江苏省南通市海门区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题(解析版)

2023—2024学年度第二学期4月份阶段性测试八年级数学
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（ ）
A. 直角三角形
B. 锐角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上答案都不对
【答案】A
【解析】【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【详解】解：正方形小方格边长为1，
，
，
，
在中，
，，
，
是直角三角形．
故选：
A
ABC ABC ABC 222+=a b c ABC ABC 2225550BC ∴=+=2223318AC =+=2222868AB =+=ABC 22501868BC AC +=+= 268AB =222BC AC AB ∴+=ABC ∴
2. 如图，平行四边形中，于E ，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D. 【答案】A
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到，进而求出，再由垂直的定义得到，则．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选A ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
3. 如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】
ABCD CE AB ⊥125A ∠=︒BCE ∠35︒
55︒25︒30︒
AD BC ∥55B ∠=︒90CEB ∠=︒9035BCE B =︒-=︒∠∠ABCD AD BC ∥180A B ∠+∠=︒125A ∠=︒55B ∠=︒CE AB ⊥90CEB ∠=︒9035BCE B =︒-=︒∠∠1514133
10
【分析】根据矩形的性质，得△EBO≌△FDO，再由△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC
高的得出结论．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴OB＝OD＝OA＝OC，
在△EBO与△FDO中，
∵∠EOB＝∠DOF，
OB＝OD，
∠EBO＝∠FDO，
∴△EBO≌△FDO（ASA），
∴阴影部分的面积＝S△AEO＋S△EBO＝S△AOB，
∵△AOB与△ABC同底且△AOB的高是△ABC高的，
∴S△AOB＝S△ABC＝S矩形ABCD．
故选B
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质
4. 下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定函数的个数．
【详解】根据函数的定义可知，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应．
A、对于x的每一个取值，y都有两个值，故A错误；
B．对于x的每一个取值，y都有两个值，故B错误；
C．对于x的每一个取值，y都有两个值，故C错误；
D．对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故D正确．
故选D．
1
2
1
2
1
2
1
4
【点睛】本题考查了函数的定义，函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．
5. 在下列各图象中，表示函数的图象的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，对于正比例函数，当时，其函数图象经过第一、三象限，当时，其函数图象经过第二、四象限，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴函数
经过第一、三象限，
()0y kx k =-<()0y kx k =≠0k >0k <0k <0k ->()0y kx k =-<
∴四个选项中只有C 选项符合题意，
故选C ．
6. 对于函数，下列结论：①它的图象必经过点 ②它的图象经过第一、二、四象限 ③当时， ④的值随值的增大而增大，其中正确的个数有（ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个【答案】C
【解析】
【分析】求出当时y 的值即可判断①；根据一次函数图象与系数的关系即可判断②④；求出当时，，则由增减性可判定③．【详解】解：当时，，则该函数的函数图象不经过，故①错误；
∵，
∴该函数函数图象经过第一、二、四象限且的值随值的增大而减小，故②正确，④错误；
当时，，∴当时，，∴时，，故③正确；
∴正确的有2个，
故选C ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．
7. 已知数据的平均数是2，方差是
，则数据的平均数和方差是（ ）
A. 2，
B. 4，4
C. 6，
D. 6，4
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了方差和平均数，灵活利用两个公式，进行准确计算是解答的关键．
【详解】解：，51y x =-+()1,5-1x >0y <y x =1x -0y =15
x ==1x -516y x =-+=()1,5-5010-<>，y x 0y =15x =
15
x >0y <1x >0y <12320,,,,x x x x 141232042,42,4,422,x x x x ---- 1
41
4 123201()220
x x x x x =+++⋯+=
，，，故选：D ．
8. 在平面直角坐标系中，将直线l 1：y ＝﹣2x ﹣2平移后，得到直线l 2：y ＝﹣2x +4，则下列平移作法正确的是（ ）
A. 将l 1向右平移3个单位长度
B. 将l 1向右平移6个单位长度
C. 将l 1向上平移2个单位长度
D. 将l 1向上平移4个单位长度
【答案】A
【解析】
【分析】利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】∵将直线l 1：y=-2x-2平移后，得到直线l 2：y=-2x+4，
∴-2（x+a ）-2=-2x+4，
解得：a=-3，
故将l 1向右平移3个单位长度．
故选A ．
【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
9. 某地电话拨号入网有两种收费方式：①计时制：元/分；②包月制：50元/月．此外，每一种上网方式都得加收通信费元/分．某用户估计一个月上网时间为1000分钟，你认为采用哪种收费方式较为合算（ ）
A. 计时制
B. 包月制
C. 两种一样
D. 不确定【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，根据所给收费标准分别计算出两种收费方式的费用即可得到答案．
【详解】解：计时制的费用为元，
包月制的费用为元，
∴两种收费方式一样合算，
故选：C ．
10. 如图，正方形的边长为8，在上，且，是上一动点，则的12320142(42424242)620
x x x x x -=-+-+-+⋯+-=222221232011[(2)(2)(2)(2)]204
S x x x x =-+-+-+⋯+-=222224201232011[(426)(26)(426)(426)]164204
x S x x x x -=--+--+--+⋯+--=⨯=0.050.020.0510000.02100070⨯+⨯=500.02100070+⨯=ABCD M DC 2DM =N AC DN MN +
最小值为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
【答案】C
【解析】【分析】连接BN ，BD ，BM ，BM 交AC 于点E ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得ND =NB ，由三角形三边关系可得NB +NM ≥BM ，再由勾股定理求得BM 即可；
【详解】解：如图，连接BN ，BD ，BM ，BM 交AC 于点E ，
ABCD 是正方形，则AC 、BD 互相垂直平分，
∴ND =NB ，
当点N 与点E 不重合时，△NBM 中NB +NM ＞BM ，
当点N 与点E 重合时，NB +NM =BM ，
∴NB +NM ≥BM ，即DN +MN 的最小值为BM ，
ABCD 是正方形，则BC =CD =8，∠BCD =90°，
∴CM =CD -DM =8-2=6，
∴BM
，
∴DN +MN 的最小值为10，
故选： C ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直平分线的性质，三角形的三边关系，勾股定理；正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．）
10=
11. 若直线与平行，则_______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据坐标系中若两一次函数所在的直线平行，那么这这个一次函数的一次项系数相同进行求解即可．
【详解】解：∵直线与平行，
∴，
故答案为：3．
12. 如图，在中，，，点为的中点，平分，，垂足为点，延长交于点，的长为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形中位线定理解答．
【详解】解：∵平分，
∴在和中，
，∴∴，，
∴
，
2y kx =+31y x =-k =2y kx =+31y x =-3k =ABC 5AB =3AC =N BC AM BAC ∠CM AM ⊥M CM AB D MN AMD AMC ≌3AD AC ==CM MD =AM BAC ∠MAD MAC
∠=∠AMD AMC 90MAD MAC AM AM
AMD AMC ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩
()
ASA AMD AMC ≌3AD AC ==CM MD =532BD AB AD =-=-=
∵，，
∴，故答案为：1．
13. 在学平行四边形的时候我们知道把两张等宽的纸条交叉重叠在一起得到的四边形是平行四边形，你能进一步判断重叠部分的形状是_______．
【答案】菱形
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定，证明是解题的关键．过点作于点，于点，先证四边形是平行四边形．再由平行四边形面积得，然后由菱形的判定即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，于点，
两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
又．
，
平行四边形是菱形．
故答案为：菱形
14. 一次函数y=kx+b(k ，b 为常数且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x 的不等式kx+b>0的解集为_________；
CM MD =CN BN =MN =112
BD =ABCD BC CD =A AE BC ⊥E AF CD ⊥F ABCD BC CD =A AE BC ⊥E AF CD ⊥F AE AF ∴=∥ AB CD AD BC ∥∴ABCD ABCD S BC AE CD AF =⋅=⋅ = AE AF BC CD ∴=∴ABCD
【答案】【解析】
【分析】先由待定系数法求得一次函数y=kx+b 的解析式，从而得到其与x 轴的交点的横坐标，再结合图象得到对应的不等式的解集．
【详解】解：由图可知：一次函数y=kx+b(k ，b 为常数且k≠0)的图象过点（0,1），（2,3），则有：，解得：，故一次函数为：y=x+1，
当y=0时，x=-1，如图：
由图可知：一次函数y=kx+b 的图象与x 轴的交点为（-1，0），且y 随x 的增大而增大；
即不等式kx+b>0的解集为x ＞-1；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是待定系数法求一次函数解析式及一次函数与一元一次不等式的关系，在解题时，认真体会一次函数与一元一次不等式（组）之间的内在联系．数形结合是解答本题的关键．15. 小明的期中数学成绩为80分，期末数学成绩为90分，将期中和期末按照4：6的比例计算，得到总评成绩，则小明的数学总评成绩为_______分．
【答案】86
【解析】
【分析】按照加权平均数的计算方法进行计算即可．
【详解】解：小明的数学总评成绩为：1
x >-123b k b =⎧⎨+=⎩
11b k =⎧⎨=⎩
1x >-
．故答案为：86．
【点睛】本题主要考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式，是解题的关键．16. 已知、、是
______．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了合并同类项，二次根式的性质，绝对值的应用，关键是去掉绝对值符号．根据三角形的三边关系定理得出，，，根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后
去绝对值符号后合并即可．
【详解】解：、、是的三边长，
，，，
原式．
故答案为：．
17. 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm 和8cm ，则这个菱形的高DE 为________cm ．【答案】
【解析】【分析】设交于点，且不妨设，先根据菱形的性质可得
，再利用勾股定理可得，然后利用菱形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，设交于点，且不妨设，
8049068646
⨯+⨯=+a b c ABC +=3a b c
+-a b c +>b c a +>b a c +>a b c ABC a b c ∴+>b c a +>b a c +>∴||||||
a b c b c a c b a =++-+-+--()()
a b c b c a b a c =++-+-++-a b c b c a b a c
=++--+++-3a b c =+-3a b c +-245
,AC BD O 8cm,6cm AC BD ==4cm,3cm,OA OB AC BD ==⊥5cm AB =,AC BD O 8cm,6cm AC BD ==
四边形是菱形，
，，
又菱形的面积为，，解得，
故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
18. 如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】【分析】由题意分析可知，点为主动点，为从动点，所以以点为旋转中心构造全等关系，得到点的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．
【详解】由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动
ABCD 114cm,3cm,22
OA AC OB BD AC BD ∴====⊥5cm AB ∴== ABCD 12
AB DE AC BD ⋅=⋅15862
DE ∴=⨯⨯24(cm)5
DE =245
ABCD E BC 1BE =F AB EF EF EFG ∆CG CG 52
F G E G CG F G F G
将绕点旋转，使与重合，得到，
从而可知为等边三角形，点在垂直于的直线上，
作，则即为的最小值，
作，可知四边形为矩形，
则
.故答案为．【点睛】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点的运动轨迹，是本题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）19. 计算：
（1）（2）．【答案】（1
（2）【解析】
【分析】本题考查了实数的运算、二次根式的混合运算，属于重要的计算基础题型．
（
1）按照偶次方、零次幂、绝对值及负整数指数幂的运算计算即可；
（2）按照二次根式性质化简、再进行合并即可．
EFB ∆E 60︒EF EG EFB EHG ∆≅∆EBH ∆G HE HN CM HN ⊥CM CG EP CM ⊥HEPM 1351222CM MP CP HE EC =+=+
=+=52
G 2
2012(2023)22π-⎛⎫-+-+-- ⎪⎝⎭)21-++14-
解：原式 【小问2详解】
原式
20. “珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是 米．
（2）小明在书店停留了 分钟．
（3）本次上学途中，小明一共行驶了 米，一共用了 分钟．
（4）我们认为骑单车的速度超过300米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
【答案】（1）1500；
（2）4； （3），
（4）12～14分钟时速度最快，不在安全限度内．
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图象，解决本题的关键是要观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系．
（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案； （3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案；
（4）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，
可得速度．
(4412=-++-
-1
=
-21(32)=-++
-4=-270014
根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0， 故小明家到学校的路程是1500米；
古答案为：1500
【小问2详解】
根据题意，小明在书店停留的时间为从（8分）到（12分）， 故小明在书店停留了4分钟．
故答案为：4
【小问3详解】
一共行驶的总路程（米）
由图象可知，共用了分钟．
故答案为：，【小问4详解】
由图象可知：分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
所以，分钟时速度最快，不在安全限度内．
21. 为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．
（1）小明一共调查了多少户家庭？
（2）求5月份所调查家庭的平均用水量；
（3）若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份用水量．
【答案】（1）小明一共调查了20户家庭
的120012006001500600=+-+-（）（）
1200600900
=++2700=14270014
06～12006200=÷=68～()()120060086300=-÷-=1214～()()15006001412450=-÷-=1214～
（2）5月份所调查家庭的平均用水量为4.5吨
（3）估计这个小区5月份的用水量为1800吨
【解析】
【分析】（1）条形图上户数之和即为调查的家庭户数；
（2）先算出总的用水量，再除以20即可；
（3）利用样本估计总体的方法，用400×所调查的20户家庭的平均用水量即可．
【小问1详解】
解：1＋1＋3＋6＋4＋2＋2＋1＝20（户），
答：小明一共调查了20户家庭；
【小问2详解】
（1×1＋1×2＋3×3＋4×6＋5×4＋6×2＋7×2＋8×1）÷20＝4.5（吨）；
【小问3详解】
400×4.5＝1800（吨），
答：估计这个小区5月份的用水量为1800吨．
【点睛】此题主要考查了条形统计图，平均数，以及用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22. 某水果店计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：
进价（元/千克）售价（元/千克）
甲种58
乙种913
（1）若该水果店预计进货款为1000元，则这两种水果各购进多少千克？
（2）若该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？
【答案】（1）购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；（2）当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．
【解析】
【分析】（1）根据计划购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；
（2）利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．
【详解】解：（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140﹣x）千克，根据题意可得：
5x+9（140﹣x）=1000，
解得：x=65，
∴140﹣x=75（千克），
答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；
（2）由图表可得：甲种水果每千克利润为：3元，乙种水果每千克利润为：4元，
设总利润为W，由题意可得出：W=3x+4（140﹣x）=﹣x+560，
故W随x的增大而减小，则x越小W越大，
因为该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，
∴140﹣x≤3x，
解得：x≥35，
∴当x=35时，W最大=﹣35+560=525（元），
故140﹣35=105（千克）．
答：当甲购进35千克，乙种水果105千克时，此时利润最大525元．
23. 某中学开展“我为文明城市创建添光彩”演讲比赛活动，八①班、八②班根据初赛成绩，各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示：
班级
平均数
（分）中位数
（分）
众数
（分）
八①班85 85
八②班8580
（1）将上表填写完整；
（2）结合两班复赛成绩和平均数和中位数，分析哪个班的复赛成绩比较好？
（3）如果在每班参加复赛的选手中分别选择2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强一些，并说明理由．
为
【答案】（1）补全表格见解析；（2）因为两个班的平均数相同，八①班的中位数高，所以八①班的高分数段人数多，因此成绩较好；（3）八②班的实力较强，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由条形统计图可得八①班的中位数为：85，八②班的众数为：100．
（2）因为两个班的平均数相同，八①班的中位数高，所以八①班的高分数段人数多，因此成绩较好，（3）由在平均分相同，在高分区中八①班的前两名分数为100，85，而八②班前两名分数为100，100分即可得出答案．
【详解】解：（1）由图可得，八①班的中位数为：85，八②班的众数为：100．
补全表格如下班级
平均数
（分）
中位数（分）众数
（分）八①班
858585八②班8580100（2）因为两个班的平均数相同，八①班的中位数高，所以八①班的高分数段人数多，因此成绩较好；（3）八②班的实力较强．因为在平均分相同，在高分区中八①班的前两名分数为100，85，而八②班前两名分数为100，100分．
【点睛】本题考查了平均数、众数、中位数等统计的基本概念以及运用有关统计量作出决策，属于基本题型，熟练掌握统计的基本知识是解题关键．
24. A
，B 两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：
A 超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；
B 超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．
例如，一次购物的商品原价为500元，
去A 超市的购物金额为：（元）；
3000.9(500300)0.7410⨯+-⨯=
去B 超市的购物金额为：（元）．
（1）设商品原价为x 元，购物金额为y 元，分别就两家超市的促销方式写出y 关于x 的函数解析式；（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．
【答案】（1）A 商场y 关于x 的函数解析式：；B 商场y 关于x 的函数解析式：；（2）当时，去B 超市更省钱；当时，去A 、B 超市一样省钱；当时，去A 超市更省钱．
【解析】
【分析】（1）利用促销方式，分别写出A 、B 两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数;
（2）小刚一次购物的商品原价超过200元,则可以确定B 的函数解析式，再分段求出A 函数的解析式，比较两函数值即可，注意分段讨论．
【详解】解：（1）A 商场y 关于x 的函数解析式：，即：；B 商场y 关于x 的函数解析式：，即：；（2）∵小刚一次购物的商品原价超过200元
∴当时，，
令，，
所以，当时，即，去B 超市更省钱；
当时，，
令，，
所以，当时，即，此时去A 、B 超市一样省钱；
当时，即，去B 超市更省钱；
当时，即，去A 超市更省钱；
100(500100)0.8420+-⨯=()()0.9030060+0.7300A x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
＞()()010020+0.8100B x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
＞20000x ＜＜4=400x 400x ＞()()()0.903000.9300+0.7300300A x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⨯-⎪⎩
＞()()0.9030060+0.7300A x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
＞()()()0100100+0.8100100B x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨-⎪⎩＞()()010020+0.8100B x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩
＞200300x ≤＜()0.9200.80.120A B y y x x x -=--=-0A B y y -==200x 200300x ≤＜0A B y y -＞300x ＞()()60+0.720+0.8400.1A B y y x x x -=-=-0A B y y -==400x =400x =0A B y y -300400x ＜＜0A B y y -＞400x ＞0A B y y -＜
综上所述，当时，去B 超市更省钱；当时，去A 、B 超市一样省钱；当时，去A 超市更省钱．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意B 商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．
25. 已知：如图，△ABC 中，点O 是AC 上(端点除外)的一动点，过点O 作直线，MN ∥BC,设MN 交∠BCA 的平分线于点E,交∠BCA 的外角∠ACG 的平分线于点F,连接AE. AF.
(1)求证：∠ECF=90°;
(2)当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形?请说明理由：
(3)在(2)的条件下，△ABC 应该满足条件： ,就能使矩形AECF 变为正方形，(直接添加条件，无需证明)
【答案】（1）见解析（2）当O 点为AC 中点时（3）∠ACB 为直角时
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质即可求解；（2）当O 点为AC 中点时，由（1）得EO=CO=FO,故EO=CO=FO=AO ，即可得到四边形AECF 为矩形；（3）由已知和（2）得到的结论，点O 运动到AC 的中点时，且△ABC 满足∠ACB 为直角时，则推出四边形AECF 是矩形且对角线垂直，故四边形AECF 是正方形.
详解】
（1）∵CE 平分∠BCO ，CF 平分∠GCO ，∴∠OCE=∠BCE ，∠OCF=∠GCF ，
∴∠
ECF=×180°=90°,（2）当O 点AC 中点时，四边形AECF 为矩形，理由如下
∵MN ∥BC ，
∴∠OEC=∠BCE ，∠OFC=∠GCF ，
故∠OCE=∠OEC,∠OCF=∠OFC ，∴EO=CO,FO=CO ，
∵点O 是AC 中点，故AO=CO ，
即EO=CO=FO=AO ，
∴四边形四边形AECF 矩形【为为20000x ＜＜4=400x 400x ＞1
2
（3）∠ACB 为直角时，得出矩形的对角线互相垂直，即得出四边形AECF 是正方形.
【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形、正方形的判定与性质.26. 对于给定的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应函数值相等，我们称这样的两个函数互为“和谐函数”．
例如，一次函数，它的“和谐函数”为．（1）一次函数的“和谐函数”为______；
（2）已知点的坐标为，点的坐标为，函数的“和谐函数”与线段有且只有一个交点，求的取值范围．
【答案】（1） （2）或【解析】
【分析】（1）根据“和谐函数”的定义即可求得；
（2）先求出函数y=3x-2的“和谐函数”，然后求出y=4时的x 值，再根据题意可得不等式组−
<b-1≤2或−≤b+3<2，解不等式组即可．【小问1详解】
解：根据“和谐函数”定义得：
一次函数的“和谐函数”为，故答案为：．【小问2详解】
解：函数y ＝3x －2的和谐函数是如图1和如图2所示
x 1x <1x ≥4y x =-()()4141x x y x x ⎧-+<⎪=⎨-≥⎪⎩
5y x =-+A ()1,4b -B ()3,4b +32y x =-AB b ()5(1)51x x y x x -<⎧=⎨-+≥⎩
133b <≤1113
b -≤<-23
235y x =-+()5(1)51x x y x x -<⎧=⎨-+≥⎩
()5(1)51x x y x x -<⎧=⎨-+≥⎩
()
32(1)321x x y x x -+<⎧=⎨-≥⎩
由－3x ＋2＝4，得x ＝由3x －2＝4，得x ＝2∵点A 的坐标为（b －1，4）点B 的坐标为（b ＋3，4）
∴AB ＝4，AB ∥x 轴
∵函数y ＝3x －2的和谐函数与线段AB 有且只有一个交点，
∴有两种情况：①
解得②解得综上所述，b 的取值范围是
或【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和一次函数的性质，理解“和谐函数”的含义并熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．23
-
21312
b b ⎧->-⎪⎨⎪-≤⎩133
b <≤32233b b +<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩
1113
b -≤<-133b <≤1113b -≤<-。