高考数学 仿真模拟卷 文5 新课标版

高考数学 仿真模拟卷 文5 新课标版
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
（1）已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =,{1,3,5,7}A =,{3,5}B =，则下列式子一定成立的是 （A ）U U C B C A ⊆ （B ）()()U U C A C B U ⋃= （C ）U A
C B =∅
（D ）U B
C A =∅
（2）若纯虚数z 满足bi z i +=-4)2(,则实数b 等于 （ ）
（A ） -2
（B ） 2 （C ） -8
（D ） 8
（3）设l ，m ，n 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，给出下列命题:
①当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”成立的充要条件 ;
②当m ⊂α且n 是l 在α内的射影时，“m ⊥n ，”是“l ⊥m ”的充分不必要条件; ③当m ⊂α时，“m ⊥β”是“βα⊥”充分不必要条件;
④当m ⊂α，且n ⊄α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的既不充分也不必要条件;
则其中不正确命题的个数是 （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（4）把函数)||,0)(sin(πφωφω<>+=x y 的图象向左平移6
π
个单位，再将图像上所有点 的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）所得的图象解析式为 x sin y =，则 ( )
（A ）6
2π
φω=
=， （B ）32π-
=φ=ω， （C ）621π=φ=ω， （D ）12
21π=φ=ω， （5）若实数x,y 满足2
31x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则S=2x+y －1的最大值为( )
(A) 6
(B)4 (C)3 (D) 2
（6）点P 为双曲线1C ：()0,012222>>=-b a b
y a x 和圆2C ：2
222b a y x +=+的一个交
点，且12212F PF F PF ∠=∠，其中21,F F 为双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为
（A ）3 （B ）21+
（C ）13+
（D ）2
（7）甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙 两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准 差，则有（ ）
（A ）1212,x x s s ><（B ）1212,x x s s =<
（C ）1212,x x s s => （D ）1212,x x s s <>
（8）如果执行右面的程序框图2，输入n=6,m=4，则输出的p 等于 （A ）720 （B ）360 （C ）240 （D ）120
（9）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成 等比数列，n n S 为{a }的前n 项和， 则
32
53
S S S S --的值为 （ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）
1
5
（D ）4 （10）给定抛物线C ：y 2
=4x ，F 是其焦点， 过F 的直线l ：y=k （x -1），它与C 相交于A 、B 两点。

如果λ=且]4
1
,161[
∈λ。

那么k 的变化范围是（ ） （A ）]34,158[ （B ）]158
,34[--
（C ）]158,34[]34,158[-- （D ）),15
8
[]34,(+∞--∞
(11) 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的生长情况，采用分层抽样
的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为
（A ）25 （B ）30 （C ）15 （D ）20
（12）设()f x 的定义域为D ，若()f x 满足下面两个条件，则称()f x 为闭函数. ①()f x
在D 内是单调函数；②存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]a b ，如果
()f x k =为闭函数，那么k 的取值范围是 （ ）
（A ） 1k -<≤12
-
（B ）
1
2
≤k ＜1 （C ） 1k >- （D ）k ＜1
二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分．
13．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237...k a a a a a =++++，则k = 14．已知非零向量a 、b
满足|||a b =，若函数3
21()||213
f x x a x a bx =
++⋅+在R 上有极值，则,a b <>的取值范围是________. 15．若A 为抛物线2
4
1x y =
的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点，则AC AB ⋅ 等于 .
16．已知下列命题命题:
①椭圆22221y x a b
+=中，若a,b,c
成等比数列，则其离心率e =；
②双曲线222
x y a -=(a>0)
的离心率e =
③在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；
④若实数[]
,1,1
x y∈-，则满足221
x y
+≥的概率为
4
π
.
其中正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明．推理过程或计算步骤.
(17)（本小题满分12分）
设ABC
∆的内角C
B
A,
,所对的边分别为,
,
,c
b
a且b
c
C
a=
+
2
1
cos．（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若1
=
a，求ABC
∆的周长l的取值范围．
(18) （本小题满分12分）某校一课题小组对郑州市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50人，他们月收入频数分布及对“楼市限购令”赞成人数如下表。

（1）完成下图的月收入频率分布直方
图（注意填写纵坐标）及2×2列联表；
(19 )（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且1,
MD NB
==
（1）以向量AB方向为侧视方向，侧视图是什么形状？说明理由
．．．．并画出侧视图。

（2）求证：//
CN平面AMD；
(3）求该几何体的体积. N
M
D C
(20)（本小题满分12分）已知点A （0，1）、B （0，-1），P 为一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为12
-
（I ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（II ）设Q （2，0），过点（-1，0）的直线l 交C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，
若对满足条件的任意直线l ，不等式tan ,S MQN λλ≤∠恒成立求的最小值。

(21) （本小题满分12分）设函数x
x
a x x f ln )(+
=，其中a 为常数． （Ⅰ）证明：对任意R a ∈，)(x f y =的图象恒过定点；
（Ⅱ）当1-=a 时，判断函数)(x f y =是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）若对任意],0(m a ∈时，)(x f y =恒为定义域上的增函数，求m 的最大值．
(22)（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已经⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD 交⊙O 于点C ，点 G 为弧BD 中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F ， 连结CE. (Ⅰ) 求证：AG·EF=CE·GD；
(Ⅱ) 求证：2
2
GF EF AG CE =
参考答案
一、选择题： （1）～（12）ＤＤB ＢA ＣＢB ＡＣ ＤＡ 二、填空题：13． 22 14. ,6ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
15. -3 16.①②③ 三、解答题：
(17)解：（Ⅰ）由b c C a =+
21cos 得1
sin cos sin sin 2
A C C
B += 又()sin sin sin cos cos sin B A
C A C A C =+=+ 1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C ，2
1cos =∴A ， 又
0A π<<3
π
=
∴A -----------------------（6分）
（Ⅱ）由正弦定理得：B A B a b sin 32sin sin ==
,C c sin 3
2
=
)())
1sin sin 1sin sin 33
l a b c B C B A B =++=+=++ 3112cos 2B B ⎫=++⎪⎪⎝⎭
⎪⎭⎫ ⎝⎛
++=6sin 21πB ,3A π=20,,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+∴65,66πππB
1sin ,162B π⎛
⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 故ABC ∆的周长l 的取值范围为(]2,3.
-------------------（12分）
（Ⅱ）另解：周长l 1a b c b c =++=++
由（Ⅰ）及余弦定理2
2
2
2cos a b c bc A =+-
2
2
1b c bc ∴+=+
22
()1313(
)2
b c b c bc +∴+=+≤+ 2b c +≤
又12b c a l a b c +>=∴=++> 即ABC ∆的周长l 的取值范围为(]2,3.
18.解：（1）各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是：
0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，
…………3分
…………6分
（2）设收入（单位：百元）在[15,25)的被调查者中赞成的分别是1234,,,A A A A ，不赞成的是B ，从中选出两人的所有结果有：
1213141232423434(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),A A A A A A A B A A A A A B A A A B A B ………8分
其中选中B 的有：1234(),(),(),().A B A B A B A B ……………………………10分 所以选中的2人恰好有1人不赞成“楼市限购令”的概率是42
105
P =
=。

……12分
19. 【解析】（1）因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，
NB MD BC ==，所以侧视图是正方形及其两条对角线；作图（略） ………………4分 （2）ABCD 是正方形，//,//BC AD BC ∴平面AMD ；
又MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，//,//NB NB MD ∴∴平面AMD ， 所以平面//BNC 平面AMD ，故//CN 平面AMD ；……………8分 （3）连接AC 、BD ，交于O 点，
ABCD 是正方形，BD AO ⊥∴， 又NB ⊥平面ABCD ，NB AO ⊥， ⊥∴AO 平面MDBN ，……………10分 因为矩形MDBN 的面积2=
⨯=BD MD S ，
所以四棱锥MDBN A -的体积3
1
31=⋅=AO S V
同理四棱锥MDBN C -的体积为31，故该几何体的体积为.3
2
……………12分
(20)解：（I ）设动点P 的坐标为.1
,1,),,(x
y x y PB PA y x +-的斜率分别是则直线
由条件得.2
1
11-=+⋅-x y x y
即).0(12
22
≠=+x y x
N
M O
D
C
B
A
所以动点P 的轨迹C 的方程为).0(12
22
≠=+x y x --------------------（6分）
注：无0≠x 扣1分
（II ）设点M ，N 的坐标分别是).,(),,(2211y x y x 当直线.2
1,,1,2
12121=
-=-==y y y x x x l 轴时垂直于 所以),3(),2(),,3(),2(122111y y x y y x --=-=-=-= 所以.2
1792
1=
-=⋅y QN QM
当直线,(1).l x l y k x =+不垂直于轴时设直线的方程为
由.0224)21()1(,12222222
=-+++⎪⎩
⎪⎨⎧+==+k x k x k x k y y x 得
所以.212
2,2142
2212221k
k x x k k x x +-=+-=+ 所以1212121212(2)(2)2()4.QM QN x x y y x x x x y y ⋅=--+=-+++
因为).1(),1(2211+=+=x k y x k y
所以.2
17
)21(2132174))(2()1(2
2
212
212
<+-=+++-++=⋅k k x x k x x k QM 综上所述.2
17的最大值是⋅
因为tan S MQN λ≤∠恒成立
即
1sin ||||sin 2cos MQN QM QN MQN MQN
λ∠⋅∠≤∠恒成立
由于.0)
21(213
2172>+-=
⋅k QM 所以cos 0.MQN ∠> 所以λ2≤⋅恒成立。

所以.4
17
的最小值为
λ---------------------------（12分）
(21) 解：（Ⅰ）令0ln =x ，得1=x ，且1)1(=f ，
所以)(x f y =的图象过定点)1,1(； -----------------（2分）
（Ⅱ）当1-=a 时，x x x x f ln )(-=，2
22/
1ln ln 11)(x
x x x x x f -+=--= 令1ln )(2
-+=x x x g ，经观察得0)(=x g 有根1=x ，下证明0)(=x g 无其它根．
x
x x g 12)(/+
=，当0>x 时，0)(/
>x g ，即)(x g y =在),0(+∞上是单调递增函数． 所以0)(=x g 有唯一根1=x ；且当)1,0(∈x 时，0)
()(2
/<=x
x g x f ，)(x f 在)1,0( 上是减函数；当),1(+∞∈x 时，0)
()(2
/>=x x g x f ，)(x f 在),1(+∞上是增函数；
所以1=x 是)(x f 的唯一极小值点．极小值是111
ln 1)1(=-=f ． --------------（8
分）
（Ⅲ）2
22/
ln ln 1)(x
a x a x x x a a x f +-=-+=，令a x a x x h +-=ln )(2
由题设，对任意],0(m a ∈，有()0h x ≥，),0(+∞∈x ，
又x
a x a x x
a x x h )2
)(2(22)(2
/
+-
=-=
当)2,
0(a x ∈时，0)(/<x h ，)(x h
是减函数；当)x ∈+∞时，0)(/>x h ，)(x h 是增函数；所以当2
a
x =
时，)(x h 有极小值，也是最小值a a a h )2ln 23()2(-=， 又由()0h x ≥
得3
(ln
02a -≥，得32a e ≤，即m 的最大值为32e ． ---------（12分） （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
证明：（I ）连结AB 、AC ，∵AD 为⊙M 的直径， ∴∠ABD=90°，∴AC 为⊙O 的直径， ∴∠CEF ＝∠AGD=90°. …………2分 ∵∠DFC=∠CFE ，∴ ∠ECF=∠GDF ，
∵G 为孤BD 中点，∴∠DAG=∠GDF.…………4分 ∵∠ECB=∠BAG ，∴∠DAG=∠ECF ，∴△CEF ∽△AGD
…………5分
∴
GD
AG
EF CE =
， ∴AG ·EF = CE ·GD …………6分
（II ）由（I ）知∠DAG=∠GDF ，∠G=∠G ，
∴△DFG ∽△AGD ， ∴DG 2
=AG ·GF
…………8分 由（I ）知2222AG
GD CE EF =，∴2
2
CE EF AG GF =
…………10分。