2020高考数学(理科)二轮专题复习 跟踪检测： 专题2 三角函数、解三角形与平面向量 专题2 第3讲 含答案

第一部分 专题2 第3讲
题型
对应题号 1.向量的概念及线性运算 3,6,11 2.平面向量基本定理 2,7,10
3.向量的数量积及应用 1,4,5,8,9,12,13,14,15,16
基础热身(建议用时：40分钟)
1．已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →
＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．120°
A 解析 |BA →|＝1，|BC →
|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →
|BA →|·|BC →
|＝32.因为0°≤∠ABC ≤180°，所以∠ABC
＝30°.故选A 项．
2．(2019·辽宁东北育才学校模拟)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若向量c ＝λa ＋b ，则实数λ＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
D 解析 由题中所给图象可得2a ＋b ＝c ，又c ＝λa ＋b ，所以λ＝2.故选D 项． 3．(2019·江西七校联考)已知平面向量a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，则3a ＋2b ＝( ) A ．(－1,7) B ．(－1,2) C ．(1,2)
D ．(1，－2)
D 解析 因为a ＝(－1,2)，b ＝(2，y )，且a ∥b ，所以－1×y －2×2＝0，解得y ＝－4，故可得3a ＋2b ＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．故选D 项．
4．设向量a ，b 满足|a ＋b|＝10，|a －b|＝6，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．5
A 解析 由|a ＋b |＝10得|a ＋b |2＝10，
即a 2＋2a·b ＋b 2＝10，①
又|a －b |＝6，所以a 2－2a·b ＋b 2＝6，② 由①－②得4a·b ＝4，则a·b ＝1.故选A 项．
5．已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b|＝( ) A ．9 B ．3 C ．109
D ．310
D 解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，所以2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9，则|b |＝
(－3)2＋92＝310.故选D 项．
6．(2019·广东东莞统考)如图所示，△ABC 中，BD →＝2DC →，点E 是线段AD 的中点，则AC →＝( )
A ．34AD →＋12BE →
B ．34AB →＋BE →
C ．54A
D →＋12
BE →
D ．54
AD →＋BE →
C 解析 由题意和图可知，AC →＝A
D →＋DC →，DC →＝12BD →，BD →＝B
E →＋ED →，ED →＝12AD →
，所
以AC →＝54AD →＋12
BE →
.故选C 项．
7．(2019·湖南师大附中月考)如图，已知|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2，tan ∠AOB ＝－43，∠
BOC ＝45°，OC →＝mOA →＋nOB →
，则m n
＝( )
A ．57
B ．75
C ．37
D ．73
A 解析 以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．
因为|OA →|＝|OB →
|＝1，且tan ∠AOB ＝－43，所以cos ∠AOB ＝－35，sin ∠AOB ＝45，所以A (1,0)，
B ⎝⎛⎭⎫－35，4
5，又令∠AOC ＝θ，则θ＝∠AOB －∠BOC ，所以tan θ＝tan(∠AOB －∠BOC )＝－4
3－11－4
3＝7，又因为点C 在∠AOB 内，所以cos θ＝
210，sin θ＝7210
，又|OC →
|＝2，所以C ⎝⎛⎭⎫15，75，因为OC →＝mOA →＋nOB →
(m ，n ∈R )，所以⎝⎛⎭⎫15，75＝(m,0)＋⎝⎛⎭⎫－35n ，45n ＝⎝
⎛⎭⎫m －35n ，45n ，即⎩⎨⎧
15＝m －35
n ，75＝45n ，
解得⎩⎨⎧
n ＝74
，m ＝5
4，
所以m n ＝5
7
.故选A 项．
8．(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________.
解析 cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝
3－λ3＋1
1＋λ2
＝12，解得λ＝33
. 答案
33
9．(2019·四川攀枝花统考)已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝4，则b 在a 方向上的投影等于________.
解析 因为a·b ＝2×4cos 120°＝－4，所以b 在a 方向上的投影为a·b |a|＝－42＝－2.
答案 －2
10．(2019·山东两校诊断)已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →
＋AC →＝mAM →
成立，则m ＝________.
解析 由条件知M 是△ABC 的重心，设D 是BC 边的中点，则AB →＋AC →＝2AD →，而AM →＝23AD →
，
所以2AD →
＝m ·23
AD →，所以m ＝3.
答案 3
11．在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →
，且x ＋y ＝1，函数f (m )
＝|CA →－mCB →|的最小值为32
，则|CO →
|的最小值为________.
解析 如图，△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，记NA →＝CA →－mCB →
，则当N 在D 处，即AD ⊥BC 时，f (m )取得最小值
32，因此|AD →|＝32
，容易得到∠ACB ＝120°.因为CO →＝xCA →＋yCB →，且x ＋y ＝1，所以O 在边AB 上，所以当CO ⊥AB 时，|CO →|最小，|CO →
|min ＝12
.
答案 1
2
12．(2019·江西上饶模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，AB →·AD →
＝4，点P 在边CD 上，则P A →·PC →的取值范围是________.
解析 设|PD →|＝x ，x ∈[0,4]，则P A →·PC →＝(PD →＋DA →)·PC →＝⎝⎛⎭⎫－x 4AB →－AD →·4－x 4AB →
＝－x 4×
4－x 4AB →2－4－x 4AD →·AB →
＝－x 4×4－x 4×16－4－x 4×4＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254，所以当x ＝32时，取最小值－254
，当x ＝4时，取最大值0，即P A →·PC →
的取值范围是⎣⎡⎦⎤－254，0. 答案 ⎣⎡⎦
⎤－25
4，0 能力提升(建议用时：25分钟)
13．设平面向量a ＝(－2,1)，b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是！！！____________###.
解析 因为a 与b 的夹角为钝角，所以a ·b <0，且a 与b 不平行，所以有⎩
⎪⎨⎪⎧
－2＋λ<0，－2λ≠1，即
λ<2且λ≠－1
2
，所以λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，2. 答案 ⎝
⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－1
2，2 14．(2019·湖南湘潭质检)已知A B →与A C →的夹角为90°，|A B →|＝2，|A C →|＝1，AM →＝λA B →
＋μA C →(λ，μ∈R )，且AM →·B C →
＝0，则λμ
的值为________．
解析 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB →
＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC →
＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →
，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝1
4
.
答案 14
15．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，1为半径的圆上任意一点，则AP →·BP →
的取值范围是________.
解析 取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →
－CB →)＝CP →2－CP →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB →＝CP →2－2CD →·CP →＋CA →·CB →＝1－2×3×1×cos CD →，CP →＋(23)2cos π3＝7－6cos CD →，CP →，所以当cos CD →，CP →＝1时，AP →·BP →取得最小值为
1；
当cos CD →，CP →＝－1时，AP →·BP →
取得最大值为13. 因此AP →·BP →的取值范围是[1,13]． 答案 [1,13]
16．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π. (1)若|a －b |＝2，求向量a 在b 上的投影；
(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．
解析 (1)a －b ＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，则|a －b |＝
2－2cos (α－β)＝2，所以cos(α
－β)＝0，而0＜β＜α＜π，所以0＜α－β＜π，所以α－β＝π
2.所以向量a 在b 上的投影为|a |cos a ，
b ＝a ·b
|b |
＝cos(α－β)＝0.
(2)由a ＋b ＝c 得⎩⎪⎨⎪⎧
cos α＋cos β＝0， ①
sin α＋sin β＝1， ②
①2＋②2得cos(α－β)＝－12，而0＜α－β＜π，故α－β＝2π
3，而由①得α＋β＝π，解得α
＝5π6，β＝π
6
.。