2019版数学人教A版必修4课件：2.3.4 平面向量共线的坐标表示

,
1+
.
)
A.a=(-2,3),b=(4,6)
B.a=(2,3),b=(3,2)
C.a=(1,-2),b=(7,14)
D.a=(-3,2),b=(6,-4)
答案:D
第三页，编辑于星期日：点 四十四分。
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2.3.4 平面向量共线的
坐标表示
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HISHI SHULI
知识拓展 1.线段中点坐标公式:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则线段 AB 中点
的坐标是 M
1 + 2 1 +2
2
,
2
.
2.若 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且1 =λ2 (λ≠-1),则 P
【做一做】 下列各组向量共线的是(
1 + 2 1 +2
1+




意与条件 1 = 1 的区别,应用 1 = 1 时,分母应不为零.
2
2
2
2
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第十四页，编辑于星期日：点 四十四分。
①直接利用上述条件,计算(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)是否为0.
②任取两点构成向量,计算出两个向量如 ,,
再通过两个向量共线
的条件进行判断.
第四页，编辑于星期日：点 四十四分。
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2.3.4 平面向量共线的
坐标表示
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∵=(4,4),又与共线,∴x=y.
又=(x-4,y),=(-2,6),与共线,
∴(x-4)×6-y×(-2)=0.
解之,得x=y=3,即点P的坐标为(3,3).
反思在求点或向量的坐标时,要充分利用两个向量共线的条件,要注意
方程思想的应用,建立方程的条件有向量共线、向量相等等.
答案:5
第八页，编辑于星期日：点 四十四分。
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2.3.4 平面向量共线的
坐标表示
题型一
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题型四
题型三
题型二
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题型二
【例 2】 求证:A(1,5),B
三点共线问题
3
3
1
∵λ=− 3 < 0,
解得 k=− .
∴ka+b 与 a-3b 反向.
反思已知两个向量共线,求参数的问题,通常先求出每一个向量的坐标,
再根据两向量共线的坐标表示,列出方程求解参数.
第七页，编辑于星期日：点 四十四分。
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题型四
【变式训练3】 已知点A(3,5),B(6,9),且
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3.两个向量共线条件的表示方法
剖析已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)当b≠0时,a=λb.这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的
关系.
(2)x1y2-x2y1=0.这是代数运算,用它解决向量共线问题的优点在于不需要
坐标表示
题型一
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题型三
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题型四
题型四
易错辨析
用错向量共线的等价条件致错
易错点
【例4】 已知a=(3,2-m)与b=(m,-m)平行,求m的值.
3
2-

-
||=3|
|
,M是直线
AB上一
点,求点M的坐标.
解:设点M的坐标为(x,y),
由于||=3||,
则=3 或=-3.
由题意,得=(x-3,y-5),=(6-x,9-y).
当=3时,(x-3,y-5)=3(6-x,9-y),
21
-3 = 3(6-),
= ,
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
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坐标表示
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1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.能用向量的坐标表示判定两个向量共线,会用向量的坐标表示证明三
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题型四
【变式训练1】 已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b,则
k=
.
解析:a-c=(3,1)-(k,7)=(3-k,-6).
∵(a-c)∥b,∴3(3-k)+6=0,∴k=5.
第三条线段的长度;(2)利用斜率;(3)利用直线方程即由其中两点求出直线
方程,再验证第三点在这条直线上;(4)利用向量共线的条件,如本题.其
中方法(4)是最优解法.
第九页，编辑于星期日：点 四十四分。
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2.3.4 平面向量共线的
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题型三
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∴ = (5,10), = (6, + 2).
∵A,B,C 三点共线,∴ ∥ ,
∴5(x+2)-60=0,∴x=10.
答案:10
(2)证明:∵A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),
∴ = (2,4), = (3,6).
又 2×6-4×3=0,
∴ 与 共线,且有一个公共点 A,
坐标表示
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题型一
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题型四
已知向量共线,求参数的值
【例1】 已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时
它们是同向还是反向?
1
2
,4 ,C(0,3)三点共线.
分析:可转化为证明 ∥ .
证明:由 A(1,5),B
1
1
2
,4 ,C(0,3),
得 = - ,-1 , =(-1,-2).
1
2
又-2×(-2)-(-1)×(-1)=0,
则与共线,且有一个公共点 A,
故A,B,C三点共线.
反思证明三点共线的常见方法有:(1)证得两条较短的线段长度之和等于
点共线.
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平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当x1y2-x2y1=0时,a∥b.
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1.对向量共线条件的理解
剖析(1)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),由x1y2-x2y1=0成立,可判断a与b共线;
反之,若a与b共线,则它们的坐标满足x1y2-x2y1=0.
(2)在讨论向量共线时,规定零向量可以与任一向量共线,故在x2y2≠0的
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题型四
【变式训练2】 (1)若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A,B,C三点共线,则
x=
.
(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),求证:A,B,C三点共线.
(1)解析:∵A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),
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题型四
解:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
当 ka+b 与 a-3b 平行时,-4(k-3)-10(2k+2)=0,
1
3
1
∴当 k=− 3 时,ka+b 与 a-3b 平行,
1
1
这时 ka+b=− +b=− (a-3b).
分析:先由向量a,b求得向量ka+b与a-3b,再根据向量平行的条件列方程
组求得k的值,最后判断两个向量的方向.
第六页，编辑于星期日：点 四十四分。
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题型二
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错解由题意,得 =
,解得 m=5.
错因分析:本题中,当m=0时,b=0,显然a∥b成立.利用坐标比例形式
判断向量共线的前提是m·(-m)≠0,错解由于疏忽了这一前提,造成了
转化不等价.
正解:∵a∥b,
∴3(-m)-(2-m)m=0,解得m=0或m=5.
反思设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a与b共线的条件为x1y2-x2y1=0.要注
条件下,a与b共线的条件可化为
1 1
=
,即两个向量共线的条件为相应
2 2
坐标成比例.
2.三点共线问题
剖析(1)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则A,B,C三点共线的条件为(x2x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.
(2)若已知三点的坐标,判断其是否共线可采用以下两种方法:
解法一由题意知 P,B,O 三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),
则 = − =(4λ-4,4λ), = − =(-2,6).
由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,
3
3
解之,得 λ=4,∴ = 4 =(3,3),
∴P(3,3)即为所求.
解法二设 P(x,y),则=(x,y).
引入参数“λ”,从而减少未知数个数,而且使问题的解决具有代数化的特点、
程序化的特征.
1
1
2
2
(3)当 x2y2≠0 时, = ,即两个向量的相应坐标成比例.通过这种形
式较容易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误.
第五页，编辑于星期日：点 四十四分。
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2.3.4 平面向量共线的
坐标.
分析:先设出点P的坐标,再利用向量共线的条件求解.
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第十一页，编辑于星期日：点 四十四分。
2.3.4 平面向量共线的
坐标表示
题型一
题型二
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题型三
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题型四
∴A,B,C 三点共线.
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第十页，编辑于星期日：点 四十四分。
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题型三
向量共线条件的应用
【例3】 如图,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求AC与OB的交点P的
4
∴
解得
-5 = 3(9-),
= 8.
当=-3时,(x-3,y-5)=-3(6-x,9-y),
-3 = -3(6-),
15
∴
解得 x= ,y=11.
2
-5 = -3(9-),
21
15
∴点 M 的坐标是 ,8 或
,11 .
4
2
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第十三页，编辑于星期日：点 四十四分。
2.3.4 平面向量共线的