刁在筠 运筹学

刁在筠 运筹学
第二章 线性规划
教学重点：线性规划可行区域的几何结构，基本可行解及可行区域的基本定理，单纯形方法，两阶段法，对偶和对偶理论，灵敏度分析。

教学难点：线性规划可行区域的几何结构，基本可行解及可行区域的基本定理，单纯形方法，两阶段法，对偶性，灵敏度分析。

教学课时：24学时
主要教学环节的组织：首先通过各种形式的例子归纳出线性数学规划的一般形式，然后在详细讲解主要内容的基础上，尽可能以图形和例题的形式给以形象的说明，使学生对知识点有更直观、具体的认识。

再通过大量习题巩固知识，也可以应用软件包解决一些实际问题。

第一节 线性规划问题
教学重点：线性规划问题的实例，线性规划的一般形式、规范形式和标准形式
教学难点：线性规划一般形式转换成标准形式。

教学课时：2学时
主要教学环节的组织：首先通过几个实例总结出线性规划问题的一般形式，再介绍如何将一般形式转换成标准形式。

1、线性规划问题举例 生产计划问题
某工厂用三种原料生产三种产品，已知的条件如下表所示，试制订总利润最大的生产计划
可控因素(所求变量)：设每天生产3种产品的数量分别为321,,x x x . 目标：使得每天的生产利润最大，就是使得利润函数：
321453x x x ++
达到最大. 受制条件：
每天原料的需求量不超过可用量：
原料1P ：15003221≤+x x
原料2P ：8004232≤+x x
原料3P ：2000523321≤++x x x 蕴含约束：产量为非负数0,,321≥x x x
模型
321453max x x x ++
15003221≤+x x
s.t. 8004232≤+x x
2000523321≤++x x x
0,,321≥x x x
运输问题
一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库2,1;=i A i 发送到零售点4,3,2,1;=j B j ，仓库 i A 能供应的产品数量为2,1;=i a i ，零售点 j B 所需的产品的数量为4,3,2,1;=j b j 。

假设供给总量和需求总量相等，且已知从仓库 i A 运一个单位产品往j B 的运价为ij c 。

问应如何组织运输才能使总运费最小？ 求解
设(1,2,1,2,3,4)ij x i j ==表示从仓库 i A 运往零售点 j B 的产品数量。

模型：
min
∑∑==214
1
i j ij ij
x c
2,1;4321==+++i a x x x x i i i i i
s.t. 4,3,2,1;21==+j b x x j j j
4,3,2,1,2,1;0==≥j i x ij
2、线性规划模型
112211221122
min ;1,2,...,;1,...,..0;1,2,...,;1,,n n
i i in n i i i in n i j j z c x c x c x a x a x a x b i p a x a x a x b i p m
s t x j q x j q n =+++++==⎧⎪++≥=+⎪⎨≥=⎪
⎪=+⎩
无限制 n j x j ,...,2,1;=为待定的决策变量，
),,,(21n c c c c =为价值向量， n j c j ,...,2,1;=为价值系数，
),...,,(21m b b b b =为右端向量，
矩阵1111n m mn a a A a a ⎛⎫
⎪
=
⎪ ⎪⎝⎭
为系数矩阵 线性规划模型的概念
可行解（或可行点）：满足所有约束条件的向量T =),,(21n x x x x 可行集（或可行域）：所有的可行解的全体}0,{≥==x b Ax x D
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体称为最
优解集合D y y c x c D x O ∈∀≤∈=T T ,{}
最优值：最优解的目标函数值O x x c v ∈=T , 线性规划解的情况：
无解或不可行 }0,{≥==x b Ax x D 无界 D ≠∅但目标函数在可行域上无界 有最优解 D ≠∅且目标函数在D 上有有限的 现象规划模型的规范形式和标准形式：
规范形式：
min ..0c x Ax b s t x T ≥⎧⎨
≥⎩ 标准形式：
min ..0
c x Ax b s t x T =⎧⎨
≥⎩ 形式转换
一般形式转换成规范式： 等式化成不等式：
i n in i i b x a x a x a =++ 2211
i n in i i b x a x a x a ≤++ 2211 i n in i i b x a x a x a ≥++ 2211
自由变量化成非负变量：
令自由变量-+-=j j j x x x ，其中-
+j j x x ,为非负变量
i n in i i b x a x a x a ≤++ 2211 0,2211≥=+++i i i n in i i s b s x a x a x a
或
i n in i i b x a x a x a ≥++ 2211
0,2211≥=-++i i i n in i i s b s x a x a x a
目标函数的最大问题向最小问题的转换
x c x c T T -→min max
例：将下述问题转换成标准形式： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≤--≥-+-=052
222..2
1max 1212
121x x x x x x x t s x x z 解：
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨
⎧=≥=+-+=+---=-----=7
,6,5,4,3,1;05)(2)(22)(2..)(min 743164315431431i x x x x x x x x x x x x x t s x x x z i
第二节 可行域与基本可行解
教学重点：线性规划问题的图解法，可行区域的几何结构和线性规划基本定理。

教学难点：线性规划的基本定理。

教学课时：4学时
主要教学环节的组织：首先通过图解法求出两个变量时可行区域的结构和最有点的位置，再进行一般情况下可行区域的结构进行讨论，得到线性规划的基本定理。

1、图解法
对于只有两个变量的线性规划问题可以用图解法求解：
变量用直角坐标系中的点表示，约束条件用坐标系中的半空间或直线的交表示，可行区域是一个凸多面体，目标函数用一组等值线表示，沿着增加或减少的方向移动，与可行域最后的交点就是最优解。

例1、
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≤+≤--≥-+-
=052222..max 12121212
1x x x x x x x t s x x z
2x
例2、若将例2.2.1中的目标函数改为求1242z x x =-的最小值
当目标函数改变后，等值线的方向会发生改变，如果等值线与某个约束对应的函数直线平行，则该函数值线上的所有可行解都是最优解
21x 1、可行域是空集；
2、可行域无界无最优解；
3、最优解存在且唯一，则一定在顶点上达到；
4、最优解存在且不唯一，一定存在顶点是最优解。

从图解法的几何直观易得：
线性规划的可行域是若干个半平面的交集，它形成了一个有界或无界的凸多边形。

对于给定的线性规划问题，如果它有最优解，最优解总可以在可行域的某个顶点上达到。

2、可行区域的结构
定义2.2.1：设n
R S ∈是n 维欧氏空间的点集，若对任意 ,x S y S ∈∈的和任意[0,1]λ∈都有(1)x y S λλ+-∈就称S 是一个凸集。

定理2.2.1：线性规划的可行域}0,{≥==x b Ax x D 是凸集
证明：略。

定理2.2.2：任意多个凸集的交还是凸集 定义2.2.2：超平面 }{b x a R x H n =∈=T
半空间 }{b x a R x H n ≥∈=T +；}{b x a R x H n ≤∈=T - 定义2.2.3：多面凸集
},...,2,1;;,...,2,1;{q p p p i b x a p i b x a R x S i i i i n +++=≥==∈=T T
定义2.2.4：设 S 为凸集S x ∈，如果对任意S z y ∈,和10<<λ， 都有z y x )1(λλ-+≠,则称x 为S 的顶点。

基本可行解
令),(N B A =，其中B 为A 的一个满秩子方阵，
x =(B x ,N x )。

5
21=+x
b Ax = 分块 b Nx Bx
N B
=+
左乘1-B b B Nx B x N B 11--=+
即 N B Nx B b B x 11---=
N x =0 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-01b B x
定义2.2.5：设B 是秩为m 的约束矩阵A 的一个 m 阶满秩子方阵，则称B 为一个基（或基阵）；B 中 m 个线性无关的列向量称为基向量，变量 x 中与之对应的 m 个分量称为基变量，其余的变量为非基变量，令所有的非基变量取值
为0，得到的解⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-01b B x 称为相应于B 的基本解。

当01≥-b B 则称基本解为基本可行解，这时对应的基阵B 为可行基。

如果01>-b B 则称该基可行解为非退化的，如果一个线性规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非退化的。

定理 2.2.3 可行解 x 是基本可行解的充要条件是它的正分量所对应的矩阵A 中列向量线性无关。

证明：不妨设1(,
,,
,0,0),0,1,
,T k j x x x x j k =>=.
若x 是基本可行解，则取正值的变量对应的列向量1,,K A A ，为基向量，
故线性无关.
反之，若1,
,K A A 线性无关，则有1,k
j j j x A b k m == ≤∑.
若k m =，则有1(,,)K B A A =为基.x 为基可行解；
若k m <，则可从其余n k -个列向量中再挑选m k -列向量与1,
,K A A 组成
基，易知，x 为基可行解.
定理2.2.4 x 是基本可行解的充要条件是 x 是可行域 D 的顶点。

定理2.2.5 一个标准的LP 问题如果有可行解，则至少有一个基本可行解
证明：设.0x 是任意一个可行解，则有
00,0Ax b x = ≥.
不妨设00,1
,,j x j k >=；后n k -个向量为0.若 1,,k A A 线性无关，则由
定理2.2.3知0
x 是基本可行解；否则存在不全为零的j δ，使得1
0k
i i j A δ==∑，补充
0,1,
,l l k n δ= =+得δ，满足0A δ=.
定理2.2.6 一个标准的LP 问题如果有有限的最优值，则一定存在一个基本可行解是最优解。

证明：设0x 是一个最优解，如果0x 是基本可行解，则问题得证；否则按定理 2.2.5的证明可得到0x εδ+和0x εδ-，由00T T T c x c c x εδ+≥和00T T T c x c c x εδ-≥知0T c δ=，
故有00()T T c x c x εδ+=.按照定理2.2.5的证明方法迭代，最终可得到基本可行解x ，满足0T T c x c x =.
第三节 单纯型方法
教学重点：单纯形算法和单纯形表。

教学难点：单纯形算法，单纯形表。

教学课时：4学时
主要教学环节的组织：首先给出单纯形算法，然后给出单纯形算法的一种实现手段，单纯形表。

1、单纯型方法
考虑标准形式的线性规划问题
min ..0
c x Ax b s t x T =⎧⎨
≥⎩ 其中
n m m n R A R b R c x ⨯∈∈∈,,,，并且假定n
m <且可行域
φ≠≥=∈=}0,{x b Ax R x D n ，系数矩阵A 是行满秩的，即m A r =)(。

给定一个非退化的基本可行解x ，对应的可行基为B ，则等式约束AX=b 可以变为：
011≥=+--b B Nx B x N B --------典式
或 N B Nx B b B x 11---=
此时令0N x =，则1
B x B b -=. 所以100B N x B b x x -⎛⎫
⎛⎫==≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
目标函数N N B B
x c x c x c T T T +==N N N B x c Nx B b B c T
--T +-)(11 =N N B B
x c N B c b B c )(11T -T -T -- 令T -T -=N B N c N B c 1ξ，0=B ξ，则x b B c x c B
T -T
T -=ξ1 规划等价于 ⎩⎨
⎧≥=+---T -T
..min 111x b B Nx B x t s x
b B
c N B B ξ
定理2.3.1（最优性准则）如果0≤ξ，则基可行解x 为原问题的最优解。

证：设x 为原问题的任一可行解。

由于0x ≥，而0≤ξ，所以0T x ξ≤.从而
00T T T c x z x z c x ζ=-≥=.
定理2.3.2 如果向量ξ的第k 个分量0>k ξ，而向量01≤-k A B ，则原问题无界。

证明：令0k k A d e ⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭，其中k e 是第k 个分量为1，其余分量为0的n 维向
量.因为0k A ≤，所以有0d ≥，而
(,)00k k A Ad B N Ae ⎛⎫
-=+= ⎪⎝⎭
对于充分大的正数θ，观察向量x d θ+，此时有
()0
A x d b
x d θθ+=+≥
它所对应的目标函数值为
()()T T T T T
T B k k k c x d c x c d c x c A c c x θθθθζ+=+=--=-
由于0k ζ>，而0θ>可任意的大，故原问题目标函数无下
定理2.3.3 对于非退化的基本可行解x ，若向量ξ的第k 个分量0>k ξ，而向量
.1k A B -至少有一个正分量，则可以找到一个新的基本可行解x ˆ使得x c x c T T <ˆ。

证明：只需将ˆx
具体的找出来. 令
0k k A d e ⎛⎫-=+ ⎪ ⎝⎭
满足0Ad = 令
ˆ0k k b A x x d e θθθ⎛⎫
-=+=+ ⎪ ⎝⎭
下面证明，当适当选取0θ>后，ˆx
即为所求. 显然，ˆAx
Ax Ad b θ=+=，为使ˆ0x ≥，则要求0k b A θ-≥，所以令 min 0,1,,i
r ik ik rk
b b a i m a a θ⎧⎫=|> ==⎨
⎬⎩⎭ 定理2.3.3的一些说明:
1、检验数向量：T 1
T T B
c B A c ζ-=-,它的每个分量称为检验数。

2、第k 列称为进入基列，第k 个变量称为进基变量；第i 列称为退出基列，第
i 个变量称为离基变量。

定理2.3.4 对于任何非退化的LP 问题，从任何基本可行解开始，经过有限多次迭代，或得到一个基本可行的最优解，或作出该LP 问题无界的判断。

单纯型方法的算法步骤： step1 找一个初始可行基B ； step2 求出典式和检验数ξ； step3 求},...,2,1max{n j j k ==ξξ； step4 如果0≤k ξ，停止，
已找到最优解0B N x b x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭及最优值T
B
z c b = ； step5 如果0k A ≤，停止，原问题无界；
step6 求min{/0,1,2,...,}/i ik ik r rk b a a i m b a θ=>== step7 以k A 替代r B A 得到一个新的基，转st2 2、单纯形表
一般假设当前的基),...,,(21m A A A B =对应的单纯形表为
如果k x 为入基变量，r x 为出基变量，则经过变换单纯形表为
rk ik rj ij ij a a a a rk rj rj a a rk
r
r
a b b
/ˆ=，rk
i
ik
i
i
a b a b b /ˆ-=。

目标函数N N B B
x c N B c b B c z )(11T
-T -T --=等价于 b B c x c N B c z B N N B 11)(-T
T -T =-+
由于0=B ξ，T -T -=N B N c N B c 1ξ，所以b B c x z B 1-T =+ξ。

把Z 看成变量在单纯
形表中加上一列，同时加上一行描述方程b B c x z B 1
-T =+ξ，则可以得到新的单
当进行转换时只需要把k ξ转换成0对应其它位置等价变换即可。

其中rk j rj j j a a /ˆξξξ-=；rk k r B B a b b B c b B c /ˆˆ11ξ-=-T -T 。

例2.3.1 求解问题：
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧=≥=+-=+-=+-+-=5,...,2,1;02
1322..2min 5324323213
2j x x x x x x x x x x t s x x z j 解：以1x 、4x 和5x 为基变量就可以得到初始基可行解T )2,1,0,0,2(，
由于012>=ξ，所以该基可行解不是最优解，同时系数矩阵该列有大于0的元
素，所以取2x 为入基变量。

计算1},min{12
11==θ，所以取第二个约束对应的基
变量4x 为出基变量，就可以得到一个新的基可行解，在上表中把2x 对应的列变成单位向量，系数矩阵第2行对应的元素为1，则可以得到该基可行解的单纯形表
由于013>=ξ，所以该基可行解不是最优解，同时系数矩阵该列有大于0的元素，所以取3x 为入基变量。

计算21=θ，所以取第3个约束对应的基变量5x 为出基变量，就可以得到一个新的基可行解，在上表中把3x 对应的列变成单位向量，系数矩阵第3行对应的元素为1，则可以得到该基可行解的单纯形表：
由于检验数都小于等于0，所以该基可行解就是最优解， 对应的最优解为)0,0,2/1,2/5,2/13(，最优值为-3/2。

注：
1. 该算法在实际应用中非常有效，被广泛采用，
但在理论上不是多项式时间算法。

2. 现在还有待解决的问题是如何给出初始基可行
解以及出现退化的时候如何处理。

第四节 初始解
教学重点：两阶段算法的思想。

教学难点：两阶段算法的思想。

教学课时：4学时
主要教学环节的组织：给出两阶段算法的思想，并用单纯形表进行求解。

两 阶 段 法 基本思想
第一阶段：通过求解辅助问题的最优基可行 解得到原问题的初始基可行解。

第二阶段：求原问题的最优解
设原问题为
⎩⎨
⎧≥=T 0
..min x b Ax t s x
c (2.4.1) 不妨假设0≥b ，如果某一个元素小于0，该方程两边乘于-1后则可以使右端数变成正数。

考虑如下辅助问题：
⎩⎨
⎧≥≥=+=
∑++=0
,0..min 1
a a m
n n i i
x x b x Ax t s x
g (2.4.2)
其中T +++=),...,,(21m n n n a x x x x 。

首先用单纯形法解这个辅助问题。

1. 显然如果原问题(
2.4.1)有可行解，则辅助规划( 2.4.2)的最优值为0，反之亦然。

2．由于0≥b ，所以以T +++=),...,,(21m n n n a x x x x 为基变量，就可以得到规划（2.4.2）的初始基可行解T T ),0(b 。

3．规划（2.4.2）有可行解T
T ),0(b ，同时0≥a x ，所以01
≥∑++=m
n n i i
x。

即辅助
问题的目标函数有下界，所以该问题一定有最优解。

4．因此我们可以首先求规划( 2.4.2)的最优基可行解)~,~(a
x x ，如果最优值为0，则0~=a
x ，所以x ~是问题( 2.4.1)的可行解。

由于)~,~(a
x x
是规划（2.4.2）的基可行解，所以其非零分量对应系数矩阵的列向量线性无关。

所以x
~的非零分量对应的系数矩阵的列向量也线性无关，所以x ~是问题( 2.4.1)的基可行解。

在规划（2.4.2），我们称a x 为人工变量。

1．
01
=∑++=m
n n i i
x
且a x 为非基变量，则此时x
~是问题( 2.4.1)的基可行解，
且基变量不变。

在最优基可行解的单纯形表里删除 a x 对应的列， 同时计算出检验数就可以得到原问题的单纯形表。

2．
01
=∑++=m
n n i i
x 且a x 中有部分变量为基变量，此时x
~是问题( 2.4.1)的基 可行解，不同的是基变量会有些改变。

3．
01
>∑++=m
n n i i
x
，则原问题没有可行解。

例2.4.1求解
如果以4x 、5x 为基变量，则可以得到该问题的基解T --)1,2,0,0,0(，不是可行解，而其第一个基可行解不能直接给出。

首先引入人工变量，考虑问题
以6x 和7x 为基变量可得其第一个基可行解
T )1,2,0,0,0,0,0(，
由于083>=ξ，所以该基可行解不是最优解，同时系数矩阵该列有大于0的元
素，所以取3x 为入基变量。

计算622162},min{==θ，所以取第1个约束对应的基
变量6x 为出基变量，就可以得到一个新的基可行解，在上表中把3x 对应的列变
⎪⎩⎪
⎨⎧==-++=-+-+=5,4,3,2,1;1226..215min 532143213
1j x x x x x x x x x t s x x z j
⎪⎩⎪
⎨⎧==+-++=+-+-+=7
,6,5,4,3,2,1;1226..min 753216432176j x x x x x x x x x x x t s x x z j
成单位向量，系数矩阵第1行对应的元素为1，则可以得到该基可行解的单纯形表
由于03/42>=ξ，所以该基可行解不是最优解，同时系数矩阵该列有大于0的
元素，所以取x 2为入基变量。

计算34
31/=θ，
所以取第2个约束对应的基变量7x 为出基变量，就可以得到一个新的基可行解，在上表中把x 2对应的列变成单位
4
的最优解，最优值为0，且人工变量都是非基变量，所以得到 原问题的基可行解，对应的基变量为x 2和x 3， 1于0的元素，所以取x 1为入基变量。

计算214121414183/}/,/min{==θ，所以取第2个约束对应的基变量x 2为出基变量，就可以得到一个新的基可行解，在上表中
把x 1对应的列变成单位向量，系数矩阵第2行对应的元素为1，则可以得到该基
可行解的单纯形表
由于检验数都小于等于0，所以对应的基可行解就是原问题的最优解，最优值为31/4，对应的最优解为 )0,0,4/1,0,2/1(。

第五节 对偶和对偶单纯形方法
教学重点：对偶性，对偶理论，对偶单纯形方法。

教学难点：对偶性，互补松紧条件，对偶单纯形方法。

教学课时：6学时
主要教学环节的组织：首先给出对偶性，然后通过对偶理论得到互补松紧条件，最后介绍对偶单纯形方法。

定义2.5.1
给定一个一般形式的LP 问题，称它为原始LP 问题，它的对偶问题定义如下：
原始（P ） 对偶（D ）
min c x
a x=
b a x b s.t.0T T i i
T i i j j x x ⎧⎪≥⎪ ⎨≥⎪⎪⎩任意 1,,1,,1,,1,,i p i p m j q
j q n ==+==+ max 0..T i i T j j
T j
j b w
w w s t A w c A w c
⎧⎪
≥⎪⎨≤⎪⎪=⎩任意 标准形式线性规划的对偶规划
考虑线性规划的标准形式
min ..0
c x
Ax b s t x T =⎧⎨
≥⎩ (Ⅰ)
其中n
m m n R A R b R c x ⨯∈∈∈,,,。

根据单纯形理论，若x
~是最优基可行解，其对应的基阵为B 则其检验数为01=-=T -T B B B c B B c ξ，01≤-=T -T N B N c N B c ξ，同时b B x B 1~-=，0~=N x ，最优值为b B c x
c B 1~-T T =。

如果令1~-T =B c B
ω，则有0T A c ω-≤，T b c x ωT =。

同时ω
~是下列规划的可行解 max ..T T
b s t A w c
ω
≤ (Ⅱ)
对于规划(Ⅰ)的任意可行解x 和规划(Ⅱ)的任意可行解ω，由于0≥x 所以有
由此可知ω~是规划(Ⅱ)的最优解，反之亦然。

两个规划的最有解之间存在着
密切的关系，通过一个规划可以得到另一个规划的最优解。

同时从形式上两者之间也有本质的相似，给定),,(c b A 后两个规划相伴而存在，因而称两个规划互为对偶规划。

规范形式的线性规划
T T b Ax c x
ωωT =≤
（P ）
⎩⎨
⎧≥≥T 0
..min x b Ax t s x c
⎩⎨
⎧≥=-T 0
,..min y x b Iy Ax t s x c 其对偶规划为
max ..0
T T b A c s t ω
ωω⎧≤⎨
≥⎩（D ）
{max ..(,)(,0)
T
T b s t A I c ω
ωT
-≤对于一般形式的线性规划
112211221122min ;1,2,...,..;1,...,0;1,2,...,n n
i i in n i i i in n i j
z c x c x c x a x a x a x b i p
s t a x a x a x b i p m x j q =++
+⎧++==⎪
++≥=+⎨⎪≥=⎩ 通过把其转化为标准形式同样可以得到其对偶规划为：
max ;1,...,..;1,2,...,0;1,...,T T j j T j j i
b A
c j q n s t A c j q i p m ω
ωωω⎧≤=+⎪⎪==⎨⎪
==+⎪⎩ 例 ：写出下列规划的对偶规划：
13
12341235min 52162
..21;1,2,,5j
x x x x x x s t x x x x x j +⎧-+-=⎪
++-=⎨⎪=⎩ ⎪⎩⎪
⎨⎧==-++=-+-+5,...,2,1;122
6..215min 532143213
1j x x x x x x x x x t s x x j
其对偶规划为
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤+-≤++00212605..2max 212121212
1ωωωωωωωωωωt s ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+-≤++00212605
..2max 212121212
1ωωωωωωωωωωt s ⎪⎩⎪⎨⎧=≥++≥+-+3
,2,1;1226..215min 32132131j x x x x x x x t s x x j 2、对偶理论
定理2.5.1如果一个线性规划有最优解，则其对偶规划也有最优解，且它们的最优值相等。

证明：对于标准形式的线性规划(Ⅰ)的任意可行解x 和它的对偶规划(Ⅱ)的任意可行解ω，由于0≥x 所以有
若x ~是(Ⅰ)的最优基可行解，其对应的基阵为B . 令1~-T =B c B ω，则ω~是(Ⅱ)的可行解. 根据上面的不等式可知：(Ⅱ)有最优解。

同时又有T
b c x ω
T =，所
以它们的最优值相等。

推论2.5.1 若x 和 ω分别是原规划和对偶规划的可行解，则 x 和ω 分别是原
规划和对偶规划的最优解的充要条件是T c x b ωT =
定理2.5.2线性规划的对偶规划的对偶规划是原始规划。

证明：
max ..T T b s t A c
ωωT
≤ ⎩⎨⎧≥=+-+-T
T T T T T T
T T T 0
,..min ϖωϖωϖωc y A A t s b b
)
0,,(),,(..max b b I A A x t s c
x -≤-T
T T T
⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤--≤T T T T
T
T
T 0..max x b A x b A x t s x
c ⎪⎩
⎪⎨⎧≥--≥≥--T T T T
T
T
T 0
..max x b A x b
A x t s x
c ⎩⎨
⎧≥=T 0..min x b Ax t s x
c 定理2.5.3 给定一个原规划和对偶规划，则下面三种情况必有其一(具体见教科
书上表2.5.1)： 1.都有最优解 2.都无可行解
3.一个有可行解另一个无界
定理2.5.4(互补松紧性)
若x 和 ω分别是原规划和对偶规划的可行解，则 x 和ω分别是原规划和对偶规划的最优解的充要条件是：
()T T b Ax c x ωωT
=≤
()0;1,2,...,()0;1,2,...,T i i i i T
j j j j u a x b i m v c A x j n
ωω=-===-==
例题 ：考虑在例2.5.1给出的原始问题和其对偶问题。

由于原始问题是标准形式，故互补松紧条件（2.5.13）自动满足。

在例2.4.1中，已求出这个原始LP
问题的最优解为11(,0,,0,0)24
T
x =，其中130,0x x >>所以（2.5.14）变为
113300
T T
c w A c w A -=-=
即对偶问题最优解必使第一个和第三个约束取等式，有
121256221w w w w +=+=
由此可解出12119,44w w =
=，其对应的目标函数值为31
4
，由定理2.5.4知，此为对偶问题的最优解。

对偶问题与原问题，一个线性规划的规模较大时或许改为求解它的对偶问题反而比较适当。

对偶单纯形方法的步骤 第1步 列出初始单纯形表（它含有原问题的一个基本解和对偶问题的一个可行解）； 第2步 求{}min ;r i b b i m =|=1,
,
第3步 若0r b ≥，停止。

已找到原始问题最优解0B N x b x x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭及最优值T
B z c b =；
第4步 若0,1,
,rj a j n ≥=，则原始问题无可行解，停止；
第5步 求min 0,1,
,j k rj rj rk
a j n a a ξ
ξ
⎧⎫⎪⎪|<==⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 第6步 以rk a 为转轴元做一次旋转变换，转到第2步
例：运用对偶单纯形法解下列规划
123
123123123
min 31
..42,,0x x x x x x s t x x x x x x ++++≥⎧⎪
-++≥⎨⎪≥⎩
首先化为标准形式
123
1234123512345
min 31
..42,,,,0x x x x x x x s t x x x x x x x x x ++++-=⎧⎪
-++-=⎨⎪≥⎩ 然后进行迭代。

解答需要另打。

第六节 灵敏度分析
教学重点：改变价值向量时的灵敏度分析，改变右端向量时的灵敏度分析。

教学难点：改变价值向量时的灵敏度分析。

教学课时：2学时
主要教学环节的组织：首先讨论改变价值向量时的灵敏度分析，然后讨论改变右端向量时的灵敏度分析，最后给出具体实例。

一般情况分析
B x N x RHS
Z
B
x
当价值向量改变时在单纯形表里后影响的只是检验数和目标函数值，其它没有改
变，因而只需计算新的检验数和目标函数值1
N B N c B N c ξT -T '''=-和 1B c x c B b T T -''=
如果检验数非正，则原最优解依然是最优解；否则是基可行解。

以此为初始基可行解进行迭代就可以求出新问题的解。

1、改变非基变量
改变非基变量k x 的价值向量k c →k c '：
k B k c N B c '-='-T 1ξ→k k k k c c '-+='ξξ
为了使原最优解还是最优解则要求
0≤'-+='k k k k c c ξξ，即k k k c c '≤+ξ
2、改变基变量k x 的价值向量k c →k c '，基变量k x 对应的约束为第l 个
T --T '--'+=N k k B c N B c c N B c 11)0,,0,,0,,0( )(1))((l k k T N N B c c --'+=ξ l k k B B B b c c b c b c b B c )(1-'+='='T
T -T 例2.6.1回忆问题
13
12341235min 52162
..21;1,2,3,4,5j
z x x x x x x s t x x x x x j =+⎧-+-=⎪
++-=⎨⎪=⎩
T -T '-'='N
B N c N B c 1ξ
改变2c 的值对原问题的最优解有何影响？ 解：
由于2x 为非基变量，所以系数的改变只影响2x 的检验数，新的检验数为2/3102/12222-=-+-='-+='c c ξξ。

由于新检验数仍然为负数，所以原最优解依然是新问题的最优解。

为了使原最优解依然是新问题的最优解，2x 的系数最小可以变为2/122-=+c ξ。

2、改变右端向量
B x N x RHS
Z
B x
b B b '='-1，b
c z B '='T
如果0≥'b 则原最优解还是最优解，否则利用对
偶单纯形算法求解新问题。

当只改变一个分量s
s b b '→时： 1
1
1
11)()(------'+=∆+=-'+='='s
s s
B b b b b B b B b b b B b B b
其中1-s B 为1-B 的第s 列。

在例2.6.1中右端向量T =)1,2(b 变成T -=)1
,2(b 。

问题的关键是求出1-B 。

原问题的最优解为
1x 和3x 为基变量，所以基阵为1111B -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
对于矩阵),(I B -等价变化I B →时，则1--→-B I ，
所以 11/41/41/23/2B --⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
所以T T T -=--=')2/5,4/3()2/1,4/1(41/4,1/2)(b ，目标函数值变成-13/4。

由于
01<'b 所以原最优解不是新问题的最优解。

第三章 整数线性规划问题
教学重点：割平面法和分支定界法。

教学难点：求解的困难性，割平面法和分支定界法的思想。

教学课时：6学时
主要教学环节的组织：首先通过各种形式的例子归纳出整数线性数学规划的一般形式，分析其求解的困难性；然后通过理论和实际例子的结合阐述割平面法和分支定界法的基本思想，给出计算步骤。

第一节 概述
教学重点：给出整数线性规划的一般形式，分析其求解的困难性。

教学难点：求解的困难性。

教学课时：2学时
主要教学环节的组织：通过各种形式的例子归纳出整数线性数学规划的一般形式，分析其求解的困难性。

整数线性规划（ILP ）具有下述形式
⎩⎨
⎧≥≥T 为整数x x b
Ax t s x
c ,0..min 0-1整数线性规划模型
⎩⎨
⎧==≥T n i x b
Ax t s x
c i ,...,2,1;10..min 或 混合整数线性规划
⎪⎩⎪
⎨⎧==≥≥T p i x i x b
Ax t s x
c i
,...,2,1,n ,...,2,1,0..min 为整数 例3.1.1 投资决策问题
某财团有B 万元的资金，有(2)n n ≥个可以考虑的投资项目，假定每个项目最多投资一次。

其中第j 个项目需投资金额为j b 万元，将会获得的利润为j c 万元，问应如何选择项目才能使得获得的总利润最大？ 变量—每个项目是否投资10或=j x n j ...,2,1= 约束—总金额不超过限制B x b n
j j j ≤∑=1
目标—总收益最大Max
∑=n
j j
j x
c 1
模型：
1
1
01,1,2,max . ....n
n
j j j j j
j
j
c x s b x B x or j n t ==≤⎪==⎧⎪⎨⎩∑∑ 此外，运筹学还有一个著名的问题：旅行售货员问题（TSP ）略
解整数规划问题的困难性
ILP 问题的最优解
1、最优解不一定在顶点上达到
2、最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整数解
3、整数可行解远多于松弛问题的顶点，枚举法不可取
4、解ILP问题要远难于解松弛的LP问题
5、如果松弛的LP问题无解，显然原ILP问题无解。

反之，不一定成立。

6、如果松弛的LP问题无界呢？可以证明原ILP问题也无界
第二节Gomory 割平面法
教学重点：给出整数线性规划的一般形式，分析其求解的困难性。

教学难点：求解的困难性。

教学课时：2学时
主要教学环节的组织：通过各种形式的例子归纳出整数线性数学规划的一般形式，分析其求解的困难性。

整数规划 松弛的线性规划问题
⎩
⎨
⎧≥==T 为整数x x b Ax t s x
c ,0..z min (p) ⎩⎨⎧≥==T 0..z min x b Ax t s x
c (p0)
两个问题具有如下明显关系： (1) ( )的可行域 ( )的可行域;
(2) 若( )无可行解，则( )无可行解；
(3) ( )的最优值是( )的最优值得一个下界；
(4) 若( )的最优解是整数向量，则它也是( )的最优解. 由松弛问题的可行域向整数规划的可行域逼近：首先求解松弛问题，若松弛问题的最优解是整数解，则其为原问题的最优解，否则，对松弛问题增加一个线性约束条件
方法—利用超平面切除一部分可行域 要求
整数解保留：非整数解恰好在被切除部分，原问题任何一个可行点都没切除 松弛问题最优值增加 割平面生成条件：
条件--保留整数解删除最优解!!
下面是求c 松弛问题的最后一张单纯形表：
r N
j j rj r b x a x ∑∈=+
r N
j j rj r b x a x ∑∈=+ ，[]rj rj rj f a a += ，[]rj rj a a ≥，[]r r r f b b +=，[]
r r b b > ，
[]r N
j j rj r b x a x ∑∈≤+，[][]
r N
j j rj r b x a x ∑∈≤+，[][]
r N
j j rj r b x a x ∑∈>+
r
N
j j rj r b x a x ∑∈=+
[][]
r
N
j j rj r b x a x ∑∈≤+
[][]
r r N
j j
rj
rj
b b x
a a -≥-∑∈)(
[]
[]
r r r rj rj rj b b f a a f -=-=, ∑∈=+-N
j r j rj f s x f
⎩⎨⎧≥=T 为整数x x b Ax t s x
c ,0..min []
[]
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+=∑∈为整数x x b x a x b Ax t s x
c N j r rj rj r ,0..min T []
[]
⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎨⎧≥=++=∑∈为整数x x b s x a x b
Ax t s x
c N j r
r rj rj r ,0..min T
例3.2.1 求解ILP 问题 ⎪⎩⎪
⎨⎧≥≤+-≤+整数,0,023623..max 2
121212
x x x x x x t s x
解：首先化为标准形：
⎪⎩⎪
⎨⎧≥=++-=++-0,,,0236
23.. min 4
3214213212
x x x x x x x x x x t s x 1x 3x 2x 4
x 0
1000
31206
3
-100
2
1x 3x 2x 4
x 0
05.0-0
61
1
-6
5
.1-5
.000
105
.1
第三节 分支定界法
教学重点：给出整数线性规划的一般形式，分析其求解的困难性。

教学难点：求解的困难性。

教学课时：2学时
主要教学环节的组织：通过各种形式的例子归纳出整数线性数学规划的一般形式，分析其求解的困难性。

第四章 非线性规划
教学重点：凸规划及其性质，无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法，约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。

教学难点：约束最优化问题的最优性条件。

教学课时：24学时
主要教学环节的组织：在详细讲解各种算法的基础上，结合例题，给学生以具体的认识，再通过大量习题加以巩固，也可以应用软件包解决一些问题。

第一节 基本概念
教学重点：非线性规划问题的引入，非线性方法概述。

教学难点：无。

教学课时：2学时
主要教学环节的组织：通过具体问题引入非线性规划模型，在具体讲述非线性规划方法的求解难题。

1、非线性规划问题举例 例1 曲线最优拟合问题 已知某物体的温度ϕ
与时间t 之间有如下形式的经验函数关系：
3
12c t c c t e φ=++ （*）
其中1c ，2c ，3c 是待定参数。

现通过测试获得n 组ϕ与t 之间的实验数据),(i i t ϕ，
i=1，2，…,n 。

试确定参数1c ，2c ，3c ，使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点
),(i i t ϕ拟合。

∑=++-n
1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ϕ
例 2 构件容积问题
通过分析我们可以得到如下的规划模型：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≥≥=++++=0
,0 2 ..)3/1( max 212
121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ 基本概念
设n T n R x x x ∈=),...,(1，R R q j x h p i x g x f n j i :,...,1),(;,...,1),();(==, 如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP)：
⎪⎩
⎪
⎨⎧===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)
( min 约束集或可行域
X x ∈∀ MP 的可行解或可行点
MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数，称(MP)为非线性规划
令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1=
T p x h x h x h ))(),...,(()(1=，
其中，q n p n
R R h R R
g :,:，那么(MP )可简记为
设计一个右图所示的由圆锥和圆柱面 围成的构件，要求构件的表面积为S ， 圆锥部分的高h 和圆柱部分的高x 2之 比为a 。

确定构件尺寸，使其容积最 大。

⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f X
x ∈ 当p=0,q=0时，称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。

否则，称为约束非线性规划或者约束最优化问题。

定义4.1.1 对于非线性规划(MP )，若X x ∈*，并且有
X ),()(*∈∀≤x x f x f
则称*x 是(MP )的整体最优解或整体极小点，称)(*x f 是 (MP )的整体最优值或整体极小值。

如果有
** ),()(x x X,x x f x f ≠∈∀<
则称*x 是(MP )的严格整体最优解或严格整体极小点，称
)(*x f 是(MP )的严格整体最优值或严格整体极小值。

定义 4.1.2 对于非线性规划(MP )，若X x ∈*，并且存在*x 的一个 领域}
{),0( )(**R x x R x x N n ∈><-∈=δδδδ，使
X x N x x f x f )( ),()(**δ∈∀≤，
则称*x 是(MP )的局部最优解或局部极小点，称)(*x f 是(MP )的局部 最优值或局部极小点。

如果有
*** ,)( ),()(x x X x N x x f x f ≠∈∀<δ，
则称*x 是(MP )的严格局部最优解或严格局部极小点，称)(*x f 是(MP ) 的严格局部最优值或严格局部极小点。

定义 4.1.3 设0,,,:≠∈∈p R p R x R R f n n n ，若存在0>δ ，使
),0( ),()(δ∈∀<+t x f tp x f
则称向量p 是函数f(x)在点x 处的下降方向。

定义 4.1.4 设0,,,≠∈∈⊂p R p X x R X n n ，若存在0>t ，使
X tp x ∈+
则称向量p 是函数f(x)在点x 处关于X 的可行方向。