四川省自贡市近5年九年级数学上期统考综合题考点分析及解答

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四川省自贡市近5年九年级数学上期统考综合题考点分析及解答
编写： 赵
化中学 郑宗平
九年级上期数学统考的综合解答题相对于其它试卷内题目有一定难度系数的，若是在中考常以压轴题的形式出现；下面我编选了自贡市近5年的九年级数学上期统考综合解答题进行考点分析和解答，并附有点评；解答规范书写，标注得分点；所有这些希望对同学们迎考有一定的帮助！另外在最后还选编了一部分与现行的新人教版内容相吻合的综合解答题，供同学们课外选练，以提高应试能力.
2014-2015年上学期：
七、解答题（本题满分12分）
23、如图，三角板ABC 中，ACB 90AB 2A 30∠==∠=，，,三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△11A B C .
求：⑴.1AA 的长；
⑵.在这个旋转过程中，三角板ABC 的边AC 所扫过的扇形1ACA 的面积；
⑶. 在这个旋转过程中三角板所扫过的图形的面积.
考点：直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式、扇形的面积公式
等边三角形的判定和性质、三角形面积公式等.
分析：⑴. 要求1AA 的长关键是求出半径CA 或1CA .而这可以利用 直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半先求出BC ,再利用勾股定理可以求出CA .
⑵.结合⑴问和扇形的面积公式可以求出.
⑶.旋转过程中三角板所扫过的图形的面积显得比较抽象，分
析一下无非是扇形BCD 、扇形1ACA 和ADC 的面积之和. 扇形BCD 的半径是BC 或CD ,圆心角对于求扇形BCD 是个关键；根据题中的条件可以推出BCD 是个等边三角形，圆心角BCD 60∠=;扇形1ACA 在⑴、⑵问都已有了；根据题中条件，求ADC 的面积可以抓住ADC 的面积是ABC 的一半这个关系.
略解：⑴.∵ ACB 90AB 2A 30∠==∠=，， ∴
1AB 21
BC == …
… 1分
由勾股定理有
3BC AB AC 22=-= …… 2分
∴1AA 的长
π
π2
3180390AA 1=⋅=
…… 4分
⑵.扇形1ACA 的面积
ππ43
360)3(902=⋅ …… 6分
⑶.设1BCB 与AB 交于D 点，∵ACB 90A 30∠=∠=， ∴
B 30∠= …… 7分 又 ∵ B
C C
D = ∴
∴BC CD 1== …… 8分 11-= 43
3121212ABC ACD =⨯⨯⨯∆∆
…… 10分
1
2 / 14
∴ 三角板所扫过的图形面积 ∴ S ＝S 扇形BCD ＋S 扇形ACA1
＋S △ACD =
43
121143360)3(9036016022+
=+⋅+⋅πππ …… 12分
点评：本题的⑶问这个旋转过程中三角板所扫过的图形的面积一定
要注意还包含ACD 部分的面积，通过本题考查了初中数学特别是九年级上期数学的多个知识点及其综合运用能力，特别是考查了运动变化的观点识图.
八、解答题（本题满分14分）
24、如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx 6=++经过点(),A 30-和点(),B 20,直线
y h =（h 为常数，且0h 6<<）与BC 交于点D ,与y 轴交于点E ,与AC 交于点F ,与抛物线在第二象限交于点G .（图形见本题解答的最后）
⑴.求抛物线的解析式；
⑵.连接BE ,求h 为何值时，BDE 的面积最大；
⑶.已知一定点(,)M 20-.问：是否存在这样的直线y h =，使OMF
是等腰三角形？若存在，请求出h 的值和点G 的坐标；若不存在，请
说明理由.
考点：待定系数法求函数的解析式、点的坐标的意义、二次函数的最大值（最小值）问题、解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、等腰三角形的判定和性质等.
分析：⑴. 2y ax bx 6=++存在两个待定系数a b 、，只需要两对变量即可求出，恰好题中给出了(),A 30-和点(),B 20，用待定系数法便可求出此函数的解析式.
⑵.确定最大值或最小值可以将问题转化为二次函数来解决，若能把BDE 的面积表示为关于h 的二次函数，问题便可解决；由于点的坐标的实质是反映到坐标轴的距离（表示出点的坐标往往是函数为基架的综合题的关键），所以通过点D 的坐标来反映BDE 的底ED 和高OE 是本问的一个切入点；由于点D 是直线y h =和直线BC 交点，所以只要求出直线BC 的解析式问题便解决了；已知点(),B 20,而点C 同时也是抛物线与y 轴的交点，而⑴问能提供这样条件. ⑶.本问是一个存在性的问题，存在性问题一般先假设存在，以此为出发点来探究.本问假设存在符合题意的直线y h =，所涉及的判断OMF 的F 直线y h =与直线AC 的交点，和⑵问的方法一样，可以先把F 用h 的式子表达出来；因为定点(,)M 20-，所以OM 2=是个定值；根据点F 的坐标利用勾股定理把OF 和MF 表示出来，然后分为：①.OF OM =;②.
OF MF =;③. OM MF =讨论其存在性.
略解：⑴.2
y ax bx 6=++经过点(),A 30-和点(),B 20 （示意图见解答的最后）
∴ ⎩⎨⎧=++=+-06b 2a 406b 3a 9 解得： ⎩
⎨
⎧-=-=1b 1
a ∴解析式6x x y 2+--=
(3)
⑵.抛物线2y x x 6=--+与y 轴交点()C 06，. 设直线BC 的解析式为m kx y +=，则⎩⎨
⎧=+=0
m k 26
m ∴⎩⎨
⎧-==3
k 6m ∴ BC 的解析式为y 3x 6=-+6x 3y +-=
…… 4∵直线y h = ∴)h ,0(E
(5)
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∴ D (
3h 6-，h ) ∴ 3h
6DE -= …… 6分
∴ 23
)3h (61h 3h 621S 2BDE +--=⨯-⨯=∆
∵ 6h 0<< ∴ 当3=h 时，BDE 的面积最大，最大面积为2
3 …… 7分
⑶.存在符合题意的直线h y =，设直线AC 的解析式为
p nx y += -3n p 0p 6+=⎧⎨=⎩ 即n 2
p 6
=⎧⎨
=⎩ ∴ AC 的解析式为y 2x 6=+
…… 8分
∵F 直线y h =与直线AC 的交点 ∴ F (26-h ，h ) ∵
(,)M 20- ∴OM 2= 在OMF 中，OM 2=
, OF MF = …… 9分 ①.若OF OM =
2=，整理得：25h 12h 200-+= ∵△=－2560<，此方程无解. ∴OF OM =不成立 …… 10分
②.若OF MF =，则 2
2h )226h (h )26h (22++-=+- 解得：4h =
把y h 4==代入2y x x 6=--+，得2x x 20+-= ∴=-12x 2x 1=，
∵ 点G 在第二象限， ∴点G 的坐标为（－2，4）
…… 11 ③.若OM MF =
2 解得：1h 2=， 26h 5=- （不合题意舍去）
把y h 2==代入2y x x 6=--+，得2x x 40+-=
∴
12x x = ∵ 点G 在第二象限， ∴点G
的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭ (12)
综上所述，存在直线y 2=或y 4=使OMF 是等腰三角形.
当y 2=时，点G 2⎫
⎪⎪⎝⎭；当y 4=时，点G （－ 点评：本题是一道典型的“二次综合题”.三个问的
突出特点就是待定系数法的运用，都是为二次 函数图象及其性质运用打下基础；特别是第⑶
是问一个存在性问题，考查了分类讨论的思想 个方程的思想. 2013-2014年上学期：
七、解答题（本题满分12分）
23、如图在Rt ABC中，C90
=
∠，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过O作OE∥AB，交BC于E.
⑴.求证：ED是⊙O的切线；
⑵.如果⊙O的半径为1.5，ED=2，求AB的长；
⑶.在⑵的条件下，求ADO的面积.
考点：圆的有关基本性质、圆周角定理的推论、、圆的切线的判定和性质、全
等三角形的性质和判定、平行线的性质和判定、三角形的中位线定理、
勾股定理直角三角形面积等.
分析：⑴.本问主要是找出证明“ED是⊙O的切线”，两条思路：一是无交点则“作垂直、证相等、得切线”；二是有交点则“连半
径、证垂直、得切线”.根据本题的特点ED与圆有交点D，采
用连结半径OD，证明OD⊥ED，即可得出“ED是⊙O的切线”.
也就是采用第二条思路.
⑵.根据题中条件容易得出AB=2OE，所以问题转化在Rt OCE 中利用勾股定理来解决.
⑶.点O为ADC的边AC的中点（AC是直径，O为圆心），
所以
1
ADO ADC
2
S S
=,
所以本问可以转化到Rt ADC来解决.关键是求CD和AD,这
两边可以
通过面积和勾股定理获得解决.
略解：⑴.证明：连结OD …… 1分∵ OE∥AB ∴∠1=∠4 ∠2=∠3
∵ OA=OD ∴∠3=∠4 ∴∠1=∠2 …… 2分
在△OCE和△ODE中有OC=OD ∠1=∠2 OE=OE
∴△OCE≌△ODE，…… 3分
∴∠ODE=∠C=90°
∴OD⊥ED 又∵OD是⊙O 的半径∴ED是⊙O的切线 (4)
⑵.∵ OE∥AB OA=OC ∴ CE=BE ∴AB=2OE (5)
又∠C=90°，OC是⊙O的半径∴ OC⊥EC ∴EC是⊙O的切线.
...... 6∴ EC=ED=2 (7)
在△OCE中，..
2222
OE OC CE15225
=+=+=
∴AB2OE5
== (8)
⑶.连结CD
∵ AC是⊙O的直径，∴∠CDA=90°∴ CD⊥AB (9)
∴在Rt△ABC中有
11
ABC CD AB AC BC
22
S=⋅=⋅
∴ CD.AB=AC.BC ∴ CD=2.4 (10)
在Rt△ABC中，..
2222
AD AC CD32418
=-=-= (11)
∴16
.2
2
1
=
⋅
=
∆
AD
CD
S
ACD
∴08
.1
2
1
=
=
∆
∆ACD
ADO
S
S……12点评：本题的⑴问虽然串联的知识点较多，但也是一种常规证法，是
容易想到的；记住口诀无交点则“作垂直、证相等、得切线”；
有交点则“连半径、证垂直、得切线”.本题⑵问
求AB的长用勾股定理直接在Rt△ACB条件不够，但在圆中直径
的中点是圆心，所以我们可以联想到用三角形的中位线转化到
Rt△ECO的斜边OE上来解决.本题的⑶问求ADO的面积若用
常规思路是不容易破题的，我们解答这类综合题的时候一定要注
意各图形之间的关系，比如本题根据题中条件可知
ADO ACD
1
S S
2
=，所以问题转化到了ACD中来解决. 在
ACD中求CD是关键，CD是Rt△ACB斜边上的高，通过同一
个直角三角形两种不同的面积求法便可获得解决，这是本问的又
一个“难点”，但“难点”不难！.
B
C
D
E
O
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5 / 14
八、解答题（本题满分14分）
24、如图，⊙M 的圆心M 在x 轴上，⊙M 分别交x 轴于点A 、B （A 在B 的左边），交y 轴的正半轴于点C ，弦CD ∥x 轴交⊙M 于点D ，已知A 、B 两点的横坐标分别是方程()2x 4x 3=+的两个根.
⑴.求点C 的坐标；
⑵.求直线AD 的解析式；
⑶.点N 是直线AD 上的一个动点，求△MNB 的周长的最小值，
画
出△MNB 周长最小时点N 的位置.
考点：解一元二次方程、勾股定理、圆的基本性质、垂径定理、矩形的判定和性质、待定系数法求解析式、轴对称的性质等.
分析：⑴.C 点是⊙M 与坐标轴y 轴的交点，连接MC 在Rt △COM 中求OC
可以得出C 点的坐标，斜边
CM 和另一直角边ON 与⊙M 的圆心和 半径有关，所以求出⊙M 的直径AB 是本问破题的关键，通过解 ()2x 4x 3=+求出其两个根问题便解决了. ⑵.用待定系数法求直线AD 的解析式.A 点的在第⑴问已经求出，若把D 点的坐标求出来问题便可以解决. ⑶.要求△MNB
的周长的最小值，关键是找出或作出M 或B 关于直线AD 的对称点，连结后从而确定动点N 点的位置，根据轴对称的性质和三角形三边之间的关系知MN BN +最小.从而得出△MNB 此时的周长有最小值.根据题中条件和⑴⑵的相关结论容易知道C 点恰好是M 关于AD 的对称点，N 点位置确定后可以将MN NB NC NB BC +=+=,把MN BN +转化到COB 利用勾股定理解决问题.
略解：⑴.方程)3(42
+=x x 整理得01242
=--x x
即(6)(2)0x x -+= ∴ 6,221=-=x x
…… 1分
∴ 点A ，B 的坐标分别是)0,2(-A ，)0,6(B …… 2分 ∴ 点M 的坐标是)0,2(M ，OM 的半径为4. …… 3分
连结CM （如图①），则
32242222=-=-=OM OC OC )220(，
C . …… 4分
M 作ME ⊥CD ，则CE=ED=1
2
CD …… 5分∴ ME ⊥x 轴
是矩形，∴ OE=OM=2 D 的坐标是(4，…… 6分y kx b =+
则04k b ⎨+=⎪⎩
解得k = b =…… 7分 ∴直线AD 的解析式为y x =
+
…… 8分
（3）.如图②，设直线AD 与y 轴的交点是F
当 0x =时，3
y =
∴ 点F 的坐标为F （0，3
） …… 9分
在Rt △OMF 中 FM = ∵ CF OC OF MF =-== ∴ 点F 在线段MC 的中垂线上 …… 11分 ∵ MD=CD=4
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∴ 点D 也在线段CM 的中垂线上 ∴ 直线AD 是线段CM 的中垂线.
∴ 点M 关于直线AD 的对称点是C …… 12分
连结BC 交直线AD 于N （如图②），连结MN ，此时MN BN +最小. 则 △MNB 就是所求作的周长最小的三角形
…… 13分 此时在△OBC 中，22
226(23)4
3BC OB OC =+=
+=
根据轴对称的性质可知：CN MN =
∴△MNB 的周长为MN MB CN BC BM 434++=+=+ ,点N 的位置如图所示. …… 14分
点评：本题是几何、代数的综合题.由代数的一元二次方程根与坐标联
系在一起，由坐标再与一次函数、圆、一次函数以及对称等知识串联在一起.在本题中点的坐标是解答过程中的较关键环节，比如三个问中⑴问点C 的坐标、⑵问点D 的坐标、⑶问点F 的坐标；题中的相关计算特别是点的坐标常用勾股定理来帮忙（本题3次用到勾股定理）.本题总体难度不大，但综合的知识点较多；⑶问“点M 关于直线AD 的对称点是C 点”算是是本题的“难点”，这里要用垂直平分线的“判定”定理，这是个同学们在平时没有引起重视的一个知识点.
2012-2013年上学期：
七、解答题（本题满分12分）
23、如图，实线部分为某月牙形公园的轮廓示意图，它可看作是由⊙P 上的一段优弧和⊙Q 上的一段劣弧围成，⊙P 与⊙Q 的半径都是2km,点P 在⊙Q 上.
⑴.求月牙形公园的面积；
⑵.现在公园内建一块顶点都在⊙P 上的直角三角形场 地ABC ，其中∠C=90°，求场地的最大面积.
考点：圆的基本性质、扇形以及三角形和弓形面积的计算、圆
周角定理的推论、等边三角形的判定和性质等. 分析：⑴.月牙的面积可以看作是一个圆的面积减去两个弓形的面积，而弓形的面积=扇形的 面积-三角形的面积.由于题已经告诉了圆的半径，所以通过三角形来进一步求出圆心角的度数是关键，恰好题中两个等圆提供了△DPQ 和△EPQ 是等边三角形条件.
⑵.顶点都在⊙P 上的直角三角形，说明ABC 的斜边AB 为直径，要使其面积最大，则其顶点C 在半圆的中点（最高点）处，连结圆心和顶点C 是斜边上的高，即ABC 恰好是一个等腰直角三角形.
略解：⑴.连接DQ 、EQ 、PD 、PE 、PQ 、DE （见图①）. …… 1分
由已知PD=PQ=DQ ，∴△DPQ 是等边三角形. …… 2分
∴∠DQP=60° …… 3分 同理∠EQP=60°. ∴∠DQE=120° …… 4分
∵DmE QDE QDE S S S =-弓形扇形，
,2QDE
QDE
12024S S
33603
ππ⨯===扇形 …… 5分
∴DmE 4S 33
π
=-弓形
…
… 6分
∴月牙形公园的面积=()
24442323km 33
πππ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭（km 2
）. …… 7分
答：月牙形公园的面积为2423km 3
π
+ `…… 8分
⑵.∵∠C=90°，∴AB 是⊙P 的直径 ∴AB=4km . `…… 9分
要使ABC 面积最大，则直角顶点C 在半圆AnB 的中点处，即 ABC 是等腰直角三角形过点C 作CF⊥AB 于点F ，点F 与圆心
图 ②
n
图 ①
E D P Q
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P 重合（见图②）.
∴ABC S 取最大值就是CF 长度取最大值，即CF=2km `…… 11分
∴ABC S 最大值()
2ABC 11
S AB CF 424km 22=⋅=⨯⨯=
∴场地的最大面积为4( km 2
). ` …… 12分
点评：本题⑴问月牙形的面积关键是抓住一个圆的面积减去两个弓形
的面积；⑵问要使直角三角形的顶点在弓形（半圆）的最高点(即半圆的中点)，实际上就是要使ABC 是等腰直角三角形.
八、解答题（本题满分14分） 24、正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径，CF 切⊙O 于点E ，交AD 于点F ，且切点E 在正方形的内部，AE 、BE 的长是230x x m 的两实根，令
2n AB =.
⑴.求n 与m 函数关系式，并求出自变量m 的取值范围； ⑵.求m 的值和AF 的长.
考点：正方形的性质、圆的基本性质、圆周角定理的推论、垂径定理、切线
的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、全等三角形、勾股定理、
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系定理等.
分析：⑴.由于AE 、BE 是ABE 的两直角边，而AB 是其斜边，所以本问应从
2n AB =和勾股定理切入；AE 、BE 的长是230x x m 的两实
根，根据一元二次方程根的根与系数的关系定理（韦达定理）进行变换可以推出n 与m 函数关系式.再由一元二次方程根的判别式可得出自变量m 的取值范围.
⑵.①.根据韦达定理可知m AE BE =⋅,分别求出AE BE 、就可
求出m 的值.连接OC 交BE 与M ,根据三角形的中位线定理，可知AE 2OM =,在此基础上利用切线长定理、全等三角形和垂
径定理的知识可以得出AE 和BE 之间的数量关系，由
AE BE 3+=建立方程可以求出AE BE 、的值，从而求出m 的值.
②. 由2n AB =、n 92m =-和①m 的值可以求出AB 的值，从而得出正方形的边长的值.根据切线长定理可知：
,AF EF CE CB ==；进行代换后在Rt CDF 中，CD AB =， ,CF CE EF AB AF DF DA AF AB AF =+=+=-=-,由于AB 的值在①问中已求出，所以
根据勾股定理在Rt CDF 建立方程可以求出AF 的值；也可以在Rt OFC 用同样的办法求出AF 的值.
略解：
2
x 3x m 0-+=两个实根 ∴,AE BE 3AE BE m +=⋅= …… 1分 ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB=90°∴222AB AE BE =+
…… 2分 ∴()2
2AB AE BE 2AE BE 92m =+-⋅=- 又∵2n AB = ∴n 92m =- …… 4分
∵AE BE ≠ ∴94m 0=->且m 0> ∴90m 4
<<
…… 5分 又∵92m 0->即9m 2<
∴函数自变量的取值范围是：90m 4
<< …… 6分
⑵.连接OC OF 、分别交BE AE 、于M N 、,连接OE …… 7分
∵CE 、CB 都是⊙O 的切线， ∴,ECO BCO CE CB ∠=∠=
∴OM 垂直平分BE ，即OM ⊥BE 、EM=BM. …… 8分
又∵O 是AB 的中点，∴OM 是△ABE 的中位线 F
E O C D
A
B
…… 11分
…… 12分
∵四边形ABCD
是正方形
∴DC DA CB AB D90
===∠=
∵FA、FE、CE、CB都是⊙O的切线，∴
,
FA AE CE CB
==
设AF y
=，则FE y
=
∴
,
CF CE EF AB AF y CD AB DF DA AF AB AF y
=
+=+==-=-=
∵在Rt CDF，D90
∠=
∴222
CF DF DC
=+即))
222
y y
=+
……
13分
∴解得y=故AF=
…… 14分
也可以在Rt OFC用同样的办法求出AF的值：这是由于
222
CF OF OC
=+
故222
15
)(2)
24
y y
=+++解得
4
5
=
y；故AF=
4
5
.
点评：本题的⑴问不难，只有222
AB AE BE
=+有个配方变换，其余按
常规解法解答即可.本题的⑵问由于有m AE BE
=⋅，所以分别求出
AE BE
、是本问的突破口，又AE BE3
+=，所
以找出AE BE
、两条线段之间的关系是关键，也是本问的一个难点.要
找出AE BE
、之间的数量关系，直接的条件没有；但在连接OC后与BE
交点M所新构成三角形和线段OM作为“中间过渡”就成了关键中的
关键.调动垂径定理、切线的性质、切线长定理、三角形的中位线定理、
全等三角形知识就能找出AE BE
、之间的数量关系.本问求线段AF可
以化归在直角三角形中，利用勾股定理解决.
2011-2012年上学期：
26、（12分）如图，以坐标原点O为圆心，6为半径的圆交y轴于A、B
两点，D是切线AM上一点（D与A不重合），DE切⊙O于点E，与BN交
于点C且AD BC
<,设,
AD m BC n
==，m n
、是2
2t30t k0
-+=的两
根.
⑴.求m n
⨯的值；
COD的面积；
CD所在直线的解析式.
考点：圆的有关基本性质、切线的性质、切线长定理、勾股定理、韦
达
定理、待定系数法求解析式、三角形的面积等.
分析：
⑴.若从两根之积入手有mn k
=，由于k是未知的，所以行不通；
代表m n
、是梯形的两底，当我们作DQ BC
⊥,垂足为Q,在
DQC中根据勾股定理有：
2222
DC QC DQ AB
-==；根据矩形的性质和切线长定理可
知：DQ AB6212
==⨯=,
,DC DE CE DA BC m n
=+=+=+. 问题可以获得解决.
⑵.连结OE后有OE DC
⊥ ,根据切线的性质、切线长定理和韦
达定理可以求出DC的长度，△COD的面积可求出.
⑶. 求CD所在直线的解析式关键是求出C、D两点的坐标，着
其中分别求出m n
、值是关键，m n
、是2
2t30t k0
-+=的两根.
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由于⑴问中mn 的值，而30m n +=，求出m n 、值后，可以得到C 、D 两点的坐标，用待定系数法可以求出CD 所在直线的解析式.
略解：
⑴.如图作DQ BC ⊥,垂足为Q
由切线长定理得：,AD DE m BC EC n ====.
∴DC DE CE DA BC m n =+=+=+，QC BC AD m n =-=- (2)
分
在Rt ∆DQC 中，由勾股定理得：
()2
22222DC QC DQ AB 6212-===⨯=
即2
2212)()(=--+m n n m ，∴=⨯n m 36 …… 4分 ⑵.①. 连结OE ∵n m ,是方程 22300t t k -+=的两根
∴ n m +=15 即CD 15= ∵CD 切⊙O 于点E ，OE 为半径 ∴OE DC ⊥
∴456152
1
OE CD 21S COD =⨯⨯=⨯=∆ …… 6分
②.设CD 所在直线解析式为：b kx y +=(k ≠0) (7)
分 由n m +=15 mn =36 且n m <得：,m 3n 12==
∴,AD 3BC 12== …… 8分 ∴点C 、D 的坐标分别为()126-，和()36， . …… 9分 于是⎩⎨⎧=+-=+63612b k b k 得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=10
34b k
…… 11分 ∴直线CD 的解析式为：4
y x 103
=-+ …… 12分 点评：本题关键的是⑴问突破，要利用韦达定理求m n ⨯或者分别求出
m n 、的值条件不够；但化归在直角三角形中，使m n 、与直角
三角形的边联系在一起，利用勾股定理所建立的等式就可整体求出m n ⨯的值.要注意在梯形中常通过添辅助线把问题转化在三角形和特殊四边中来解决.
六、解答题（本大题14分）
MN 上，AB 11cm =，⊙B 的半径均为1cm ，
B 的半径也不断增t （秒）之间的关系式()r 1t t 0=+≥ d(厘米)与时间t （秒）之间的函数关
考点：圆的有关基本性质、圆与圆的位置关系及其相关性质、分类讨
论思想等. 分析：⑴.点A 是动点，⊙A 是圆心位置变而半径不变，⊙B 的半径虽不断增大，但圆心的B 位置并没有变化，所以要分为点A 在点B
及其左侧和点A 运动到点B 右侧两钟情况来讨论，根据起始距
离和点A 的运动距离的和差，函数关系式不难写出.
⑵.相切有内切和外切之分这是其一；其二. ⊙A 运动与⊙B 相
切，相切点有可能在⊙B 的左侧，也有可能在右侧.所以⑵问有四种情况（见后面的分析示意图）.⊙A 虽运动位置发生变化了，
但形状、大小没有变化（也就是半径没有变）；⊙B 圆心的位置没有变化，但大小发生了变化（也就是半径变了）.结合“当两
圆外切时，圆心距等于两圆的半径之和”和“当两圆内切时，圆心距等于两圆的半径之差（大圆半径减去小圆半径）”⑵问答案不难得出. ⑶.两圆相切在⑵问已得出（见⑵的分析以及后面的分析示意
图）；
两圆相离包括两圆外离和两圆内含，实际上在本问两圆相离
M N
14
情况是：从开始到第一次外切之间、第一次内切到第二次内切
之间、第二次外切到运动结束几种情况（见后面的分析示意
图）；本来应从圆心距、两圆半径之间的数量关系来计算时间，
但根据这几种情况在相切的时间点的基础上直接就可以写出
两圆相离的时间；
两圆相交要分为⊙A与⊙B在⊙B左侧相交和右侧相交两种情
况，实际上在本问两圆相离情况是：第一次外切到第一次内切
之间相交、第二次内切到第二次外切之间的相交（见后面的分
析示意图）.本来应从圆心距、两圆半径之间的数量关系来计
算时间，但根据这几种情况在相切的时间点的基础上直接就可
以写出两圆相相交的时间.
以下分析示意图供参考：
略解：
⑴.当.
0t55
≤≤时，函数表达式为d112t
=-
…
… 2分
当.
t55
>时，函数表达式为d2t11
=-
…
… 4分
⑵.两圆相切可分为如下四种情况
①.当两圆第一次外切，可得112t11t
-=++∴t3
=
…
… 6分
②.当两圆第一次内切，可得112t1t1
-=+-∴
11
t
3
=
…
… 7分
③.当两圆第二次内切，可得2t111t1
-=+-∴t11
=
…
… 8分
④.当两圆第二次外切，可得2t111t1
-=++∴t13
=
…
… 9分
∴点A出发后3秒、
11
3
秒、11秒、13秒两圆相切
…
… 10分
M
M
M
两圆相切四种情况
M M
M M
两圆相离四种情况
M
M
两圆相交两种情况
⑶.两圆相离:0t3
≤<或11
t11
3
<<或t13
>
…
… 11分
两圆相交：
11
3t
3
<<或11t13
<<
…
… 13分
两圆相切：t3
=或
11
t
3
=或t11
=或t13
=
…
… 14分
点评：本题主要考查的是圆与圆的五种位置关系与圆心距、两圆半径之间的数量关系.分类讨论时要注意两点：一是两个圆的“变与不变”：⊙A是圆心位置变而半径不变，⊙B是圆心位置不变而半径变；二是⊙A与⊙B在“变与不变”中的是内外、左右位置上的关系.
2010-2011年上学期：
26、（12分）如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E,连结
AD BD OC OD
、、、，且OD5
=.
⑴.若BD3
AB5
=,求CD的长；
⑵.若::
ADO EDO41
∠∠=，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）
考点：圆的有关基本性质、圆周角定理及其推论、垂径定理、勾股定理、直角三角形的面积、扇形的面积公式等.
分析：⑴.CD的长直接求出条件不够，但根据垂径定理可知CD2DE
=，所以问题到了求DE上；根据圆周角定理的推论可知ADB是直角三
角形，是其斜边上的高，通过直角三角形的面积两种计算方式，
DE
可求出.
⑵.要求扇形OAC（阴影部分）的面积关键是求圆心角AOC
∠的
度数，利用“等对等关系”可知AOC AOD
∠=∠,所可以在
AOD求出AOD
∠，由于AOD是等腰三角形，其
ADO DAO
∠=∠,这和::
ADO EDO41
∠∠=就可以联系在一起.
根据在Rt AED的两锐角互余：DAE ADE90
∠+∠=.即
DAE ADO EDO90
∠+∠+∠=.(也可以从ADB90
∠=)J建立
方程后可以求出DAO ADO
∠∠
、的度数，从而使问题可以进一步
得以解决.
略解：⑴.∵AB是⊙O的直径，OD5
=∴
ADB90AB2OD10
∠===
，
又∵
BD3
AB5
=∴
BD3
105
=
∴BD=6AD AB BD
=-=-=
2222
1068…… 3分∵ADB90AB CD
∠=⊥
，
∴
ADB
11
S DE AB AD BD
22
=⋅=⋅∴DE AB AD BD
⋅=⋅
∴DE⨯=⨯
1086∴DE=
24
5
∴CD DE
==
2
48
5
…… 6分O的直径，AB CD
⊥∴
,
CDB AOC AOD
∠∠=∠
∴ADO DAO
∠=∠即ADO DAE
∠=∠
DAE4x
=；由::
ADO EDO41
∠∠=则EDO x
∠=
∵ADB90
∠=∴DAE ADE90
∠+∠= .即
C
11 / 14
12 / 14
DAE ADO EDO 90∠+∠+∠
=
∴4x 4x x 90++
= ……
9分 ∴x 10= ∴ADO DAE 4x 40∠=∠=
=
∴()AOD 180OAD ADO 100∠=-∠+= ∴AOC AOD 100∠=∠
= ∴ 2OAC
1005125S 36018
ππ⨯⨯==扇形
…… 12分
点评：本题有两个解题“技巧“值得我们总结：一个是为了求CD ，要
转换到求DE ；求DE 又用了直角三角形面积两种不同的计算方式；一个是求圆心角AOC ∠的度数可以转换到求圆心角AOD ∠的度数.在数学的解答中一定要注意化归和转换，在圆搭建起来的解答题尤其要注意，因为圆中的等对等、平分等关系比较多.
27、（14分）已知方程组：()2x 2k 1y 4
y x 2
⎧-+-⎪⎨=-⎪
⎩
⑴.求证：不能k 为何值，此方程组一定有实数解；
⑵.设等腰ABC 的三边长分别为a b c 、、其中c 4=，且2
x a
y a =⎧⎨
=-⎩和 2x b y b =⎧⎨=-⎩是该方程组的两个解，求△ABC 的周长？
考点：解方程组、一元二次方程根的判别式、韦达定理、等腰三角形的性质、分类讨论等. 分析：⑴.本问关键是把关于x y 、二元方程组转化为关于x 的一元二次
方程，然后从一元二次方程根的判别式切入，问题可获得解决.
⑵.根据题意可知,x a x b ==是⑴问中一元二次方程的两个解，
因此利用“韦达定理”切入可以得出a b +和ab 关于k 的式子，然后进行分类讨论先求出k 的值，再进一步求出
a b +和c 的值，三角形的周长可以求出.
略解： (1).把方程②代入①得：()()2x 2k 1x 240-+--= 化简得：()2x 2k 1x 4k 20-++-=
…… 2分 ∵△=()()()2
2
22k 144k 24k 12k 92k 30-=-+=-≥+-
…… 4分 ∴原方程组一定有实数解. …… 5分 (2).∵,x a x b ==是方程()2x 2k 1x 4k 20-++-=的两个解，
…… 6分
∴,a b 2k 1ab 4k 2+=+=- ①.当长为c 4=的边是等腰三角形的一腰时，则a c =或b c =
∴方程必有一根为4 ∴()()242k 14240-+--= ∴.k 25=. ∴方程为：2x 6x 80-+=
…… 7分 ∵a c 6ac 8+==、或b c 6bc 8+==、 ∴.k 25= 符合题意. ∴a b c 6410++=+=
…… 10分
②. 当长为c 4=的边是等腰三角形的一底时，则a b = ∴方程有两个相等的实数根 ∴△= 0，即△=()2
2k 30-=
∴.k 15=. ∴方程为：2x 4x 40-+= ∴ a b 2== ∴a b c 4+== ∴.k 15=不合题意舍去.
综合上述两种情况△ABC 的周长为10. …… 14分
点评：本题的部分内容对于现行新人教版来说是属于选学和拓展性的
内容，但考试中仍是考查内容或者以阅读解答出现在考题中.本题主要是转化和分类讨论思想的运用：要注意把二元转化一元方程来解答；要注意把等腰三角形的c 分为为腰和为底来讨论.在求周长时还要注意整体思想的运用.
课外选练：
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1、如图，PB 切⊙O 于B 点，直线PO 交⊙O 于点E F 、，过点B 作 PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 交⊙O 于 点C 连结BC AF 、.
⑴.求证：直线PA 为⊙O 的切线；
⑵.若,::BC 6AD FD 12==BC ＝6,求⊙O 的半径的长．
2、如图，在Rt ABC 中，C 90∠=,点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆与AC AB 、分别交于点D E 、，且 CBD A ∠=∠.
⑴.判断直线BD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
⑵.若A 30OA 2∠==，,求由BD 、线段ED 、线段DB 围成的 阴影部分的面积.
3、如图，点A 在x 轴上，OA 4=,将线段OA 绕点O 顺时针 旋转120°至OB 的位置． ⑴.求点B 的坐标；
⑵.求经过A O B 、、的抛物线的解析式；
⑶.在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P O B 、、 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存 在，请说明理由．
⑵.求证：CD 是⊙P 的切线；
⑶.若二次函数()2y x a 1x 6=-+++的图象经过点B ，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数y 2x b =+值的x 的取值
范围.
5、某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售
价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天售价90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.
⑴.求平均每天销售量y （箱）与销售价（元/箱）之间的函数解析式，
并写出x 的取值范围；
ω元与销售价x 元/箱）之间的函数ABC 是直角三角
,,BC OA 1OC 4===,抛物线2y x bx c =++经过
D ． ABC 斜边AB 上一动点
E 作x 轴的垂线交抛物 E
F 的长度最大时，求点E
D 为顶点的四边形的面积；P ,使EFP 是以 ? 若存在，求出所有
. xoy 中，正方形OABC 的边长为2cm ，点x 的正半轴上，抛物线2y ax bx c =++经过A
和B ，且12a 5c 0+=. ⑴.求抛物线的解析式;
⑵.如果点P 由点A 沿AB 边以2cm /秒的速度向B 移动，同时点Q 开始沿BC 边以1cm /秒的速度向C 移动，那么：
①.移动开始后第t 秒时，设()
22S PQ cm =，试写出S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值范围；
6 题图 6 题备用图
②.当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R,使得以P B Q R
、、、为
顶点的四边形是平行四边形？若存在。

请求出点R
请说明理由。

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