2022-2021学年高二数学人教B必修5学案：1.1.2 余弦定理(二) Word版含答案

1.1.2 余弦定理(二)
明目标、知重点 1.娴熟把握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题．
1．正弦定理及其变形 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C
＝2R . (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理及其推论
(1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . (2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 2
2ca ；
cos C ＝
a 2＋
b 2－
c 2
2ab
.
(3)在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角；c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角． 3．三角变换公式
(1)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； (2)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(3)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.
探究点一 利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形
思考1 已知三角形的两边及其中一边的对角，解三角形的一般思路是什么？
答 先利用正弦定理求出另一边所对的角，然后利用三角形内角和定理求出第三个角，最终再由正弦定理求出第三个边．
思考2 对于思考1中的这一类问题能否直接利用余弦定理来解三角形？
答 设三角形的第三边为x ，通过余弦定理得到三边及已知角的余弦值之间的关系式，利用方程的思想，通过解方程即可得到x 的值．
例1 已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c . 解 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得72＝82＋c 2－2×8×c cos 60°，
整理得c 2－8c ＋15＝0，解得c ＝3或c ＝5.
反思与感悟 在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，已知一边和两角用正弦定理解，已知三边用余弦定理解，已知两边和夹角及已知两边和其中一边的对角解三角形时，正、余弦定理可能都要用到． 跟踪训练1 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A ＝π
3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )
A ．1
B ．2 C.3－1 D.3
答案 B
解析 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc
，
∴12＝1＋c 2
－32×1×c
，∴c 2－2＝c ，∴c ＝2或c ＝－1(舍)． 探究点二 利用正、余弦定理推断三角形外形
例2 在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，试推断△ABC 的外形． 解 由(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，
得b 2＋2bc ＋c 2－a 2＝3bc ，即a 2＝b 2＋c 2－bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝1
2，∵0<A <π，
∴A ＝π
3
.又sin A ＝2sin B cos C .
∴由正、余弦定理得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－c 2
a ，
∴b 2＝c 2，b ＝c ，
∴△ABC 为等边三角形．
反思与感悟 题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将边、角关系转化为边的关系来推断． 跟踪训练2 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试推断△ABC 的外形． 解 方法一 依据余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . ∵B ＝60°，2b ＝a ＋c ， ∴⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2
－2ac cos 60°， 整理得(a －c )2＝0，∴a ＝c .
又∵2b ＝a ＋c ，∴2b ＝2c ，即b ＝c . ∴△ABC 是等边三角形． 方法二 依据正弦定理，
2b ＝a ＋c 可转化为2sin B ＝sin A ＋sin C . 又∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°.∴C ＝120°－A ， ∴2sin 60°＝sin A ＋sin(120°－A )，
整理得sin(A ＋30°)＝1，∴A ＝60°，C ＝60°. ∴△ABC 是等边三角形．
1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( ) A ．60° B ．45°或135° C ．120° D ．30°
答案 C
解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2＋ac ， ∴cos B ＝－1
2
，∵0°<B <180°，∴B ＝120°.
2．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的外形确定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 答案 C
解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ，∴2×a 2＋c 2－b 2
2ac ×a ＝c ，
∴a ＝b .故△ABC 为等腰三角形．
3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为 ． 答案 π6
解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ，
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∵0<B <π，∴B ＝π
6
.
4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则满足条件的三角形有几个？
解 设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ， 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴22＝a 2＋(23)2－2a ×23cos 30°， 即a 2－6a ＋8＝0，解得a ＝2或a ＝4. 当a ＝2时，三边为2,2,23可组成三角形； 当a ＝4时，三边为4,2,23也可组成三角形． ∴满足条件的三角形有两个． [呈重点、现规律]
1．已知两边及其中一边的对角解三角形，一般状况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或
角，要留意进行争辩．假如接受余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，接受余弦定理较简洁．
2．依据所给条件确定三角形的外形，主要有两种途径： (1)化边为角；
(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
3．在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一．
4．利用余弦定理求三角形的边长时简洁毁灭增解，缘由是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数．因此解题时需特殊留意三角形三边长度所应满足的基本条件．
一、基础过关
1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( ) A ．能组成直角三角形 B ．能组成锐角三角形 C ．能组成钝角三角形 D ．不能组成三角形
答案 B
解析 因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝52＋62－722×5×6＝1
5>0，所以能组成锐角三角形．
2．在△ABC 中，若c ＝2，b ＝2a ，且cos C ＝1
4
，则a 等于( )
A ．2 B.12 C ．1 D.1
3
答案 C
解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋4a 2－222a ×2a ＝1
4，
得a ＝1.
3．假如将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的外形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定
答案 A
解析 设直角三角形的三边为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝c 2， 则(a ＋x )2＋(b ＋x )2－(c ＋x )2
＝a 2＋b 2＋2x 2＋2(a ＋b )x －c 2－2cx －x 2 ＝2(a ＋b －c )x ＋x 2>0，
∴c ＋x 所对的最大角变为锐角．
4．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( ) A.1
3 B ．－2
3
C.14 D ．－14
答案 A
解析 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， 可得a ∶b ∶c ＝3∶2∶3.
不妨设a ＝3，b ＝2，c ＝3，则cos C ＝32＋22－322×3×2＝1
3.
5．在△ABC 中，a 2－b 2＝
3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝ .
答案 30°
解析 由sin C ＝23sin B ，依据正弦定理，得c ＝23b ， 把它代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2. 由余弦定理，得
cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝3
2
，
又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.
6．设2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边，那么a 的取值范围是 ． 答案 (2,8)
解析 ∵2a －1>0，∴a >1
2，最大边为2a ＋1.
∵三角形为钝角三角形，
∴a 2＋(2a －1)2<(2a ＋1)2，化简得0<a <8. 又∵a ＋2a －1>2a ＋1，∴a >2，∴2<a <8. 7．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )
sin C .
证明 由于右边＝sin A cos B －cos A sin B
sin C
＝
sin A sin C ·cos B －sin B
sin C
·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc
＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2＝左边．
所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .
二、力气提升
8．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( ) A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不确定 答案 A
解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc
＝
⎝⎛⎭⎫b －c 22＋3c
2
4
2bc
>0，∴0°<A <90°.
9．已知三角形ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，则△ABC 的最大内角为( ) A ．120° B ．90° C ．150° D ．60° 答案 A
解析 ∵c >a ，c >b ，∴角C 最大． 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
即37＝9＋16－24cos C ，∴cos C ＝－1
2，
∵0°<C <180°，∴C ＝120°.
∴△ABC 的最大内角为120°.故选A.
10．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1
4，则b ＝ .
答案 4
解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－1
4
，
即4＋(c －b )(c ＋b )4c ＝4＋7(c －b )4c ＝－1
4，
∴8c －7b ＋4＝0，
由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝78c －7b ＋4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝4，
c ＝3
∴b ＝4.
11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；
(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .
解 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2，
由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22.
又B 为三角形的内角，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64
.
故a ＝b sin A
sin B ＝2＋62＝1＋3，
c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°
＝ 6.
12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－1
4.
(1)求sin C 的值；
(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 解 (1)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－1
4，0<C <π，
∴sin C ＝
104
. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理
a sin A ＝c sin C
，得c ＝4. 由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－1
4及0<C <π，
得cos C ＝±
64
. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，
得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝26，
c ＝4.
三、探究与拓展
13．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知b cos C ＝(2a －c )cos B . (1)求角B 的大小；
(2)若b 2＝ac ，试确定△ABC 的外形． 解 (1)由已知及正弦定理，有 sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B . ∴sin(B ＋C )＝2sin A cos B .
∵sin(B ＋C )＝sin A ≠0，∴2cos B ＝1， 即cos B ＝1
2，∵0°<B <180°，∴B ＝60°.
(2)由题设，b 2＝ac .
由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，
∴ac＝a2＋c2－2ac cos 60°，即a2＋c2－2ac＝0.∴(a－c)2＝0.从而有a＝c.
由(1)知B＝60°，∴A＝B＝C＝60°.
∴△ABC为正三角形．。