广东省东莞市第八高级中学2024-2025学年高二上学期月考数学试卷

广东省东莞市第八高级中学2024-2025学年高二上学期月考数
学试卷
一、单选题
1．已知(0,1,1),(0,0,1)a b ==r r ，则a r
在b r 上的投影向量为（ ）．
A ．(1,0,0)
B ．(0,0,1)
C ．(0,1,0)
D ．(0,1,1)
2．若向量()()0,1,1,1,1,0a b =-=r r
，且()
a b a λ+⊥r r r ，则实数λ的值为（ ）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．2-
3．如图，在三棱锥O ABC -中，D 是BC 的中点，若OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则AD u u u r
等
于（ ）
A ．a b c -++r r r
B ．a b c +-r r r
C ．1122
a b c -++r r r
D ．1122
a b c ---r r r
4．已知平面{}
00P n P P α=⋅=u u u
r r ，其中()01,2,3P ，法向量()1,1,1n =r ，则下列各点不在平面α
内的是（ ） A ．()2,5,4-
B ．()3,2,1
C ．()3,4,5-
D ．()2,4,8-
5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 上任意一点，则AM BC ⋅=u u u u r u u u r
（ ）
A ．1
B ．2
C ．1-
D ．2-
6．已知直线l 的倾斜角为2
3
π，直线1l 经过(P -，(,0)Q m 两点，且直线l 与1l 垂直，则
实数m 的值为（ ） A ．-2
B ．-3
C ．-4
D ．-5
7．已知直线1:220l mx y +-=与直线2:5(3)50l x m y ++-=，若12l l ∥，则m =（ ）
A ．5-
B ．2
C ．2或5-
D ．5
8．阅读材料：数轴上，方程()00Ax B A +=≠可以表示数轴上的点，平面直角坐标系xOy 中，
方程0Ax By C ++=（A 、B 不同时为0）可以表示坐标平面内的直线，空间直角坐标系O xyz
-中，方程0Ax By Cz D +++=（A 、B 、C 不同时为0）可以表示坐标空间内的平面.过点
()000,,P x y z 且一个法向量为n = a ,b ,c 的平面α的方程可表示为
()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为
3570x y z -+-=，直线l 是两平面370x y --=与4210y z ++=的交线，则直线l 与平面α所
成角的正弦值为（ ）
A B C D ．
35
二、多选题
9．若向量()1,2,0a =r ，()2,0,1b =-r
，则下列结论正确的为（ ）
A ．()1,2,1a b +=-r r
B ．a b =r r
C ．a r ∥b r
D ．2a b ⋅=r r
10．经过点()0,1P -作直线l ，且直线l 与连接点()1,2A -，()2,1B 的线段总有公共点，则下列结论正确的是（ ）
A ．直线l 的倾斜角α的取值范围为π3π,44⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．直线l 的倾斜角α的取值范围为π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫
⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭
C ．斜率k 的取值范围为[]1,1-
D ．斜率k 的取值范围为][(),11,-∞-⋃+∞
11．设Ox ，Oy ，Oz 是空间内正方向两两夹角为60°的三条数轴，向量1e u r ，2e u
u r ，3e u r 分别与x
轴、y 轴、z 轴方向同向的单位向量，若空间向量a r
满足123a xe ye ze =++r u r u u r u r （,,x y z ∈R ），则
有序实数组(),,x y z 称为向量a r
在斜60°坐标系Oxyz （O 为坐标原点）的坐标，记作(),,a x y z =r ，则下列说法正确的有（ ）
A ．已知()1,2,3a =r
，则5a =r
B ．已知()1,2,1a =-r ，()2,4,2b =--r ，则向量a b r r
∥
C ．已知()3,1,2a =-r ，()1,3,0b =r ，则0a b ⋅=r r
D ．已知()1,0,0OA =u u u r ，()0,1,0OB =u u u r ，()0,0,1OC =u u u r
，则三棱锥O ABC -的外接球体积
V =
三、填空题
12．已知点M
，(N ，则直线MN 的倾斜角为.
13．如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线
为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB u u u u v 的坐标为(4,3,2)，则1AC u u u u v
的坐标为
14．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，111CC C D =111C B =，点P 为线段1B C 上一点，
则11C P D P ⋅u u u r u u u u r
的取值范围为.
四、解答题
15．已知点()0,1,1A -，()2,2,1B ，O 为坐标原点，向量a OA =r u u u
r ，b OB =r u u u r ，计算：
(1)求2a b -r
r ，3a -r ；
(2)求点B 到直线OA 的距离.
16．已知()1,1M -，()2,2N ，()3,0P .
(1)若点Q 在y 轴上，且满足PQ MN ⊥，求点Q 的坐标； (2)若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角.
17．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，
1190,60,BAD DAA BAA M ∠=︒∠=∠=︒为11AC 与11B D 的交点.设1,,AB a AD b AA c ===u u u r u u u r u u u r r r r
.
(1)用,,a b c r r r
表示BM u u u u r ，并求BM u u u u r 的值； (2)求1BM AC ⋅u u u u r u u u u r
的值.
18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ，AC ，1AA 两两垂直，1AB =，AC 12AA =，D 为1CC 的中点，以点A 为原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空
间直角坐标系.
(1)求证：1
AC BD ⊥ (2)求直线1AC 与平面1AB C 所成角的正弦值； (3)求点1A 到平面1AB C 的距离.
19．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，14AA =，点2A ，2B ，2C ，2D 分别在
棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 上，21AA =，222BB DD ==，23CC =.
(1)证明：2A ，2B ，2C ，2D 四点共面；
(2)在棱1BB 上是否存在点P ，使得平面22PA C 与平面222A C D 的夹角为30︒，若不存在，请说明理由；若存在求2B P 的长.
(3)若P 为棱1BB 上一点，当BP 为何值时，平面22PA C 与平面ABCD 的夹角的正弦值最小？。