n阶行列式的计算方法

n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法
1．利用对角线法则
“对角线法则”：
（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；
（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素
的乘积；
（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。

例1计算二阶行列式4
23
1=
D 。

解：2
2341423
1?=×?×==D 例2计算三阶行列式2
108340
21??=D 。

解：
)
1(812420)3(0)1(400822)3(12108340
21?××?××?×?×??××+××+×?×=??=D 14
=2．利用n 阶行列式的定义
n 阶行列式==
nn
n n n
n a a a a a a a a a D 2122221
11211n
n np p p p p p a a a ??212121)()1(∑?τ其中)(21n p p p ?ττ=，求和式中共有!n 项。

显然有
上三角形行列式nn
nn n
n a a a a a a a a a D ?? 221122211211
==
下三角形行列式nn
nn
n n a a a a a a a a a D 221121
22
21
11==
对角阵n
n
D λλλλλλ??
212
1
==
另外n
n n n
D λλλλλλ??
212
)1(2
1
)
1(??==
例3计算行列式0010020
010000
00n D n n
=
解
D n 中不为零的项用一般形式表示为
112211!n n n nn a a a a n =?.
该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于
(1)(2)
2
n n ??，故
(1)(2)
2
(1)
!.
n n n D n ??=?3．利用行列式的性质计算
性质1行列式与它的转置行列式相等,即T
D D =。

注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有。

性质2交换行列式的两行(列)，行列式变号。

推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同，则此行列式为零。

性质3用数k 乘行列式的某一行(列),等于用数k 乘此行列式,即kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nn
n n in i i n nn n n in i i n ===
2121112
112121
112111。

第i 行(列)乘以k ，记为k r i ×(或k c i ×)。

推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

推论2行列式中若有两行（列）元素成比例,则此行列式为零。

性质4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如，nn
n n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D
2
12
21111211+++=。

则
212
1
21112
1121
21
11211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nn
n n in i i n nn n n in i i n +=+=。

性质5
将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式不变。

例4计算x a a a
x a a a x D n =。

解x
a a a x a a n x D n r r r n 1
11]
)1([)(21?+=+++a x a x a n x +=000
0111]
)1([1
)]()1([+=n a x a n x 例5
一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足
,,1,2,,,
ij ji a a i j n =?=?则称n D 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =?知ii ii a a =?，即
0,1,2,,ii a i n
==?故行列式n D 可表示为
1213112
23213
2331230000
n n n n n
n n
a a a a a a D a a a a a a ?=由行列式的性质T D
D =1213112
23213
2331230000
n n n n n n n
a a a a a a D a a a a a a =1213112 23213
2331230
0(1)00
n n n n n n n
a a a a a a a a a a a a ?=(1)n n
D =?当n 为奇数时，得n n D D ?=，因而得0=n D 。

4．利用行列式按行（列）展开
=+++jn in j i j i A a A a A a ?2211),,2,1,(0n j i j
i j
i D
=??
≠=例6计算1
31421131
1023351=D 。

解
3
401
2
1131
1027
2016=
D 3
411
127
216)1(23=+551
7520)1)(1(1
071125
020)1(22?===+5．利用化上三角形法
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

一般的数字元素的行列式化为上三角形行列式的步骤：
（1）观察元素11a ，若不为1通过变换化为1；（这可以通过对调两行或两列实现，有时也可以把第一行或第一列乘11
1
a 来实现，但要避免元素变为分数，否则将给后面的计算增加困难。

）
（2）对第一行分别乘13121,,,n a a a 加到第n ?,3,2行对应元素上去；（目的：第一列11a 以下的元素全部化为零）（3）用类似的方法把主对角线元素13121,,,n a a a ?以下的元素全部化为零。

这样行列式就化为上三角形行列式了，在上述变换过程中，主对角线元素
),2,1(,n i a ii ?=不能为零，若出现零，可通过行（列）对调使得主对角线上元素不为零。

例7计算1
31421131
1023351=D 。

解1192101110160551003351=D 11103200112033515=1
12032001
1103351)
5(=1
3003
2001
1103
351)5(=2
11
000320011103351)5(=55?=6．利用递推公式
递推公式法：对n 阶行列式n D 找出n D 与1?n D 或n D 与21,??n n D D 之间的一种关系
——称为递推公式（其中,n D 21,??n n D D 等结构相同），再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法。

例8证明
12
2110000100
0001n n n n x x D x a a a a a x
=?+
12121,(2)
n n n n n x a x a x a x a n =+++++≥?证明：将n D 按第1列展开得
12321100001000001n n n n x x
D x x a a a a a x =?+????
110001
00(1)001
n n
x a x +??+1
n n a xD ?=+由此得递推公式：1n n n D a xD ?=+，利用此递推
公式可得
112()n n n n n n D a xD a x a xD =+=++212
n n n a a x x D ??=++111n n
n n a a x a x x ??==++++??7．利用范德蒙行列式的结论计算特殊的行列式
范德蒙行列式1
11
12112
2122211211111=n n n n n n n
n n n n x x x x x x x x x x x x D ??
∏≤<≤?=n
i j j i x x 1)(例9计算行列式
1222211
22121212112211111
1
n n n
n n n n n n n n
x x x D x x x x x x x x x x x x +++=
++++++??
解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式
1
22
22121
111
12
1
11()
n n i j n i j n n n n
x x x D x x x x x x x x ≥>≥==?∏
8．利用加边法计算n 阶行列式
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

例10计算n 阶行列式
121
21
212n n n n n
x a a a a x a a D a a a a a x a ++=+解：
1100
n
n n
a a D D =
121100
2,,1100100
n i a a a x i n x
x
=+第行减第1行
（箭形行列式）12110000000
n
j
n j a a a a x
x x x
=+=
∑
11n j n
j a x x =?
=+??
∑9．利用数学归纳法
例11计算n 阶行列式
12
2110
0001000001n n n n x x D x a a a a a x
=?+
解：用数学归纳法.当n =2时
212
21
1
()x D x x a a a x a ?=
=+++212
x a x a =++假设n =k 时，有
12121k k k k k k
D x a x a x a x a =+++++?则当n =k+1时，把1+k D 按第一列展开，得
11
k k k D xD a ++=+1111()k k k k k x x a x a x a a ??+=+++++?12111
k k k k k x a x a x a x a +?+=+++++?由此，对任意的正整数n，有
12121n n n n n n
D x a x a x a x a =+++++?10．利用拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。

例12计算行列式
n D =
11212212n n
n n
a a a a a a a a a λλλ+++
解：n D =
12122
12
n n n n a a a a a a a a a λλ++
1222
000
n n n n
a a a a a λλλ+++?
122000
n n
n
a a a a λλ=
11
n D λ?+1211
n n a D λλλ?=+?……
1211n
i n i i a λλλλ=??
=+??
∑?上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。

学习中多练习，多总结，由此及彼，举一反三，才能更好地掌握行列式的计算。