湖北省部分重点中学高三期中联考数学理

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湖北省部分重点中学期中联考
数学理科试题
命题学校:新洲一中命题人:陶金桥
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集为U,若命题P:2010A B
∈⋂,则命题P
⌝是( )
.2010.20102010
.2010()().2010()()
U U U U
A A
B B A B
C C A C B
D C A C B
∈⋃∉∉
∈⋂∈⋃

2. 对数列{}n a,{}
1
n n n
a a a
+
<是为递减数列的( )
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分又不必要条件
3. 已知二次函数f(x)图象的对称轴是x=x0,它在区间[a,b]值域为[f(b),f(a)],则( )
(A)
x b
≥(B)
x a
≤(C)
(,)
x a b
∈(D)
(,)
x a b

4. 定义:符号[x]表示不超过实数x的最大整数,如[3.8]=3,[-2.3]=-3,,等,设函数
f(x)=x-[x],则下列结论中不正确
...的是()
A
11
()
22
f-=. B.f(x+y)=f(x)+f(y) C. f(x+1)=f(x) D. 0()1
f x
≤<
5.若函数()(,)
y f x a b
=的导函数在区间上不是单调函数,则函数()
y f x
=在区间[,]
a b上
的图象可能是( )
A.①③B.②④C.②③D.③④
6. 若,,,
22
ππ
αβ⎡⎤
∈-⎢⎥
⎣⎦
且sin sin0,
ααββ
->则下面结论正确的是()
A.β
α> B. β
α< C.0
>

α D. 2

α>
7.设*
()(1)(2)()
f x x x x x n n N
=⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-∈则(0)
f'的值为 ( )
A .0
B .(1)2
n n ⋅+-
C .!n
D .(1)!n
n -⋅ 8..数列{}n a 满足:6(3)3(7)
(7)n n a n n a a
n ---≤⎧=⎨>⎩且{}n a 是递增数列,则实数a 的范围是( )
9
9.(,3).[,3).(1,3).(2,3)4
4
A B C D
9. 设,(0,)cos ,sin(cos )2
a b a a b b π
∈==且则a,b 的大小为( )
A .a<b
B .a b ≤
C .b<a
D .b a ≤
10、函数⎪⎩

⎨⎧<>+=0,2cos 0),1lg()(x x x x x f π
图象上关于坐标原点O 对称的点有n 对,则n 的值为( ) (A )4 (B )3 (C )5 (D )无穷多
二.填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
11.对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在x =2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列
1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是 12.不等式22
2log ()3x x x x -<-++解集为
13.已知41)6
sin(=
+
π
x ,则=-+-)3
(cos )65sin(2x x ππ ; 14.下列命题:①若区间D 内任意实数x 都有f(x+1)>f(x),则y=f(x)在D 上是增函数;②1
y x
=-
在定义域内是增函数;③函数()f x =x 的方
程21
3ax x x
+
=的所有解中,正数解仅有一个,那么实数a 的取值范围是0a ≤; 其中正确的序号是
15.已知函数f(x)为偶函数,且f(2+x)=f(2-x),当20x -≤≤时()2x
f x =,又当n N *
∈时a n =f(n),
则a 2010= .
三.解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写演算步骤) 16.(本小题满分12分)已知函数2
lg(22)y ax x =-+.
(1)若函数2
lg(22)y ax x =-+的值域为R ,求实数a 的取值范围;
(2)若1a =且1x ≤,求2
lg(22)y ax x =-+的反函数1
()f x -;
(3)若方程2
lg(22)1ax x -+=在1[,2]2
内有解,求实数a 的取值范围
17.(本小题满分12分)设函数
()(
)f x a b c
=⋅+r r r ,其中向量
()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-r r
()cos ,sin ,c x x x R =-∈r
.
(Ⅰ)求函数()x f 的最大值和最小正周期;
(Ⅱ)将函数()x f y =的图像按向量d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d u r
.
18.(本小题满分12分)如图,圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4(1)求弦BD 的长;(2)设点P 是弧BCD 上的一动点(不与B ,D 重合)分别以PB ,PD 为一边作正三角形PBE 、正三角形PDF
19.(本小题满分13分)某企业投入81万元经销某产品,经销时间共60个月,市场调研表
明,该企业在经销这个产品期间第x 个月的利润**
1 (120,)
()1 (2160,10
⎧≤≤∈⎪
=⎨≤≤∈⎪⎩)x x N f x x x x N (单位:万元),为了获得更多的利润,企业将每月获得的利润投入到次月的经营中,记第x 个月的当月利润率()x g x x =
第个月的利润
第个月前的资金总和
,例如:(3)(3)81(1)(2)f g f f =++.
(1)求(10)g ;
(2)求第x 个月的当月利润率()g x ;
(3)该企业经销此产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率.
F
20.(本小题满分13分)已知函数x x x f sin )(-= (Ⅰ)若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈
(Ⅱ)若);3
2(3)()(2:
),,0(],,0[x
f x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证
(Ⅲ2()()2[,(1)],(,(1)),,()33
f f x x
x k k k k k Z f θθππθππ++∈+∈+∈若猜想与 的
大小关系.(不必证明)
21.(本小题满分14分)已知数列}{n a 的相邻两项n a ,1+n a 是关于x 的方程
022=+-n n b x x (n ∈N *)的根,且11=a .
(Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式;
(Ⅱ)设n S 是数列}{n a 的前n 项和,问是否存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意n ∈N *
都成
立,若存在,求出λ的取值范围;若不存在,请说理理由.
高三年级数学试题参考答案(理科)
二、填空题(每小题5分,共25分)
11.1
22n n S +=-
12.(1,0)(1,2)-⋃
13.
14.③
15.
三、解答题(共75分) 16.解:(1)1
02
a ≤≤
…4分 (2)1()10)f x x -=≥ …8分 (3)[3,36]…12分
17.解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=a·(b+c)=(sinx,-cosx)·(sinx -cosx,sinx -3cosx) =sin 2x -2sinxcosx+3cos 2x =2+cos2x -sin2x =2+2sin(2x+4

).…4分 所以,f(x)的最大值为
2+2,最小正周期是
2
2
π
=π (6)
分 (Ⅱ)由
sin(2x+
43π)=0得2x+4
3π=k.π,即x =832ππ-k ,k ∈Z , 于是d u r =(328
k ππ
-+
,-2),,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数,要使
d 最小,则只有k =1,此时
d u r =(―8
π
,―2)即为所求. …12分
000(1)120........(2),(0,120),))]..............8sin(230)]......3BAD BD PD PBD θθθθθθθ∠==∠=∈==
-∴+-+-022018.解由余弦定理求得分PB 设由正弦定理sin(120sin 两正三角形面积和sin sin (120分 =0 (101)
sin(230)(1]2,
y θ-∈-∴∈Q 分

19.解(1)由题意得(1)(2)(3)(9)(10)1f f f f f ======L L
516
1
4
∴(10)1
(10)81(1)(9)90
=
=+++L L f g f f . …………………………3分
(2)当120x ≤≤时,(1)(2)(1)()1f f f x f x ===-==L L
∴()11
()81(1)(1)81180
===+++-+-+L L f x g x f f x x x .…… 5分
当2160x ≤≤时,
2
()
()81(1)(20)(21)(1)
1108120(21)(1)
1210(21)(20)160010120
f x
g x f f f f x x f f x x
x x x x x =
++++++-=++++-==-+-++
L L L L L L …………7分
∴当第x 个月的当月利润率为
*
*2
1 (120,)80
()2 (2160,1600⎧≤≤∈⎪⎪+=⎨
⎪≤≤∈⎪-+⎩
)x x N x g x x x x N x x ……………………9分 (3)①当120x ≤≤时,1
()80
g x x =+是减函数,此时()g x 的最大值为
1
(1)81
g =(10分
②当2160x ≤≤
时,2222
()16001600791x g x x x x x
==≤=
-++- 当且仅当1600x x =时,即40x =时,max 2()79
g x =,又21
7981>Q
, ∴当40x =时,max 2
()79
g x = ………………………………………12分
故该企业经销此产品期间,第40个月的利润率最大,最大值为2
79
…13分
20.解:解:(Ⅰ)为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π

的值域为即求得所以上连续
在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)(ΛΛππππx f x f f x f f x f ≤≤≤≤
(Ⅱ)设2()()2()()33f f x x
g x f θθ++=
-,
)3
2cos cos (31)(x
x x g ++-='θ……6分
2[0,],(0,)(0,)()0,3
x
x g x x θπθππθ+'∈∈∴
∈==Q 由得 .)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ
(,),()0,()8x g x g x θπ'∈>L L 当时为增函数分
()[0,]()()[0,]()()02()()2()933
g x g g x x g x g f f x x
f πθπθθθ∈≥=++≥Q L 在区间上连续则为的最小值对有因而

(Ⅲ)在题设条件下,同(Ⅱ)当k 为偶数时)32(3)()(2x
f x f f +≥+θθ
当k 为奇数时
)3
2(3)()(2x
f x f f +≤+θθ……13分
21.解: (Ⅰ)∵a n ,a n +l 是关于x 的方程x 2-2n x +b n =0(n ∈N *)的两根,
∴⎩⎨⎧==+++1
12n n n n n n a a b a a , (2分) 由a n +a n +l =2n ,两边同除以(-1)n +1, 得
n
n n n n a a )2()1()1(11--=---++.令n
n n a c )
1(-=,则c n +1-c n =-(-2)n . 故c n = c 1+(c 2- c 1)+(c 3-c 2)+…+(c n -c n -1) =-1-(-2)-(-2)2-(-2)3-…-(-2)n -1
)2(1])2(1[)2(11----⋅---=-n ]1)2[(3
1--=n (n ≥ 2).
且1111-=-=a c 也适合上式.∴]1)2[(3
1
--=n n c (n ∈N *). ∴
]1)2[(31)1(--=-n n
n a ,即])1(2[3
1n n n a --=. (5分) ∴])1(2[])1(2[91111+++--⨯--==n n n n n n n a a b ]1)2(2[9
1
12---=+n n .(7分)
(Ⅱ)S n =a 1+ a 2+ a 3+…+a n
{}
])1()1()1[()2222(3
1
232n n -++-+--++++=ΛΛ ]2
1)1(22[311----=+n n .(9分) 要使b n -λ S n >0对任意n ∈N *都成立,
即0]2
1)1(22[3]1)2(2
[91112>--------++n n n
n λ(*)对任意n ∈N *都成立.
①当n 为正奇数时,由(*)式得 0)12(3]122[91112>---+++n n n λ, 即0)12(3
)12)(12(91112>--+-++n n n λ
,∵2n +1-1>0, ∴)12(3
1
+n <λ对任意正奇数n 都成立.
当且仅当n =1时,)12(3
1
+n 有最小值1.∴λ<1.(11分)
②当n 为正偶数时,由(*)式得 ()
0)22(312291112>----++n n n λ, 即0)12(3
2)12)(12(9112>---++n n n λ,∵2n -1>0, ∴)12(6
1
1++n <λ对任意正偶数n 都成立.
当且仅当n =2时,)12(6
11++n 有最小值23.∴23
<λ.(13分)
综上所述,存在常数λ,使得b n -λ S n >0对任意n ∈N *都成立,λ的取值范围是(-∞,1).(14分)。

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