故选 A.
n
(3)求证：
i＝1
4i24－i 1>ln(2n＋1)(n∈N*)．
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【解析】设点(x0，y0)为直线 y＝2x－2 与曲线 y＝g(x)的切点，
则有 2ln x0＋bx0＝2x0－2. (*)
∵g′(x)＝2x＋b，∴x20＋b＝2.
(**)
由(*)、(**)两式，解得 b＝0，g(x)＝2ln x.
【解析】(1)由题意可知 p＝1002－n(1≤n≤98，n∈N*)，日产
量 n 件中，正品(n－pn)件，日盈利额 T(n)＝a(n－pn)－a2pn＝
an－1003－n n(1≤n≤98，n∈N*)． (2)T（an）＝3＋n－10300－0 n(a>0)
＝103－（100－n）＋10300－0 n≤103－2 300≈68.4， 当且仅当 100－n＝10300－0 n，即 n＝100－10 3≈82.7 时取等
即
ln
x<12x－1x
.
令 x＝22kk－＋11，k∈N*，得 ln22kk＋ －11<1222kk＋－11－22kk－ ＋11，
化简得 ln(2k＋1)－ln(2k－1)<4k42－k 1，
n
ln(2n＋1)＝
i＝ 1
4i 4i2－1
(法二)数学归纳法：当 n＝1 时，左边＝43，右边＝ln 3，
【解析】(1)证明：∵当 n≥2 时，an＋1＝5an－6an －1，
∴an＋1－3an＝2an－6an－1＝2(an－3an－1)， 又 a1＝1，a2＝5，∴a2－3a1＝2≠0， ∴数列{an＋1－3an}是以 2 为首项，2 为公比的等比 数列．
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(2)由(1)知 an＋1－3an＝2n，∴a2nn＋＋11＋1＝32a2nn＋1，
因此，实数 a 的取值范围是 0<a≤1.
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(2)当 a＝1 时，f(x)＝x－1x，∵f′(x)＝1＋x12>0，∴f(x) 在[e，3]上是增函数，f(x)在[e，3]上的最大值为 f(3)＝ 83.要对[e，3]内的任意 k 个实数 x1，x2，…，xk，都有 f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xk－1)≤16g(xk)成立，必须使得不等 式左边的最大值小于或等于右边的最小值，
∴f(x)≥0，∴0<x≤2，
同理，x<0 时，可解得－2≤x<0.
综上可知原不等式的解集为[－2，0)∪(0，2]．
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三、解答题(本大题共 3 小题，共 50 分．解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．)
11．(16 分)某工厂统计资料显示，产品次品率 p
与日产量 n(件)(n∈N*，且 1≤n≤98)的关系如下表：
9．若圆 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 关于直线 2ax－by ＋2＝0(a，b∈R)对称，则 ab 的取值范围为 ____ __,_14___．
【解析】直线过圆心，则 a＋b＝1，ab≤a＋2 b2＝ 14.
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10．设奇函数 f(x)在(0，＋∞)上为单调递减函数， 且 f(2)＝0，则不等式3f（－x）5－ x 2f（x）≤0 的解集为
2015’新课标·名师导学·新高考第一轮总复习同步 测试卷
理科数学(十一)
(不等式的性质、解法及线性规划 ) 时间：60分钟 总分：100分
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一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．)
1．已知集合 S＝{y|y＝2x}，T＝{x|y＝lg(x－1)}， 则 S∩T＝( C )
∴数列a2nn＋1是以32为首项，32为公比的等比数列，
∴2ann＋1＝32n，数列的通项公式为 an＝3n－2n. (3)当 n＝1 时，a1＝1，2n2＋1＝3，∴an<2n2＋1， 当 n＝2 时，a2＝5，2n2＋1＝9，∴an<2n2＋1， 当 n＝3 时，a3＝19，2n2＋1＝19，∴an＝2n2＋1， 当 n≥4 时， an＝(2＋1)n－2n＝Cn02n＋Cn12n－1＋Cn22n－2＋…＋ Cnn－2n>1＋2Cn1＋4Cn2＝2n2＋1， ∴an>2n2＋1. 综上：当 n＝1 或 2 时，an<2n2＋1；当 n＝3 时， an＝2n2＋1；当 n≥4 时，an>2n2＋1.
(1)由 f(x)≥g(x)整理得ax≤x－2ln x， ∵x≥1，∴要使不等式 f(x)≥g(x)恒成立，
必须 a≤x2－2xln x 恒成立．
设
h(x)＝x2－2xln
x，h′(x)＝2x－2ln
x＋x·1x
＝2x－2ln x－2，
∵h″(x)＝2－2x，∴当 x≥1 时，h″(x)≥0，则 h′(x)是增函数， ∴h′(x)≥h′(1)＝0，h(x)是增函数，h(x)≥h(1)＝1，a≤1.
第四页，编辑于星期五：十三点 二分。
4．对一切实数 x，对任意的实数 a，不等式 x2＋
a|x|＋1≥0 恒成立，则实数 a 的取值范围是( B )
A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞)
C．(－∞，2)
D．(－∞，2]
【解析】当 x＝0 时，对任意的实数 a 不等式恒成 立，
当 x≠0 时，a≥－x2|＋x| 1＝－|x|＋|x1|＝f(x)， 问题等价于 a≥f(x)max， 又 f(x)max＝－2. ∴a≥－2.
∵当 x1＝x2＝…＝xk－1＝3 时不等式左边取得最大 值，xk＝e 时不等式右边取得最小值．
∴(k－1)×83≤16×2，解得 k≤13.因此 k 的最大值 为 13.
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(3)证明：(法一)当 a＝1 时，根据(1)的推导有，x∈(1，＋∞)时，
f(x)>g(x)，
第五页，编辑于星期五：十三点 二分。
x≥0 5．若不等式组x＋3y≥4所表示的平面区域被直
3x＋y≤4
线 y＝kx＋43分为面积相等的两部分，则 k 的值是( A )
7
3
A.3
B.7
4
3
C.3
D.4
第六页义域 R 内可导，若 f(x)＝f(2－x)， 且当 x∈(－∞，1)时，(x－1)·f′(x)<0，设 a＝f(0)，b＝ f12，c＝f(3)，则( C )
k
n＝k 时不等式成立，即
i＝ 1
4i24－i 1>ln(2k＋1)，
则当
n＝k＋1
k＋1
时，
i＝ 1
4i 4i2－
k
＝
1 i＝1
4i 4i2－
1＋4（4（k＋k＋1）1）2－1>ln(2k＋1)
＋4（4（k＋k＋1）1）2－1， 要证 n＝k＋1 时命题成立，即证 ln(2k＋1)＋4（4（k＋k＋1）1）2－1>ln(2k＋
【解析】令 x′＝ 3x，则原问题转化为：已知实数
x′－y－2≤0 x′，y 满足x′＋2y－4≥0，求 x′2＋y2 的最小值，而 2y－3≤0 x′2＋y2表示可行域内任一点 P 到原点的距离|OP|，
画可行域可求得( x′2＋y2)min＝ 213，则所求的最小值 为143.
第九页，编辑于星期五：十三点 二分。