河南省信阳市2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题 文(扫描版)

2018—2019学年上期期末考试
高中二年级数学（文科） 参考答案
一、 选择题：
二、 填空题：
13.1
2n -； 14.21a a ><-或； 15.三、解答题：
17．解：由p 知，(2)(2)0a a +-<，∴.22<<-a ……2分
若q 成立，则2x a ≤恒成立，即
.1≤a ……4分
由于p q ∨为真，p q ∧为假，可知,p q 一真一假.
①
若p 真q 假，则⎩⎨⎧>
<<-12
2a a ∴21<<a ； ……6分 ②
若
p 假q 真，则⎩⎨⎧<-≤1
2a a 2≥a 或 ∴2-≤a ； ……8分
综上可知，所求实数a 的取值范围是｛21|<<a a 或2-≤a ｝ ……10分
18．解：(1)由正弦定理得222
2a b c a c
ab b +--=， ……2分
222a c b ac ∴+-=，
222
1
cos 22a c b B ac +-==， ……4分
又在ABC ∆中，0B π<<， 3B π
∴=. ……6分
(2) 1
sin 423ABC S ac B B ac π
∆===∴=， ……8分
由余弦定理得222222cos 4b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥=， ……10分
当且仅当2a c ==时，等号成立.
2b ∴≥,则实数b 的取值范围为[)2,+∞. ……12分
19．解：（1）设等差数列{}n b 的公差为d .
由131213233,11,log (1)1,log (3)3,a a b a b a ===-==-=得……2分
3122, 1.b b d d ∴-==∴=
……4分 1(1)1.n b n n ∴=+-⨯= ……6分
（2）由（1）知2,log (),2n n n n b n a n n a n =∴-=∴-=，．
2n n a n ∴=+， ……8分
2122(21)(22)(2)(222)(12)
n n n n S a a a n n ∴=++
+=++++++=+++++++
1(1)22.2n n n ++=-+ ……12分 20．解：（1）由题意可得处理污染项目投放资金为(100)x -百万元，
所以()0.2(100)N x x =-， ……2分 ∴500.2(100),[0,100]10x y x x x
=
+-∈+． ……5分 （2）由（1）可得，505000.2(100)70()10105
x x y x x x =+-=-+++， 5001072()722052105x x +=-+≤-=+
……8分 当且仅当5001040.105x x x +==+即时等号成立 此时1001004060x -=-=．
∴y 的最大值为52（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为40（百万元），60（百万元） ……12分
21. 解：（1）抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点F 在直线1y x =-上， ∴F 为(1,0)， ∴12
p =即2p =， ∴抛物线C 的方程为24y x =． ……4分
（2）易知直线1l ，2l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的斜率为k ，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则直线1l ：(1)y k x =-，1212(,)22
x x y y M ++， 由24,(1),
y x y k x ⎧=⎨=-⎩得2222(24)0k x k x k -++=， ……6分
2242(24)416160k k k ∆=+-=+>， ∴12242x x k +=+，12124(2)y y k x x k
+=+-=，
∴222(1,)M k k
+
．同理得2(12,2)N k k +-． ……8分 当1k =或1k =-时，直线MN 的方程为3x =；
当1k ≠且1k ≠-时，直线MN 的斜率为21k k
-， ∴直线MN 的方程为222(12)1k y k x k k +=---，即2(3)1k y x k -=--， ∴直线MN 过定点P ，其坐标为(3,0)． ……12分
22.解：（1）2130()2,()2,(1)1,(1)22a f x x x f x x f f ''==
-∴=-∴=-=-时，又， 所以所求的切线方程为3(1),22102
y x x y +=--++=即 ……3分 （2）函数的定义域为(0,)+∞，'()(2)()x a x f x x
--= ①当2a =时'()0f x ≥，()f x 在
上单调递增． ……4分 ②当02a <<时，在()0,x a ∈时'()0f x >，()(0,)f x a 在单调递增；
在(),2x a ∈时'
()0f x <，()(,2)f x a 在单调递减； 在()2,x ∈+∞时'
()0f x >，()(2,)f x +∞在单调递增； ……6分 ③当2a >时，在()0,2x ∈时'
()0f x >，()(0,2)f x 在单调递增； 在()2,x a ∈时'
()0f x <，()(2,)f x a 在单调递减； 在(),x a ∈+∞时'
()0f x >，()(,)f x a +∞在单调递增. ……8分 （3）假设存在这样的实数a ，满足条件，不妨设12x x <， 由212121()()1()2f x f x x x a x x -<+--知，2222211111()()22f x x ax f x x ax -+<-+， 令21()()2ln 22g x f x x ax a x x =-
+=-，则函数()g x 在(0,)+∞上单调递减． 所以2()20,(0,)a g x a x x
'=-≤≤+∞即在上恒成立， 所以0a ≤，故存在这样的实数a ，满足题意，其取值范围为(,0]-∞．……12分。