【精品】高中数学第2章圆锥曲线与方程2-2-2椭圆的几何性质一学案苏教版选修2_1

2.2.2 椭圆的几何性质(一)
学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．
知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标
思考 观察椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样
的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？
答案 (1)范围：－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； (2)对称性：椭圆关于x 轴、y 轴、原点都对称；
(3)特殊点：顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )． 梳理 椭圆的几何性质
知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？
答案 用离心率刻画扁圆程度，e 越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁． 梳理 (1)焦距与长轴长的比c a
称为椭圆的离心率． 记为：e ＝c a
.
(2)对于x 2a 2＋y 2
b
2＝1，b 越小，对应的椭圆越扁，反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b
越接近于a ，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x 2
＋y 2
＝a 2
.(如图)
1．椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a .(×)
2．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．(×)
3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为x 225＋y 2
16
＝1.(×)
4．设F 为椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则MF 的最大值为a ＋c .(c
为椭圆的半焦距)(√)
类型一 由椭圆方程研究其几何性质
例1 求椭圆9x 2
＋16y 2
＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 已知方程化成标准方程为x 216＋y 2
9＝1，
于是a ＝4，b ＝3，c ＝16－9＝7，
∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a ＝8和2b ＝6， 离心率e ＝c a ＝
7
4
，又知焦点在x 轴上，
∴两个焦点坐标分别是(－7，0)和(7，0)，
四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)和(0,3)． 引申探究
本例中若把椭圆方程改为“9x 2
＋16y 2
＝1”，求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 解 由已知得椭圆标准方程为x 219＋y 2
116＝1，
于是a ＝13，b ＝1
4
，c ＝
19－116＝7
12
. ∴长轴长2a ＝23，短轴长2b ＝1
2，
离心率e ＝c a ＝74
. 焦点坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫－
712，0和⎝ ⎛⎭
⎪⎫712，0， 顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±13，0，⎝
⎛⎭⎪⎫0，±14. 反思与感悟 解决由椭圆方程研究其几何性质的问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．
跟踪训练1 求椭圆9x 2
＋y 2
＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 解 椭圆的标准方程为x 29＋y 2
81＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2
＝62，长轴长2a ＝18，短轴长2b ＝6，
焦点坐标为(0,62)，(0，－62)，
顶点坐标为(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．
离心率e ＝c a ＝22
3
.
类型二 椭圆几何性质的简单应用
命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，其离心率为1
2，焦距为8；
(2)已知椭圆的离心率为e ＝2
3，短轴长为8 5.
解 (1)由题意知，2c ＝8，∴c ＝4，
∴e ＝c a ＝4a ＝1
2
，∴a ＝8，
从而b 2
＝a 2
－c 2
＝48，
∴椭圆的标准方程是y 264＋x 2
48
＝1.
(2)由e ＝c a ＝23得c ＝2
3
a ，
又2b ＝85，a 2
＝b 2
＋c 2
，所以a 2
＝144，b 2
＝80， 所以椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或x 280＋y 2
144
＝1.
反思与感悟 依据椭圆的几何性质求标准方程问题应由所给的几何性质充分找出a ，b ，c 所应满足的关系式，进而求出a ，b ，在求解时，需注意椭圆的焦点位置． 跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；
(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且焦距为12.
解 (1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
依题意有⎩⎪⎨⎪
⎧
2b ＝a ，4a ＋36
b
＝1，解得⎩⎨
⎧
a ＝237，
b ＝37，
∴椭圆方程为x 2148＋y 2
37＝1.
同样地可求出当焦点在y 轴上时， 椭圆方程为x 213＋y 2
52
＝1.
故所求椭圆的方程为x 2148＋y 237＝1或x 213＋y 2
52
＝1.
(2)依题意有⎩⎪⎨
⎪
⎧
b ＝
c ，2c ＝12，
∴b ＝c ＝6，∴a 2＝b 2＋c 2
＝72，
∴所求的椭圆方程为x 272＋y 2
36＝1.
命题角度2 最值问题
例3 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程．
解 设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)．
∵b a
＝a 2－c 2a 2
＝1－e 2
＝12
，∴a ＝2b . ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2
b
2＝1.
设椭圆上点M (x ，y )到点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32的距离为d ， 则d 2
＝x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝4b 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－y 2
b 2＋y 2－3y ＋94
＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2
＋3，
令f (y )＝－3⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋122＋4b 2
＋3.
当－b ≤－12，即b ≥1
2
时，
d 2max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12＝4b 2
＋3＝7，
解得b ＝1，∴椭圆方程为x 2
4＋y 2
＝1.
当－12<－b ，即0<b <12时，d 2
max ＝f (－b )＝7，
解得b ＝－32±7，与0＜b ＜1
2矛盾．
综上所述，所求椭圆方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
反思与感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义及对称知识求解．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值．常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等．
跟踪训练3 已知点F 1，F 2是椭圆x 2
＋2y 2
＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→
|的最小值是________． 答案 2
解析 设P (x 0，y 0)，则PF 1→
＝(－1－x 0，－y 0)，。