2011年陕西省高三教学质量检测试题(一)数学(理科)

2011年陕西省高三教学质量检测试题（一）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

满分150分。

考试时间
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
注意事项：
1. 在第Ⅰ卷的密封线内填写地（市）、县（区）、学校、班级、姓名、学号（或考号）。

2.答第Ⅰ卷前，请你务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用2B 铅笔和钢笔准确涂写在答题卡上。

3.当你选出每小题的答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，在选其它选项，把答案写在试题卷上是不能得分的。

4.考试结束后，本卷和答题卡一并交由监考老师收回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的）
1. 设集合1|1,2A x x x ⎧
⎫=><⎨⎬⎩
⎭或，{}||1|2B x x =-<，则
A. A B ⊂
B.B A ⊂
C. R A B ⊂ð
D. R B A ⊂ð
2. 在复平面上，若复数
21a i
i
+-所对应的点在虚轴上，则实数a 的值为 A. 2 B. 1 C. 1- D. 2- 3. 已知函数()sin cos f x x x =+，下列选项中正确的是 A. ()f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上是递增的 B. ()f x 图象关于原点对称
C. ()f x 的最大值是2
D. ()f x 的最小正周期为2π 4. 6
21x
x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭展开式中，含3x 项的系数是
A. 20-
B. 20
C. 120-
D. 120 5. 已知函数2log (0)
(),3
(0)x
x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则1(())4f f 的值是 A. 9 B. 9- C.
19
D. 1
9-
6. 右图给出的是计算
1111
24620
+++⋅⋅⋅+
的值的一个程序框图，则空白框内应填入的条件是 A. 10i > B. 10i < C. 20i > D. 20i < 7. 下图是一个空间几何体的主视图（正视图），左视图、俯视图，如果直角三角形边长均为1，那么这个几何体的侧面积为
A. 2+
B. 1+
C. 2
D. 1+8. 以双曲线22
221x y a b -=的右焦点为圆心，且经过该双曲线右顶点的圆的方程为
22(2)9x y -+=，则该双曲线的方程为
A. 2213x y -=
B. 2213y x -=
C. 2219x y -=
D. 22
19y x -=
9. 如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，那么“[][]x y =”是“||1x y -<”成立的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
10. 若定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程 3()log ||0f x x -=根的个数是
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填在题中的横线上） 11. 已知向量(2,3),(1,2)a b ==-，若4ma b +与2a b -共线，则m 的值为 . 12. 观察下列式子：213122+
<， 231151223++<，2221117
12344
+++<，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则可以猜想： 22221111
12342011+
+++⋅⋅⋅+< .
13. 如图所示，墙上挂有一长为2π，宽为2的矩形木板ABCD ，
它的阴影部分是由函数cos y x =，[]0,2x π∈的图象和直线1y =围成的图形. 某人向此板投镖，假设每次都能投中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 .
14. 设变量x ，y 满足约束条件0,2x y x y x y -⎧⎪
+⎨⎪+⎩
≥≤1≥1则目标函数5z x y =+取得最大值时的点的坐标
是 .
15. 选做题（考生注意：请在A ，B ，C 三个题中，任选一个作答. 若多选，则按所做的第一题评卷计分.）
A. （不等式选做题）
函数22()1f x x x a a =--++对于任一实数x ，均有()0.f x ≥ 则实数a 满足的条件是 .
B. （几何证明选做题） 如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D
，CD =4,AB BC ==则AC 的长为 .
C. （坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，曲线4cos()3
π
ρθ=-上任意两点间的距离的最大值
为 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，已知142,16,a a == （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若3a ，5a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .
17. （本小题满分12分）已知：ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边分别为,,a b c . (1,1)m =，
(sin sin cos ),n B C B C = 且m n ∥. （Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）若1,.a b == 求ABC S ∆.
18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底边ABCD 为直角梯形，其中BA AD ⊥，
,CD AD ⊥2CD AD AB ==，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点. （Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ；
（Ⅱ）若BE ⊥平面PCD ，求平面EBD 与平面CBD 夹角的余弦值.
19. （本小题满分12分）
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90,100),[100,110),,[140,150)⋅⋅⋅后得到如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[120,130)内的频率；
（Ⅱ）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100,110)的中点值为
100110
1052
+=.）作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分； （Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，设在分数段为[120,130)内抽取的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.
20. （本小题满分13分）
已知；椭圆C 的对称中心在坐标原点，一个顶点为(0,2)A ，左焦点为(0)F -. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）是否存在过点(0,2)B -的直线l ，使直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，并满足AM AN =，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由.
21. （本小题满分14分）
设函数2()ln f x x a x =-与()g x x =-1x =于点A 、B ，且曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =在点B 处的切线平行. （Ⅰ）求函数()f x 、()g x 的表达式；
（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的最小值；
（Ⅲ）若不等式()()f x m g x ⋅≥在()0,4x ∈上恒成立，求实数m 的取值范围.
2011年陕西省高三教学质量检测试题（一）
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题
二、填空题
11. 2- 12.
40212011 13. 1
2
14. ()1,0
15. A. 13
22
a -≤≤ B. C. 4
三、解答题
16. 解：（Ⅰ）设公比为q ，则3162q =. ∴2q =. ∴112n n n a a q -==. …………….4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得358,32a a ==，则358,32b b ==， 2.d = ……………………7分 ∴1228n b n =-， ………………………………………………………………………..9分 2622.n S n n =- …………………………………………………………………………12分
17. 解：（Ⅰ）m n ∥⇒sin sin cos cos 0B C B C =
∴cos()B C += ………………………………………………………………….3分 ∵,B C 为内角，∴0.B C π<+<
∴5,6B C π+=
∴6
A π
=. ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由余弦定理，得22222cos 1.b c a bc A c +-=⇒= …………………………….10分
∴21sin 2ABC S bc A ∆=== …………………………………………………….12分
18. 解：设,AB a PA b ==，以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立
空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (a ,0,0), P (0,0,b ), C(2a ,2a ,0), D(0,2a ,0), E(a ,a ,
2
b ). （Ⅰ）(0,,),(0,2,0),(0,0,),2
b
BE a AD a AP b ===
∴11
.22
BE AD AP =
+ 又∵BE ⊄平面PAD
∴BE ∥平面PAD . ……………………………………………………………………….5分 （Ⅱ）∵BE ⊥平面PCD ，∴BE PC ⊥，即0BE PC ⋅=. 又∵(2,2,),PC a a b =-
∴2
2
20.2
b BE PC a ⋅=-= 即2b a = …………………………………………………..7分
在平面BDE 和平面BDC 中，()(0,,),,2,0,(,2,0),BE a a BD a a BC a a ==-= ∴平面BDE 的一个法向量为1(2,1,1),n =-
平面BDC 的一个法向量为2(0,0,1),n = …………………………………………….10分
∴12cos ,n n <>=
∴平面EBD 与平面CBD
19. 解：（Ⅰ）分数在[120,130)内的频率为
1(0.10.150.150.250.05)10.70.3.-++++=-= ………………………………………2分 （Ⅱ）估计平均分为
950.11050.151150.151250.31350.251450.05121.x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………5分
（Ⅲ）由题意，[110,120)分数段的人数为600.159⨯=（人）
[120,130)分数段的人数为600.318⨯=（人）. …………………………………………..7分 ∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本
∴需在分数段[110,120)内抽取2人，在[120,130)内抽取4人，则ξ的取值为0、1、2，且
2011022424242226661862
(0),(1),(2).1515155
C C C C C C P P P C C C ξξξ==========
∴ξ的分布列为
..10分
1824
012.151553
E ξ=⨯+⨯+⨯= ………………………………………………………...12分
20. 解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>,
则2,b c ==.2分
∴22212a c b =+=.
即椭圆方程为22
1.124
x y += ……………………………………………………………..4分
（Ⅱ）设存在直线:2l y kx =-（0k ≠），则由||||AM AN =知点A 在线段MN 的垂直平分线上. …………………………………………………………………………………………..6分 由2221124
y kx x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩，消去y ，得223(2)12.x kx +-=
即22(13)120k x kx +-= （*）
∵0k ≠，∴22(12)1440k k ∆=-=>，即方程（*）有两个不相等的实根……………….8分 设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 的中点00(,)P x y ， 则12212.13k x x k +=
+ ∴120
2
6.213x x k
x k +==+ 220022
62(13)2
2.1313k k y kx k k -+=-==-++
即2262,.1313k P k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭
直线AP 的斜率为2212
2
222(13)13.6613k k k k k k ----++==+………..10分 由,AP MN ⊥得222(13)
1.6k k k --+⨯=-
∴22266,k ++=
∴k = ………………………………………………………12分 ∴存在直线l 满足题意，其直线l
的方程为2y =-. ………………………….13分 21. 解：（Ⅰ）由2
()ln ,f x x a x =- 得22().x a f x x
-'=
由()g x x =-
得()g x '=
又由题意，可得(1)(1)f g ''=，即222
a
a --=，故2a =. ∴2()2ln ,f x x x =-
(),
g x x x =-
（Ⅱ）由2()()()2ln h x f x g x x x x =-=--+得
2()21h x x x '=--
…………………………….6分
由0,x > 可知1)(1)0x +. 故当(0,1)x ∈时，()0,()h x h x '<递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0,()h x h x '>递增.
∴函数()h x 的最小值为2min ()(1)112ln12h x h ==--+=. …………………….9分
（Ⅲ）当()0,4x ∈时，2()1)10,g x x =-=-< 而2()2ln 1,f x x x =-≥
故当0m ≥时，不等式()()f x m g x ≥在()0,4x ∈均成立. ………………………………..11分 当0m <时，()m g x ⋅的最大值为(1),m g m ⋅=- 要使()()f x m g x ≥ 恒成立，则必需1,m -≤ 即1m ≥-. 事实上，当1x =时，1m =-. 故可知此时10m -≤<.
综上可知，当1m ≥-时，不等式()()f x m g x ≥⋅在()0,4x ∈上均成立………………….14分。