梁的基础知识
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0
l
解出响应
y( x, t )
j 1
j ( x)q j (t )
欧拉梁 铁木辛柯梁
考虑剪切变形时，截面法线与 梁轴线之间有一夹角 忽略剪切变形时，微段为虚线所 示，截面法线与梁轴线的切线重 合。
y x
kQ AG 1 y Q ( ) AG k x y Q k ( ) AG x
将方程的解写作振型函数的线性组合：
y( x, t )
j 1
j ( x)q j (t )
将之代入动力学方程可得：
( x)
l j 1
l
j ( x)q j (t )
[EI ( x) ( x)]q
j j 1
l
j (t )
f ( x, t )
将上式各项与φi(x)相乘后沿梁的全长积分：
（2）不同固有频率的振型函数关于刚度的正交性：
l
0
j ( x)[ EI ( x)i( x)]dx EI ( x) ( x)i( x)dx 0 (i j) j
0
l
正则化
l
0
EI ( x) i ( x) j ( x)dx i2 ij
(i, j 1 , 2 , )
梁的基础知识
为什么研究梁？联系与区别
离散系统（有限自由度）——三要素 （质量、弹簧、阻尼）——常微分方程 连续系统（无限自由度）——弹性体原 件（杆、梁、轴、板等）——偏微分方 程
常微分方程（个数与自由度数相同、自 变量是t）
偏微分方程（自变量有时间t、位置x）
研究梁的什么？
振动方面：
根据振型函数的正交性，可将多自由度系统模态叠加法 的思想应用于连续系统。即将弹性体的振动表示为各阶模态 的线性组合，用于计算系统在激励作用下的振动规律。 以承受分布载荷作用的细直梁的弯曲振动方程为例
2 y( x, t ) 2 y( x, t ) f ( x, t ) EI ( x) l ( x) 2 2 x t y 初始状态： ( x,0), y( x,0) 2 x2
铅垂方向受力平衡+转动方程
此方程含对空间变量x的四阶偏导数和对时间变量t的二阶 偏导数，求解时必须列出4个边界条件和2个初始条件。 常见的边界条件：位移、转角（几何边界条件） 弯矩、剪力（力的边界条件） （1）固定端 （2）铰支端
（3）自由端
解方程——梁的自由振动（分离变量法）
高数知识（写成简单的形式）
y (i ) ( x, t ) aii ( x) sin( i t i ) (i 1 , 2 , )
y ( x, t )
a ( x) sin( t )
i i i i i 1
简支梁为例，求固有频率与振型 梁弯曲振动振型函数的一般表达式为： ( x) C1 cos x C 2 sin x C3 ch x C 4 sh x
固有频率（特征行列式为0，三角函数） 振型 （每个固有频率对应一个振型） 响应 （叠加，振型叠加法，正交性）
固有频率特征方程（行列式、线性代数）
方程的处理（高数微分方程）列方程 （理论力学、材料力学）
欧拉梁与铁木辛柯梁
求解这两种梁时的思路是一致的，只是铁木辛克 梁考虑了转动惯量与剪切变形的影响，所以在列 运动方程时复杂一点，本质区别2处：
0(t ) i2qi (t ) Qi (t ) (i 1, 2 , ) q
其中Qi(t)是与广义坐标qi(t)对应的广义力，
Qi (t )
1
l
0
f ( x, t ) i ( x)dx (i 1 , 2 , )
qi (0)
解可利用杜哈梅积分写出：
C4 0
sin l 0
C4 sh l 0
i l i
2
(i 1 , 2 , )
EI
4
l
EI
2
固有频率为 i i l
l
(i 1 , 2 , )
振型函数表达式变为：i ( x) sin
i
x (i 1 , 2 , ) 振幅，模态实验
qi (t )
i
t
0
Qi ( ) sin i (t )d qi (0) cos i t
i
sin i t
广义坐标和广义速度的初始值由初始条件确定：
qi (0) l ( x) y( x,0)i ( x)dx
0
l
qi (0) l ( x) y( x,0)i ( x)dx
由材料力学知
M EI x
微段在y方向移动的运动方程仍为：
2 y Q l 2 0 t x
2 y y l 2 k AG( ) 0 t x x
由于考虑微段转动惯量的影响，微段的转动方程为：
I
M Q 0 2 t x
2
2 y AG( ) 0 I 2 EI k t x x x
对于等截面梁，由上两式消去ψ，可以得
4 y 2 y E 4 y 2I 4 y EI 4 l 2 I (1 ) 2 2 0 4 x t k G x t k G t
( x) ( x) ( x)q (t )dx ( x)[ EI ( x) ( x)]q (t )dx
0 j 1 l l i j j 0 j 1 i j j
i ( x) f ( x, t )dx
0
交换积分与求和次序：
l ( x) ( x) ( x)dx q (t ) l ( x)[ EI ( x) ( x)]dx q (t ) j 0 l i j j j 0 i j 1 j 1 i ( x) f ( x, t )dx
简支梁的各阶振型
响应的求解（振型叠加法）
振型函数正交性：
如同坐标系 x y z （1）不同固有频率对应的振型函数关于质量的正交性：
( x) ( x)
0 l i
l
j ( x)dx
0
(i j )
正则化
( x) ( x)
0 l i
l
j ( x)dx
ij
(i, j 1 , 2 , )
(0) 0
(l ) 0 (l ) 0
sh l 0
频率方程
(0) 0
C1 C3 0 C1 C3 0
C1 0 , C3 0
C2 sin l C4 sh l 0 C2 sin l C4 sh l 0
1、欧拉梁中弯矩与挠度关系中涉及到的转角，是由弯矩 引起，而铁木辛克梁中考虑了剪切变形，存在由剪力引 起的转角。 2、列转动方程时，后者由于考虑了转动惯量的影响，会 多出一项。
欧拉梁
设梁的长度为l，材料密度和弹性模量为和E，截面积和截面 二次矩为S(x)和I(x)， l ( x) S ( x) 为单位长度质量，EI(x) 为梁的抗弯刚度。
式中第三项和第四项表达了转动惯量和剪切变形的影响， 该方程仍可用分离变量法求解。 对于简单的梁，可以利用端点条件求出固有频率和主振 型，对于复杂的梁，可以用传递矩阵或其他近似解法。
简支端的边界条件（位移、弯矩为0）
y( x, t ) ( x)q(t ) 0
2 y( x, t ) M ( x, t ) EI ( x) 0 2 x (0) 0 , (0) 0 简支梁的边界条件为 (l ) 0 (l ) 0 ,
( x) 0 ( x) 0
( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
( x) C1 2 cos x C2 2 sin x C3 2ch x C4 2 sh x
l
解出响应
y( x, t )
j 1
j ( x)q j (t )
欧拉梁 铁木辛柯梁
考虑剪切变形时，截面法线与 梁轴线之间有一夹角 忽略剪切变形时，微段为虚线所 示，截面法线与梁轴线的切线重 合。
y x
kQ AG 1 y Q ( ) AG k x y Q k ( ) AG x
将方程的解写作振型函数的线性组合：
y( x, t )
j 1
j ( x)q j (t )
将之代入动力学方程可得：
( x)
l j 1
l
j ( x)q j (t )
[EI ( x) ( x)]q
j j 1
l
j (t )
f ( x, t )
将上式各项与φi(x)相乘后沿梁的全长积分：
（2）不同固有频率的振型函数关于刚度的正交性：
l
0
j ( x)[ EI ( x)i( x)]dx EI ( x) ( x)i( x)dx 0 (i j) j
0
l
正则化
l
0
EI ( x) i ( x) j ( x)dx i2 ij
(i, j 1 , 2 , )
梁的基础知识
为什么研究梁？联系与区别
离散系统（有限自由度）——三要素 （质量、弹簧、阻尼）——常微分方程 连续系统（无限自由度）——弹性体原 件（杆、梁、轴、板等）——偏微分方 程
常微分方程（个数与自由度数相同、自 变量是t）
偏微分方程（自变量有时间t、位置x）
研究梁的什么？
振动方面：
根据振型函数的正交性，可将多自由度系统模态叠加法 的思想应用于连续系统。即将弹性体的振动表示为各阶模态 的线性组合，用于计算系统在激励作用下的振动规律。 以承受分布载荷作用的细直梁的弯曲振动方程为例
2 y( x, t ) 2 y( x, t ) f ( x, t ) EI ( x) l ( x) 2 2 x t y 初始状态： ( x,0), y( x,0) 2 x2
铅垂方向受力平衡+转动方程
此方程含对空间变量x的四阶偏导数和对时间变量t的二阶 偏导数，求解时必须列出4个边界条件和2个初始条件。 常见的边界条件：位移、转角（几何边界条件） 弯矩、剪力（力的边界条件） （1）固定端 （2）铰支端
（3）自由端
解方程——梁的自由振动（分离变量法）
高数知识（写成简单的形式）
y (i ) ( x, t ) aii ( x) sin( i t i ) (i 1 , 2 , )
y ( x, t )
a ( x) sin( t )
i i i i i 1
简支梁为例，求固有频率与振型 梁弯曲振动振型函数的一般表达式为： ( x) C1 cos x C 2 sin x C3 ch x C 4 sh x
固有频率（特征行列式为0，三角函数） 振型 （每个固有频率对应一个振型） 响应 （叠加，振型叠加法，正交性）
固有频率特征方程（行列式、线性代数）
方程的处理（高数微分方程）列方程 （理论力学、材料力学）
欧拉梁与铁木辛柯梁
求解这两种梁时的思路是一致的，只是铁木辛克 梁考虑了转动惯量与剪切变形的影响，所以在列 运动方程时复杂一点，本质区别2处：
0(t ) i2qi (t ) Qi (t ) (i 1, 2 , ) q
其中Qi(t)是与广义坐标qi(t)对应的广义力，
Qi (t )
1
l
0
f ( x, t ) i ( x)dx (i 1 , 2 , )
qi (0)
解可利用杜哈梅积分写出：
C4 0
sin l 0
C4 sh l 0
i l i
2
(i 1 , 2 , )
EI
4
l
EI
2
固有频率为 i i l
l
(i 1 , 2 , )
振型函数表达式变为：i ( x) sin
i
x (i 1 , 2 , ) 振幅，模态实验
qi (t )
i
t
0
Qi ( ) sin i (t )d qi (0) cos i t
i
sin i t
广义坐标和广义速度的初始值由初始条件确定：
qi (0) l ( x) y( x,0)i ( x)dx
0
l
qi (0) l ( x) y( x,0)i ( x)dx
由材料力学知
M EI x
微段在y方向移动的运动方程仍为：
2 y Q l 2 0 t x
2 y y l 2 k AG( ) 0 t x x
由于考虑微段转动惯量的影响，微段的转动方程为：
I
M Q 0 2 t x
2
2 y AG( ) 0 I 2 EI k t x x x
对于等截面梁，由上两式消去ψ，可以得
4 y 2 y E 4 y 2I 4 y EI 4 l 2 I (1 ) 2 2 0 4 x t k G x t k G t
( x) ( x) ( x)q (t )dx ( x)[ EI ( x) ( x)]q (t )dx
0 j 1 l l i j j 0 j 1 i j j
i ( x) f ( x, t )dx
0
交换积分与求和次序：
l ( x) ( x) ( x)dx q (t ) l ( x)[ EI ( x) ( x)]dx q (t ) j 0 l i j j j 0 i j 1 j 1 i ( x) f ( x, t )dx
简支梁的各阶振型
响应的求解（振型叠加法）
振型函数正交性：
如同坐标系 x y z （1）不同固有频率对应的振型函数关于质量的正交性：
( x) ( x)
0 l i
l
j ( x)dx
0
(i j )
正则化
( x) ( x)
0 l i
l
j ( x)dx
ij
(i, j 1 , 2 , )
(0) 0
(l ) 0 (l ) 0
sh l 0
频率方程
(0) 0
C1 C3 0 C1 C3 0
C1 0 , C3 0
C2 sin l C4 sh l 0 C2 sin l C4 sh l 0
1、欧拉梁中弯矩与挠度关系中涉及到的转角，是由弯矩 引起，而铁木辛克梁中考虑了剪切变形，存在由剪力引 起的转角。 2、列转动方程时，后者由于考虑了转动惯量的影响，会 多出一项。
欧拉梁
设梁的长度为l，材料密度和弹性模量为和E，截面积和截面 二次矩为S(x)和I(x)， l ( x) S ( x) 为单位长度质量，EI(x) 为梁的抗弯刚度。
式中第三项和第四项表达了转动惯量和剪切变形的影响， 该方程仍可用分离变量法求解。 对于简单的梁，可以利用端点条件求出固有频率和主振 型，对于复杂的梁，可以用传递矩阵或其他近似解法。
简支端的边界条件（位移、弯矩为0）
y( x, t ) ( x)q(t ) 0
2 y( x, t ) M ( x, t ) EI ( x) 0 2 x (0) 0 , (0) 0 简支梁的边界条件为 (l ) 0 (l ) 0 ,
( x) 0 ( x) 0
( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
( x) C1 2 cos x C2 2 sin x C3 2ch x C4 2 sh x