高一数学下学期3月月考试题含解析试题 2

卜人入州八九几市潮王学校新世界中英文二零二零—二零二壹高一数学下学期3月月考
试题〔含解析〕
一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内〔每一小题5分，一共60分〕.
α是第二象限角，角α的终边经过点(),4P
x ,且cos 5
x
α=
,那么tan α=〔〕 A.43
-
B.34-
C.
34
D.
43
【答案】A 【解析】
【详解】因为
r =，所以由题设及余弦函数的定义可得
35
x
x =
⇒=-，故44
tan 33
α=
=--，应填答案A ． 2.假设α是第一象限角，那么sin α+cos α的值与1的大小关系是〔〕 A.sinα+cosα＞1 B.sinα+cosα=1
C.sinα+cosα＜1
D.不能确定
【答案】A 【解析】
试题分析：设角α的终边为OP ，P 是角α的终边与单位圆的交点，PM 垂直于x 轴，M 为垂足，那么由任意角的三角函数的定义，可得sin α=MP=|MP|，cos α=OM=|OM|，再由三角形任意两边之和大于第三边，得出结论．
解：如下列图：设角α的终边为OP ，P 是角α的终边与单位圆的交点，PM 垂直于x 轴，M 为垂足，那么由任意角的三角函数的定义，
可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM 中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，
应选A ．
考点：三角函数线． 3.方程2
sin 2sin 0x x a --=在x ∈R 上有解，那么a 的取值范围是〔〕
A.[1,)-+∞
B.(1,)-+∞
C.[1,3]-
D.[1,3)-
【答案】C 【解析】 【分析】 转化2sin 2sin 0x x a --=，为22
sin 2sin (sin 1)1a x x x =-=--，令sin t x =，
计算
2(1)1y t =--的值域即得解.
【详解】由于2sin 2sin 0x x a --=，即22
sin 2sin (sin 1)1a x x x =-=--
令sin ,[1,1]t
x t =∈-
故[1,3]a ∈- 应选：C
【点睛】此题考察了转化方程有解为三角函数与二次函数复合函数的值域问题，考察了学生转化划归，数学运算的才能，属于中档题.
α与β都是第一象限角，并且αβ>，那么一定有如下关系〔〕
A.sin sin αβ
>
B.sin sin αβ<
C.sin sin αβ≠
D.不能确定
【答案】D 【解析】 【分析】
对α与β取特殊值，即可得答案； 【详解】对A ，当390,60α
β==时，sin sin αβ<，故A 错误；
对B ，当60,30αβ==时，sin sin αβ
>，故B 错误； 对C ，当390,30αβ==时，sin sin αβ
=，故C 错误；
应选：D.
【点睛】此题考察象限角的概念及任意角三角函数的定义，属于根底题.
5sin
7a π=，2cos 7b π=，2tan 7
c π=，那么〔〕 A.a b c << B.a c b <<
C.b c a <<
D.b a c <<
【答案】D 【解析】
【详解】因为
，，所以，，且
，所以，，所以,
应选D .
6.α是三角形的一个内角且2
sin cos 3
αα+=
，那么此三角形是〔〕 A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
【答案】C 【解析】 由题设可知
α
是三角形的一个内角，那么
sin 0α>，将2sin cos 3
αα+=
两边平方可得
412sin cos 9
αα+=
，即5sin cos 0cos 018ααα=-<⇒<，所以2παπ
<<，即该三角形是
钝角三角形，应选答案C ．
sin tan 0αα<且cos tan 0αα>，那么角
2
α为〔〕
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第一或者第二象限角
D.第一或者第三象限角
【答案】D 【解析】 【分析】
先判断角α所在的象限，再判断角2
α所在的象限.
【详解】
sin tan 0αα<且cos tan 0αα>，
∴α为第二象限角，∴22,2
k k k Z π
π
αππ+
<<+∈，
∴,4
2
2
k k k Z π
α
π
ππ+<
<+
∈，
∴
2
α为第一或者第三象限角.
应选：D.
【点睛】此题考察三角函数在各个象限的符号、象限角的表示方法，考察运算求解才能，属于根底题.
sin 22y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
是〔〕
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
【答案】B 【解析】 【分析】
根据诱导公式可得
sin 2cos 22y x x π⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，直接可得函数为偶函数，利用周期公式可求得函数的周
期.
【详解】
sin 2cos 22y x x π⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，
∴22
T π
π=
=，又cos 2y x =为偶函数， 应选：B.
【点睛】此题考察诱导公式和余弦函数的性质，考察运算求解才能，属于根底题.
(sin )cos f x x =，那么(cos 60)f =()
A.
12
C.12
-
D.【答案】B 【解析】
解：因为
(sin )cos f x x =，那么3
(cos 60)(sin 30)cos302
f f ===，选B
10.同时具有性质：①最小正周期是π；②图象关于直线3
x
π
=
对称；③在,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上是增函数的一个函数是〔〕
A.
sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
B.
sin 26y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
C.
cos 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
D.
sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
运用三角函数的性质对四个选项逐一进展分析即可得到结论
【详解】对于A ，26x y sin π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，241
2
T π
ππ=
=≠，故排除
A
对于B ，sin 26y
x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，T π
=，满足图象关于直线3
x π
=
对称，且在,63ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上是增函数，符合题意
对于C ，
23y cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，[]20,3x ππ+∈，所以23y cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在
,63ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是减函数，故排除C 对于D ，
sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，令262x k πππ+=+，62k x ππ=+
，其图象不关于直线3
x π
=
对称，
故排除D 应选B
【点睛】此题考察了三角函数的图像性质，考察了其周期性、对称性、单调性等知识点，纯熟运用图像性质来解题是关键．
AD 的是〔〕
A.MB AD BM
+
-
B.()()AD MB BC CM +++
C.()AB CD BC ++
D.OC
OA CD -+
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量的加法和减法运算，结合排除法，即可得答案； 【详解】对B ，()()AD MB BC CM AD MB BC CM AD +++=+++=，故B 正确；
对C ，()AB CD BC AB BC CD AD ++=++=，故C 正确；
对D ，OC OA CD AC CD AD -+=+=，故D 正确；
应选：A.
【点睛】此题考察向量加法和减法的运算，求解时注意向量减法起点要一样.
ABC 所在平面内的一点，且满足53AM AB AC =+，那么ABM 与ABC 的面积比为〔〕.
A.
1
5
B.
25
C.
35
D.
45
【答案】C
【解析】 【分析】 将条件53AM
AB AC =+中的AB 转化为2AD ，然后然后化简得23DM MC =，由此求得两个三
角形高的比值，从而求得面积的比值. 【详解】如图，由5AM =AB +3AC 得
2AM =2AD +3AC -3AM ，即2(AM -AD )=3(AC -AM )，即2DM =3MC ，故DM =3
DC 5
，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC =3∶5.所以选C.
【点睛】本小题考察平面向量的线性运算，考察三角形面积的比值的求法，属于根底题. 二、填空题：请把答案填在题中横线上〔每一小题5分，一共20分〕
α
的终边落在射线
(0)y x x =-≥上，那么sin cos αα+=________.
【答案】0 【解析】 【分析】
根据三角函数的定义，分别求得sin ,cos αα的值，即可得到答案. 【详解】
角α的终边落在射线
(0)y x x =-≥上，
∴sin αα==，
∴sin cos 0αα+=.
故答案为：0.
【点睛】此题考察角α的终边求三角函数值，考察对概念的理解，属于根底题.
sin ,0,()612,0,
x x f x x x π
⎧≤⎪=⎨⎪->⎩那么[(1)]f f =________.
2
【解析】 【分析】
根据分段函数的解析式，先求
(1)f 的值，再求[(1)]f f 的值.
【详解】
sin ,0,
()6
12,0,
x x f x x x π
⎧≤⎪=⎨⎪->⎩∴(1)121f =-=-， ∴1
[(1)](1)sin()62
f f f π=-=-=-.
故答案为：1
2
-.
【点睛】此题考察分段函数的求值、特殊角三角函数的求值，考察函数与方程思想，考察运算求解才能，属于根底题.
|sin |lg x x =的解的个数为_______.
【答案】5 【解析】 【分析】 画出函数
|sin |y x =与lg y x =的图像，根据图像的交点个数，即可得到答案.
【详解】作出函数|sin |y x =与lg y x =的图像，如下列图，
当7102
x
π
=
>时，∴lg 1x ， ∴两个图像交点个数为5个.
故答案为：5.
【点睛】此题考察利用数形结合求函数图像交点的个数，考察函数与方程思想、数形结合思想.
(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，那么sin 6f π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭的值是______.
8
【解析】 【分析】
令sin cos t αα+=，利用角三角函数关系中的平方和为1这个公式，可以求出sin cos αα⋅的值，这样
可以求出函数的解析式，最后代入求值即可. .
【详解】令222sin cos (sin cos )12sin cos t t t α
ααααα+=⇒+=⇒+⋅=，
21sin cos 2t αα-⇒⋅=，因为(sin cos )sin cos f αααα+=⋅，所以21
()2
t f t -=， 所以
21
()1132sin ()6228f f π-⎛⎫
===- ⎪⎝
⎭
【点睛】此题考察了求函数解析式，并求函数值问题，考察了换元法，掌握同角三角函数关系中的平方和为1这个公式是解题的关键.
三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〔一共70分〕. ，所在圆的半径为R ，假设扇形的周长为40cm,当它的圆心角为多少弧度时，该扇形的面积最大？最大
面积为多少？ 【答案】圆心角为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为
【解析】
【详解】(1)设扇形的弧长为
cm,由题意知，,然后再利用
,得到S 关于R 的函数求解即可.
解：设扇形的弧长为cm,由题意知，
∴
∴
∴当时，扇形的面积最大；这个最大值为
.
此时，
故当扇形的圆心角
为2弧度时，该扇形的面积最大，最大面积为
.
18.〔1〕在ABC ∆中，1
sin
22A =，求cos 2
B C +的值. 〔2〕求函数
5sin 2,,366y x x πππ⎛⎫⎡⎤
=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
的单调递减区间.
【答案】〔1〕
1
2〔2〕单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
〔1〕利用三角形的内角和为π，结合诱导公式，即可得答案；
〔2〕解不等式
3222,2
3
2k x k k Z π
π
πππ+≤+
≤
+∈，再与区间5,66x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
取交集，即可得答案；
【详解】〔1〕
222
B C A
A B C ππ+++=⇒
=-， 1cos
cos sin
22222B C A A π+⎛⎫
=-== ⎪⎝⎭
. 〔2〕由
3222,2
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ+≤+
≤
+∈， ∴函数的单调减区间为
7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
， 由于5,66x ππ⎡⎤
∈
-⎢⎥⎣⎦
，所以单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】此题考察诱导公式、正弦函数的单调性，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能.
19.〔1
〕求函数()lg(2cos 1)f x x =-+
〔2
〕假设cos θ=，求sin(5)cos cos(8)23sin sin(4)2πθπθπθπθθπ⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭
的值. 【答案】〔1〕55773333x x x x ππππ⎧⎫-≤<--<<<≤⎨⎬⎩⎭或或.〔2
〕4
± 【解析】
【分析】
〔1〕根据对数的真数大于0，被开方数大于等于0，解不等式即可得答案；
〔2〕利用诱导公式将原式化简成sin θ，再利用同角三角函数的平方关系，即可得答案.
【详解】〔1〕由题意可知21cos 2490x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩，解得22,3377
k x k k Z x ππππ⎧-<<+∈⎪⎨
⎪-≤≤⎩ ∴573x π
-≤<-或者33x ππ-<<或者573
x π<≤ 故函数的定义域为55773333x x x x ππππ⎧⎫-≤<--<<<≤⎨⎬⎩⎭
或或. 〔2〕因为sin(5)cos cos(8)23sin sin(4)2πθπθπθπθθπ⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-- ⎪⎝⎭
(sin )sin cos sin cos (sin )4
θθθθθθ-⋅⋅====±⋅-. 【点睛】此题考察函数定义域的求解、诱导公式的综合运用，考察函数与方程思想、转化与化归思想，考察逻辑推理才能、运算求解才能，求解时注意三角函数值的符号.
20.0a >，函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，5()1f x -≤≤，求常数,a b 的值.
【答案】2,5a
b ==-
【解析】
【分析】 求出72666x ππ
π
≤+≤，利用正弦线可得函数()2sin 226f x a x a b π⎛⎫=-+++ ⎪⎝
⎭的最大值与最小值，解方程组得常数,a b 的值.
【详解】0,0,2a x π⎡⎤>∈⎢⎥⎣⎦，∴72666x πππ≤+≤，
根据单位圆中的正弦线可得： 当7266x π
π
+=，即2x π
=时，sin 26x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭获得最小值12
-， ∴max 1()2()21312
f x a a b a b =-⨯-++=⇒+=； 当262x π
π
+=，即6x π
=时，sin 26x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
获得最小值1， ∴min ()21255f x a a b b =-⨯++=-⇒=-；
解得：2,5a b ==-.
【点睛】此题考察根据函数的值域求参数的值，考察逻辑推理才能、运算求解才能.
x 的方程221)0x x t -++=的两个根为,cos ,(0,2),sin αααπ∈
求：〔1〕sin tan cos tan 11tan ααααα+--的值；
〔2〕实数t 的值；
〔3〕方程的两个根及此时α的值
【答案】〔1；〔2〕.〔3〕6π
α=或者3π
α=.
【解析】
【详解】第一问中利用一元二次方程中根与系数的关系得到,cos ,(0,2),sin αααπ∈的关系式，然后将所求解的化简，代值得到．
第二问利用正弦值和余弦值的关系，利用和值平方后得到积值
第三问中，利用第一问中两个和，以及第二问中的结论，得到,cos ,(0,2),sin αααπ∈，进而求解得到角．
解：〔1〕因为
〔2〕因为 故32t = 〔3〕由〔2〕得：1sin 23
cos 2
αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者3sin 21cos 2αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴6π
α=或者3π
α=。

2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为()g a .
〔1〕求()g a 的表达式；
〔2〕求能使1()2g a =的值，并求当a 取此值时，()f x 的最大值.
【答案】〔1〕()21221222142a a g a a a a
a <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩；〔2〕()f x 的最大值为5 【解析】
试题分析：〔1〕通过同角三角函数关系将()f x 化简，再对函数()f x 配方，然后讨论对称轴与区间[1
?1?]-，的位置关系，从而求出()f x 的最小值；〔2〕由()12
g a =，那么根据()g a 的解析式可知()g a 只能在[)2-+∞，内解方程，从而求出a 的值，即可求出()f x 的最大值.
试题解析：〔1〕
()()
2122cos 21cos f x a a x x =----22cos 2cos 12x a x a =---222cos 2122a a x a ⎛⎫=---- ⎪⎝
⎭ 假设12
a <-，即2a <-，那么当cos 1x =-时，()f x 有最小值，()222121122a a g a a ⎛⎫=-----= ⎪⎝
⎭； 假设112a -≤≤，即22a -≤≤，那么当cos 2a x =时，()f x 有最小值，()2
212a g a a =--- 假设12
a >，即2a >，那么当cos 1x =时，()f x 有最小值，()2221211422a a g a a a ⎛⎫=----=- ⎪⎝⎭
所以()21221222142a a g a a a a
a <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩； 〔2〕假设()12g a =，由所求()g a 的解析式知212122
a a ---=或者1142a -= 由22211212
2a a a a -≤≤⎧⎪⇒=-⎨---=⎪⎩或者3a =-〔舍〕；由2118142a a a >⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩〔舍〕 此时()2
112cos 22f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，得()max 5f x =，所以()12g a =时，1a =-，此时()f x 的最大值为5.。