1999年全国高中数学联赛模拟押题及解析 苏教版

一九九九年全国高中数学联合竞赛
第一试
10月10日上午8:00-9:40
一．选择题：（每小题6分）
1．给定公比为qq≠1的等比数列{a n}，设b1=a1a2a3 , b2=a4a5a6 ,… ,b n=a3n-2a3n-1a3n ,…则数列{b n} A是等差数列B是公比q为的等比数列
C是公比为q3的等比数列D既非等差数列又非等比数列
2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式||－12||－12<2的整点，
的个数是
（A）16 （B）17 （C）18 （D）25
3．若og23－og53≥og23－－og53－，则
（A）－≥0 （B）≥0 （C）－≤0 （D）≤0
4．给定下列两个关于异面直线的命题：
命题1：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c
至多与a , b中的一条相交。

命题2：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条是异面直线。

那么
A命题1正确，命题2不正确
B命题2正确，命题1不正确
C两个命题都正确
D两个命题都不正确
5．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退
出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是
A 0 （B）1 （C）2 （D）3
6．已知点A（1，2），过点（5，-2）的直线与抛物线2=4交于另外两点B，C，那么△ABC是
（A）锐角三角形（B）钝角三角形
（C）直角三角形（D）答案不确定
一、填空题：每小题9分
1、已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数是．
2、已知θ=arctan错误!，那么复数=错误!的辐角主值是．
3、在△ABC中，记BC=a , CA=b , AB=c ,若9a29b2－19c2=0 , 则错误!=．
4、已知点<n≤错误!m≥1,m∈Z，则≥m．
且=m时，可取a1=1，a2=3，…，a m=3m－1．
由数的三进制表示可知，对任意0≤－1,都有i·3i－1，其中i∈｛0，1，2｝．
则=错误!i·3i－1－错误!3i－1=错误!i－1·3i－1．
令i=i－1，则i∈｛－1，0，1｝．
故对一切－错误!≤≤错误!的整数，都有=错误!i·3i－1，其中i∈｛－1，0，1｝．
由于n≤错误!，因此，对一切－n≤≤n的整数，也有上述表示．综上，可知的最小值
fn=m．错误!<n≤错误!．
2证明：Ⅰ当错误!<n<错误!时，由1可知1，3，…，3m－1，3m 就是一种砝码的组成方式．下面我们证明1，3，…，3m－1,3m－1也是一
J B
A
种方式
若1≤≤错误!，由1可知=错误!i·3i－1，i∈｛－1，0，1｝．
则=错误!i·3i－10·3m－1；
若错误!<≤n<错误!，则错误!<1≤错误!．
由1可知
1=错误!i·3i－1，其中i∈｛－1，0，1｝．
易知m1=1．否则≤错误!3i－1－1=错误!－1,矛盾则=错误!i·3i－11·3m－1．
所以，当n≠错误!时，fn块砝码的组成方式不惟一．
Ⅱ下面我们证明：当n=错误!时，fn=m块砝码的组成方式是惟一的，即a i=3i－11≤i≤m．
若对每个－错误!≤≤错误!,都有=错误!i a i，i∈{－1，0，1}．
即 {错误!i a i|i∈{－1，0，1}}⊇{0,±1，…，±错误!}．
注意左边集合中至多有3m个元素．故必有{错误!i a i|i∈{－1，0，1}}={0,±1，…，±错误!}．从而，对每个，－错误!≤≤错误! ,都可以惟一地表示为
=错误!i a i，其中i∈{－1，0，1}．
因而，错误!a i=错误!．则错误!i1a i=错误!i a i错误!a i=错误!i a i错误!．
令i=i1,则i∈｛0，1，2｝．
由上可知，对每个0≤≤3m－1，都可以惟一地表示为=错误!i a i，其中i∈{0，1，2}．
特别地，易知1≤a1<a2<…<a m．
下面用归纳法证明a i=3i－11≤i≤m．
当i=1时，易知错误!i a i中最小的正整数是a1，故a1=1．
假设当1≤i≤i a i=错误!i·3i－1, i∈{0，1，2}就是数的三进制表示，易知它们正好是0，1，2，…,3i a i |i∈{0，1，2}}中最小的数，因此，a．
综合Ⅰ，Ⅱ可知，当且仅当n=错误!时，上述fn块砝码的组成方式是惟一确定的．。