固体物理第三章习题

1 2 16 mM qa 2 2 2 2 1 2 o 1 sin m M m M . 2 2mM 2 1 2
对于本题，a'=2a， 1=2=，m=m+，M=m所以q=0的光学波频率
第三章 习题
1
1. 原子质量为m，间距为a，恢复力常数为的一 维简单晶格，频率为格波un=Acos(t-qna). 求 (1)该波的总能量， (2)每个原子的时间平均总能量．
2
[解答] (1) 格波的总能量为各原子能量的总和，其中第n 个原子的动能为
1 un m , 2 t
2 A
m


qa sin 2 2 1 2
2
412
2
,
光学格波的色散关系为
2 O
1 2
m
1 2 412 2 qa 1+ 1 sin . 2 2 1 2
f n 2 un 1 un 1 un un 1 , f n 1 1 un 2 un 1 2 un 1 un ,
7
其运动方程分别为
d 2 un m 2 2 un 1 un 1 un un 1 . dt d 2un 1 m 1 un 2 un 1 2 un 1 un . 2 dt
可得
1 1 T 2 1 1 T 2 1 qa 2 2 2 E m A sin t qna dt A 4 sin t 2n 1 qa sin 2 dt 0 0 2 T 2 T 2 2 n n

1 qa m 2 A2 N A2 N sin 2 4 2
0
xdx . x e 1
其中
x
D , D , kBT kB
D和D分别为德拜频率和德拜温度．德拜频率
可由下式
D D L LD L D( )d d 0 0 v a vA A
求得
D
vA
a
17
声学波对热容的贡献
2 dE A T d D D( )d Lk B CVA dT dT 0 e kBT 1 v A
L L dq d 声学波在dq的模式数目 2 2 vA L L 2 声学波的模式密度 2 v A v A

q

2a
2a
16
声学波的热振动能
EA
D
0
D( )d L kBT kBT e 1 vA
2

D T
10
5．设有一长度为Ｌ的一价正负离子构成的一维晶 格，正负离子间距为a，正负离子的质量分别为m+ e b u ( r ) 和m-，近邻两离子的互作用势为 ，式中e r r 为电子电荷，b和n为参量常数，求 (1) 参数b与e，n及a的关系； (2) 恢复力系数； (3) q=0时光学波的频率0； (4) 长声学波的速度vA； (5) 假设光学支格波为一常数，且=0，对光学支 采用爱因斯坦近似，对声学波采用德拜近似，求晶 格热容。
2e m m n 1 2 o . 3 a m m
2 1
13
(4) 由《固体物理教程》(3.25)式可知，长声学 波频率
A a 1 2 q. m M 1 2
对于本题
A 2a
2 m m

试由简谐近似求（1）色散关系（2）模式密度 D()（3）晶格热容（列出积分表达式）。
23
[求解]
(1)根据已知条件，可求原子间的弹性恢复力系数
d 2U d 2U A ( 2 ) a ( 2 )0 2 dr d a
将上式代入《固体物理教程》一维简单晶格的 （3.7）式得到色散关系
1 2 1 2 1 qa E m 2 A2 sin t qna A2 4sin t 2n 1 qa sin 2 2 2 2 2 n n
设Ｔ为原子振动的周期，利用
1 T 2 1 sin t dt T 0 2
式中Ｎ为原子总数．
4
（２）每个原子的时间平均总能量则为
E 1 qa m 2 A2 A2 sin 2 N 4 2
再利用色散关系
2
2 4 2 qa 1 cos qa sin m m 2
便得到每个原子的时间平均能量
E 1 m 2 A2 N 2
5
2．一维复式格子，原子质量都为m，原子统一编 号，任一原子与两最近邻的间距不同，力常数不同， 分别为1和2，晶格常数为a，求原子的运动方程 及色散关系.
2 n
11
[解答]
(1) 若只计近邻离子的相互作用，平衡时，近邻两离 子的互作用势能取极小值，即要求
du (r ) 0. dr r a
由此得到
e2 a n 1 b . n
(2) 恢复力系数
e2 n 1 d 2u ( r ) 2 dr r a a3
12
(3)光学波频率的一般表达式[参见固体物理教 (3．21) 式]
2 iqa 2 2 1 iqa 2 2 1 1 2
由于A和B不可能同时为零，因此其系数行列式必 定为零，即

2 m 1 2 iqa
2 1e iqa
1
2 1e

2 m
2

0
9
1 2 2 16 m qa 解上式可得： 2 1 2 2 1 2 2 2m 4m 2 sin 2 2m 2 1 2

q.
长声学波的速度Βιβλιοθήκη 2e n 1 vA . q a m m
A
2
e 2 n 1 a3
14
(5) 按照爱因斯坦模型，光学波的热振动能
EO L o . a e o kBT 1
光学波对热容的贡献
CVO
dEO L E e E T kB , E T 2 dT a T e 1
12 12 2 Lk B T

D T
0
e x 1
x 2 e x dx
2
2 Lk B D
先求出高温时的Ｅa，再求CVA更容易
18
在甚低温条件下， D T ,
a m m CVA C 2e2 n 1
12 2 Lk B T ,
2
而该原子与第n+1个原子之间的势能为
1 2 un un 1 . 2
若只考虑最近邻相互作用，则格波的总能量为
1 u 1 2 E m n un un1 . t n 2 n 2
3
2
将
un A cos t qna 代入上式得：
将上式代入前式，得到模式密度
L m D( ) a
12
1 qa 1 sin 2
2

2L
2 a 0 2
22
12. 设一长度为L的一维简单晶格，原子质量为 m，间距为a，原子间的互作用势可表示成
U ( ) A cos( )

D T
0
e
x 2e x dx
x
1
2
.
a m m 2e2 n 1
12
2 LkB T

D T
0
e
x 2e x dx
x
1
2
在高温情况下，ex=1+x，上式化成
a m m CVA 2e 2 n 1 a m m 2e 2 n 1
2
其中E是爱因斯坦温度，其定义为 按照德拜模型，声学波的模式密度 布里渊区允许的波矢数 目等于原胞数目L/2a 每个波矢点占据区域：
a 2 L L 2a

o kB L D( ) . vA E
q


2a
2a
15
波矢密度
L 2
利用 = vAq
d = vAdq
8
代入运动方程，得
m 2 A 2 B A 1 A Beiqa , m 2 B 1 Aeiqa B 2 B A .
整理得
1
m A e B 0 e A m B 0.
1 2 1 1
m
qa sin 2 2 1 2
2
41 2
1
2

由上式知，存在两种独立的格波，声学格波的色 散关系为 1
1 2 1 1
2dqL dqL 2
个振动模式．
21
单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度， 根据这一定义可得模式密度为
L dq d
2dqL dqL 2
2
由色散关系得
2 4 qa 1 cos qa sin 2 m m 2 12 d qa a cos . dq m 2
设格波的解分别为
un Ae
n i q a t 2
Ae
1 i qna t 2
. .
un 1 Be
n i q a qb t 2
Be
1 i qna t 2
其中
C
D T 0
e x 1
x 2e x dx
2
是一常数．晶格的热容
CV CVO CVA .
19
9．求一维简单晶格的模式密度D()．
20
[解答] 一维简单晶格的色散关系曲线如图所示． 由色散曲线对称性可以看出，d区间对应两个 同样大小的波矢区间dq，2/a 区间对应L/a个振 动模式，单位波矢区间对应有L/2 个振动模 式．d范围则包含
qa 0 sin( ) 2
2
m
1/ 2
sin(
qa ) 2
其中
0 ( )
2 A a m
1 2
24
（2）根据《固体物理教程》（3.7）式，一维简 单晶格简正振动格波的色散关系式为
2
m sin( qa ) 2
此式表明为q偶函数。 设D()、D(q)分别表示单位频率间隔内和q空间 中单位间隔内振动方式数，考虑到振动方式总 数为原子总数N，可得

0
0
D( )d a D(q)dq N
a

25
由D(q)为常数得

因此

a

D(q)dq D(q )
a
2 N a
D(q)
再由
Na 2


得 又 式中
0
0
d D( )d a D( ) dq 2 a D(q)dq 0 0 dq
6
[解答]
此题实际是一双原子分子链．设相邻分子间两原
子的力常数为2，间距为b；分子内两原子力常数 为1；晶格常数为a. 第n-1, n, n+1, n+2个原子的位移分别为un-1, un, un+1, un+2, 第n-1与第n+1个原子属于同一种原子，第n与 第n+2个原子属于同一种原子. 第n和第n+1原子受的力分别为