§5.4 平面向量的综合应用

§5.4 平面向量的综合应用
考情考向分析 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题
.
1.向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题――→设向量
向量问题――→运算
解决向量问题――→还原
解决几何问题. 2.向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.
3.向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.
知识拓展
1.若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →
＝0.
2.若直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →
，则A ，B ，C 三点共线.( √ )
(2)在△ABC 中，若AB →·BC →
<0，则△ABC 为钝角三角形.( × )
(3)若平面四边形ABCD 满足AB →＋CD →＝0，(AB →－AD →)·AC →
＝0，则该四边形一定是菱形.( √ ) (4)设定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →
＝4，则点P 的轨迹方程是x ＋2y －4＝0.( √ ) (5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →
)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ ) 题组二 教材改编
2.[P89习题T10]已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为________三角形. 答案 直角
解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →
＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2
＝22，|AC →|＝16＋64＝45， |BC →
|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2
， ∴△ABC 为直角三角形.
3.[P93习题T7]若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →
)＝0，则△
ABC 为________三角形.
答案 等腰
解析 ∵OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →
，
OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →， 由已知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →
)＝0，
得(AB →－AC →)·(AB →＋AC →
)＝0， 即(AB →－AC →)⊥(AB →＋AC →). ∴△ABC 为等腰三角形. 题组三 易错自纠
4.在△ABC 中，已知AB →＝(2,3)，AC →
＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，则实数k 的值为________________. 答案 －23或113或3±13
2
解析 ①若A ＝90°，则有AB →·AC →
＝0，即2＋3k ＝0， 解得k ＝－2
3
；
②若B ＝90°，则有AB →·BC →
＝0， 因为BC →＝AC →－AB →
＝(－1，k －3)， 所以－2＋3(k －3)＝0，解得k ＝11
3
；
③若C ＝90°，则有AC →·BC →
＝0，即－1＋k (k －3)＝0， 解得k ＝3±13
2
.
综上所述，k ＝－23或113或3±13
2
.
5.在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →
＝(－4,2)，则该四边形的面积为________. 答案 5
解析 依题意得AC →·BD →
＝1×(－4)＋2×2＝0， 所以AC →⊥BD →
，所以四边形ABCD 的面积为 12|AC →|·|BD →
|＝12
×5×20＝5. 6.(2017·江苏南通中学月考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )⊥a ，则a 与b 的夹角为________. 答案 120°
解析 设a 与b 的夹角为θ，则0°≤θ≤180°，
由题意，得(a ＋b )·a ＝0，∴a 2
＋a ·b ＝1＋1×2cos θ＝0，∴cos θ＝－12
，∴θ＝120°.
题型一 向量在平面几何中的应用
典例 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →
＝1，则AB ＝________. 答案 12
解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ， 则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，
又∵AC →＝AD →＋AB →，
∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →
＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2
＝|AD →|2＋12|AD →||AB →
|cos 60°－12|AB →|2
＝1＋12×12|AB →|－12
|AB →|2
＝1.
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－|AB →||AB →
|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12.
(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →
＋
λ(AB →＋AC →
)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________.
答案 重心
解析 由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →
＋AC →
是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →
的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重
心. 引申探究
本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →
＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________. 答案 内心
解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →
|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →
|AC →|平分∠BAC ，即AP →
平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必
过△ABC 的内心.
思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决. (2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.
跟踪训练 (1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12
，则△ABC 为________三角形. 答案 等边
解析 AB
→|AB →|，AC
→
|AC →|分别为平行于AB →，AC →
的单位向量，由平行四边形法则可知AB →|AB →|＋AC →|AC →|
为∠
BAC 的平分线.因为⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .
又AB
→
|AB →|·AC
→
|AC →|＝
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π
3
，所以△ABC 为等边三角形. (2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →
＝________.
答案 32
解析 取HF 中点O ，
则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2
＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34
，
GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2
＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34
，
因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32.
题型二 向量在解析几何中的应用
典例 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →
＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________. 答案 2x ＋y －3＝0
解析 ∵AB →＝OB →－OA →
＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0， 解得k ＝－2或k ＝11.
由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.
(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 2
3＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP
→
的最大值为________. 答案 6
解析 由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，
则有x 204＋y 20
3＝1，解得y 2
＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
04，
因为FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →
＝(x 0，y 0)，
所以OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 2
0＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2
04＝x 2
04＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0
＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP →·FP →
取得最大值22
4＋2＋3＝6.
思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.
跟踪训练 (1)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2
＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →
，若点M 在圆C 上，则实数k ＝________. 答案 0
解析 设AB 的中点为D ，则有OM →＝OA →＋OB →＝2OD →
， ∴|OM →|＝2|OD →
|＝R ＝2(R 为圆C 的半径)， ∴|OD →
|＝1.
由点到直线的距离公式，得1＝|0－0＋1|
k 2＋1
，解得k ＝0.
(2)(2017·江苏灌云中学质检)设F 1，F 2为椭圆x 2
4＋y 2
＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一
直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→
的值为________. 答案 －2
解析 由题意得c ＝a 2－b 2
＝3， 又1
2
PF QF S 四边形＝12
2S
PF F ＝2×12
×F 1F 2·h (h 为P 点纵坐标的绝对值)， 所以当h ＝b ＝1时，1
2
PF QF S 四形边取得最大值， 此时|PF 1→|＝|PF 2→
|＝2，且∠F 1PF 2＝120°. 所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→
|·cos 120°
＝2×2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－2.
题型三 向量的其他应用
命题点1 向量在不等式中的应用
典例 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB →·AC →＝9，S △ABC ＝6，P 为线段AB 上的点，且CP →
＝x ·
CA →|CA →|＋y ·
CB
→
|CB →
|，则xy 的最大值为________. 答案 3
解析 在Rt △ABC 中，由AB →·AC →
＝9， 得AB ·AC ·cos A ＝9，
由面积为6，得AB ·AC ·sin A ＝12， 由以上两式解得tan A ＝4
3，
所以sin A ＝45，cos A ＝3
5
，
所以AB ·AC ＝15，所以AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4. 又P 为线段AB 上的点，且CP →＝x 3·CA →＋y 4·CB →
，
故x 3＋y 4
＝1≥2
x 3·y
4
， 即xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝3
2
，y ＝2时取等号.
命题点2 向量在解三角形中的应用
典例 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →
＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于________. 答案 35
解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →
＝0， ∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →
＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →
＝0， ∵AC →与AB →
不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
20a －15b ＝0，12c －20a ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
b ＝43
a ，
c ＝5
3a ，
∴△ABC 最小角为角A ，
∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝169a 2＋259a 2－a
2
2×43a ×53a ＝4
5
，
∴sin A ＝3
5
.
跟踪训练 (1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →
＝0，则函数f (x )的最小正周期是______.
答案 3
解析 由图象可知，M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1，N ()x N ，－1， 所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，
解得x N ＝2，
所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2－12＝3. (2)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且满足EF ＝1，则AE →·AF →
的最大值为________.
答案 4
解析 取EF 的中点M ，则M 点的轨迹是以C 点为圆心，1
2为半径的圆的四分之一(在矩形内的
四分之一)，
而AE →·AF →＝(AE →＋AF →)2－(AE →－AF →)24＝4AM →2－FE →2
4＝AM →2－14≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－14＝4，
当且仅当M 是BC 的中点时，(AE →·AF →
)max ＝4.
1.在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2
，则△ABC 的形状一定是________三角形. 答案 直角
解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2
， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →
)＝0，
即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →
＝0，
∴AC →⊥BA →
，∴A ＝90°.
又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →
|， 故△ABC 一定是直角三角形.
2.已知向量m ＝(1，cos θ)，n ＝(sin θ，－2)，且m ⊥n ，则sin 2θ＋6cos 2
θ的值为________. 答案 2
解析 由题意可得m ·n ＝sin θ－2cos θ＝0，
则tan θ＝2，所以sin 2θ＋6cos 2
θ＝2sin θcos θ＋6cos 2
θsin 2θ＋cos 2
θ
＝
2tan θ＋6
tan 2
θ＋1
＝2. 3.在△ABC 中，D 为△ABC 所在平面内一点，且AD →＝13AB →＋12AC →
，则S △BCD S △ABD
＝________.
答案 1
3
解析 如图，由已知得点D 在△ABC 中与AB 平行的中位线上，且在靠近BC 边的三等分点处，从而有S △ABD ＝12S △ABC ，S △ACD ＝1
3
S △ABC ，
S △BCD ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫1－12－1
3
S △ABC ＝16
S △ABC ， 所以
S △BCD S △ABD ＝1
3
. 4.(2017·江苏如皋中学月考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(3，－1)，OB →
＝(0,2)，若OC →⊥AB →，AC →＝λOB →
，则实数λ的值为________. 答案 2
解析 ∵在平面直角坐标系xOy 中，OA →
＝(3，－1)， OB →
＝(0,2)，∴AB →
＝(－3,3)，
设C (x ，y )，则AC →
＝(x －3，y ＋1)， ∵OC →⊥AB →，AC →＝λOB →，
∴－3x ＋3y ＝0，(x －3，y ＋1)＝(0,2λ)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝0，y ＋1＝2λ，
x ＝y ，解得x ＝y ＝3，λ＝2.
5.已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 29＋y 28
＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，则EF 1→·EF 2→的最大值、最小值分别为________.
答案 8,7
解析 由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设E (x ，y )(－3≤x ≤
3)，则EF 1→＝(－1－x ，－y )，EF 2→＝(1－x ，－y )，所以EF 1→·EF 2→＝x 2－1＋y 2＝x 2－1＋8－89x 2＝x 29＋7，所以当x ＝0时，EF 1→·EF 2→有最小值7，当x ＝±3时，EF 1→·EF 2→有最大值8.
6.若直线ax －y ＝0(a ≠0)与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x
的图象交于不同的两点A ，B ，且点C (6,0)，若点D (m ，n )满足DA →＋DB →＝CD →，则m ＋n ＝________.
答案 2
解析 因为f (－x )＝2cos 2(－x )＋1ln 2－x 2＋x ＝2cos 2
x ＋1－ln 2＋x 2－x
＝－f (x )，且直线ax －y ＝0过坐标原点，所以直线与函数f (x )＝2cos 2x ＋1ln 2＋x 2－x 的图象的两个交点A ，B 关于原点对称，即x A ＋x B ＝0，y A ＋y B ＝0，又DA →＝(x A －m ，y A －n )，DB →＝(x B －m ，y B －n )，CD →＝(m －6，n )，由DA →＋DB →＝CD →
，得x A －m ＋x B －m ＝m －6，y A －n ＋y B －n ＝n ，解得m ＝2，n ＝0，所以m ＋n ＝2.
7.在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.
答案 －8
解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，
由余弦定理得a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2，
∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.
8.已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x －a ·b ＝0有两个相等的实根，则向量a 与b 的夹角是________.
答案 2π3
解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a ·b ＝0，
即4|b |2＋4×2|b |2cos θ＝0，∴cos θ＝－12
. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3
. 9.已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积之比是________.
答案 1∶2
解析 如图所示，取AC 的中点D ，
∴OA →＋OC →＝2OD →，
∴OD →＝BO →，
∴O 为BD 的中点，
∴面积比为高之比.
即S △AOC S △ABC ＝DO BD ＝12
. 10.如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半
径OC 上的动点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为________.
答案 －92
解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，
∴PA →＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →.
∵|PO →|＋|PC →|＝3≥2
|PO →|·|PC →|，
∴|PO →|·|PC →|≤94
， 即(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →
＝－2|PO →|·|PC →|≥－92
， 当且仅当|PO →|＝|PC →|＝32时，等号成立.
故最小值为－92
. 11.已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足PA →·AM →＝0，AM →＝
－32
MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程. 解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，
设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)，
则PA →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )，
由PA →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①
由AM →＝－32
MQ →，得 (x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－x 2，b ＝y 3.
∵b ＞0，∴y ＞0，
把a ＝－x 2代入到①中，得－x 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x ＋x 2＋3y ＝0， 整理得y ＝14
x 2(x ≠0). ∴动点M 的轨迹方程为y ＝14
x 2(x ≠0). 12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.
(1)求角B 的大小；
(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.
解 (1)由题意，得(2a －c )cos B ＝b cos C .
根据正弦定理，得 (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ，
因为A ∈(0，π)，所以sin A >0.
所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.
(2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝ 6.
即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式，得
6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，
故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3(2＋1)2
， 即△ABC 的面积的最大值为32＋32.
13.已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋
λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， λ∈(0，＋∞)，则________.(填序号) ①动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心；
②动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心；
③动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心；
④动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.
答案 ④
解析 由条件，得AP →＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ， 从而AP →·BC →＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C ＝λ·|AB →||BC →|cos(180°－B )|AB →|cos B ＋λ·|AC →||BC →|cos C |AC →|cos C
＝0， 所以AP →⊥BC →，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心.
14.已知O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →.
(1)若∠C ＝90°，则λ＋μ＝________；
(2)若∠ABC ＝60°，则λ＋μ的最大值为________.
答案 (1)12 (2)23
解析 (1)若∠C ＝90°，则O 为AB 边的中点，
BO →＝12BA →，即λ＝12，μ＝0，故λ＋μ＝12
.
(2)设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，因为O 为△ABC 的外心，且BO →＝λBA →＋μBC →，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ BO →·BA →＝λBA →2＋μBA →·BC →，BO →·BC →＝λBA →·BC →＋μBC →2，
即⎩⎪⎨⎪⎧ 12c 2＝λc 2＋12μac ，12a 2＝12λac ＋μa 2， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ λc ＋12μa ＝12c ，12λc ＋μa ＝12a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝23－a 3c ，μ＝23－c 3a ，
则λ＋μ＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋c 3a ≤43－23＝23.
15.(2017·江苏南京一中质检)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点.若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________.
答案 12
解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12
AB →， 又∵AC →＝AD →＋AB →，
∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝
⎛⎭⎪⎫AD →－12AB → ＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12
AB →2 ＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12
|AB →|2 ＝1＋12×12|AB →|－12
|AB →|2＝1. ∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－|AB →||AB →|＝0， 又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12
. 16.已知在△ABC 中，AB <AC ，∠BAC ＝90°，边AB ，AC 的长分别为方程x 2
－2(1＋3)x ＋43＝0的两个实数根，若斜边BC 上有异于端点的E ，F 两点，且EF ＝1，∠EAF ＝θ，则tan θ的取值范围为________.
答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤39
，4311 解析 由题可知AB ＝2，AC ＝23，
BC ＝AB 2＋AC
2＝4.
建立如图所示的坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,23).
设BF →＝λBC →⎝ ⎛⎭⎪⎫λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34， BE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫λ＋14BC →
， 则F (2－2λ，23λ)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32
－2λ，23λ＋32. 所以AE →·AF →＝(2－2λ，23λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫32
－2λ，23λ＋32 ＝3－4λ－3λ＋4λ2＋12λ2＋3λ
＝16λ2－4λ＋3
＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－182＋114∈⎣⎢⎡⎭
⎪⎫114，9. 因为点A 到BC 边的距离d ＝AB ·AC BC
＝3， 所以△AEF 的面积S △AEF ＝12EF ·3＝32
为定值. 所以S △AEF AE →·AF →＝12|AE →||AF →|sin θ|AE →||AF →|cos θ
＝12tan θ， 故tan θ＝2S △AEF AE →·AF →＝3AE →·AF →∈⎝ ⎛⎦⎥⎤39，4311.。