安徽省池州市平原中学2018年高三数学理月考试卷含解析

安徽省池州市平原中学2018年高三数学理月考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点(2，－1)，则
A. B. C. D.
参考答案：
C
2. 已知命题
（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
略
3. 已知函数f（x）=（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则实数 b的取值范围是（）
A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，）
参考答案：
B
【考点】63：导数的运算．
【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数a的取值范围．
【解答】解：∵f（x）=f（x）=，x＞0，
∴f′（x）=，
∴f（x）+xf′（x）=+=，
∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，
∴1+2x（x﹣b）＞0
∴b＜x+，
设g（x）=x+，
∴b＜g（x）max，
∴g′（x）=1﹣=，
当g′（x）=0时，解的x=，
当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，
当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，
∴当x=2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）=2+=
∴b＜，
故选：B．
4. 设集合，集合，则等于( )
（A）(1,2) （B） (1,2] （C）
参考答案：
B
集合=，集合= ，所以=(1,2]，故选B．
5. 若变量满足约束条件，则的最大值为
A． B． C． D．
参考答案：
C
6.
设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且，则的面积为（）
A．4 B．6 C． D．
参考答案：
答案：B
7. 已知幂函数的图像经过点（9，3），则=（）
A.3
B.
C.
D.1
参考答案：
C
8. 执行如图所示的程序框图，输出的n为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当n=1时，f（x）=1，满足f（x）=f（﹣x），不满足f（x）=0有解，故
n=2；
当n=2时，f（x）=2x，不满足f（x）=f（﹣x），故n=3；
当n=3时，f（x）=3x2，满足f（x）=f（﹣x），满足f（x）=0有解，
故输出的n为3，
故选：C
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9. 设集合A={1，2}，则满足的集合的个数是…………………………………….（）
A．1 B．3 C．4 D．8
参考答案：
C
10. 执行如图所示的程序框图．若输出，则框图中
①处可以填入（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
C
第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，
;第三次循环，满足条件，;第四次循环，不满足条件，输出，此时，所以条件应为，选C.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数
则当时，．
参考答案：
考点：1.分段函数；2.分类讨论.
12. （4分）（2015?浙江模拟）如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已AC=3，BC=4，AB=5，过圆心O的直线l交圆O于P、Q两点，则?的取值范围是．
参考答案：
[﹣7，1]
【考点】：向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．
【专题】：平面向量及应用；直线与圆．
【分析】：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y 轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得r=1，设出圆的方程，求得交点P，Q，讨论直线的斜率k不存在和大于0，小于0的情况，运用向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示和不等式的性质，计算即可得到范围．
解：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，
与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，
设△ABC的内切圆的半径为r，
运用面积相等可得，=r（3+4+5），
解得r=1，
则B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），
即有圆O：x2+y2=1，
当直线PQ的斜率不存在时，即有P（0，1），Q（0，﹣1），=（3，3），=（﹣1，0），即有=﹣3．
当直线PQ的斜率存在时，设直线l：y=kx，（k＜0），
代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），
即有=（3﹣，1﹣），=（﹣1，+1），
则有=（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）=﹣3+，
由1+k2≥1可得0＜≤4，
则有﹣3＜﹣3+≤1．
同理当k＞0时，求得P（，），Q（﹣，﹣），有═﹣3﹣，
可得﹣7≤﹣3+＜﹣3．．
综上可得，?的取值范围是[﹣7，1]．
故答案为：[﹣7，1]．
【点评】：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查向量的坐标运算，同时考查直线和圆联立求交点，考查不等式的性质，属于中档题．
13. 设、分别为双曲线的左、右焦点，点在双曲线的右支上，且，到直线的距离等于双曲线的实轴长，该双曲线的渐近线方程为．
参考答案：
略
14. 抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则双曲线的两条渐近线的夹角为 .
参考答案：
15. 点在不等式组表示的平面区域内，若点到直线
的最大距离为，则
参考答案：
16. 已知命题. 若命题p是假命题，则实数的取值范围是 .
参考答案：
因为命题为假命题，所以。

当时，，所以不成立。

当时，要使不等式恒成立，则有，即，所以，所
以，即实数的取值范围是。

17. 向等腰直角三角形内任意投一点, 则小于的概率为
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某市为响应国家节能减排建设的号召，唤起人们从自己身边的小事做起，开展了以“再小的力量也是一种支持”为主题的宣传教育活动，其中有两则公益广告：（一）80部手机，一年就会增加一吨二氧化氮的排放。

（二）人们在享受汽车带了的便捷舒适的同时，却不得不呼吸汽车排放的尾气。

活动组织者为了了解是市民对这两则广告的宣传效果，随机对10-60岁的人群抽查了n人，并就两个问题对选取的市民进行提问，其抽样人数频率分布直方图如图所示，宣传效果调查结果如表所示：
（1）分别写出n,a,b,c,d的值。

（2）若将表中的频率近似看作各年龄组正确回答广告内容的概率，规定正确回答广告一的内容得30元，广告二的内容得60元。

组织者随机请一家庭的两成员（大人45岁，孩子17岁），指定大人回答广告一的内容，孩子回答广告二的内
容，求该家庭获得奖金数的分布列及期望。

参考答案：
略
19. （本小题满分14分）
已知函数f（x）=x2（x－a）+bx
（Ⅰ）若a=3，b=l，求函数f（x）在点（1 ,f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若b=a+，函数f（x）在（1，+）上既能取到极大值又能取到极小值，求a的取值范围；
（Ⅲ）若b =0，不等式1nx +1≥0对任意的恒成立，求a的取值范围，
参考答案：
略
20. 如图，设双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双
曲线虚轴的左端点，已知C l的离心率为，且△ABF的面积S=1﹣．
（Ⅰ）求双曲线C l的方程；
（Ⅱ）设抛物线C2的顶点在坐标原点，焦点为F，动直线l与C2相切于点P，与C2的准线相交于点Q试推断以线段PQ为直径的圆是否恒经过y轴上的某个定点M？若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）由已知得，由此能求出双曲线方程．
（Ⅱ）由题设，抛物线C2的方程为x2=8y，准线方程为y=﹣2，由y=，得，设P（），则直线l的方程y=，联立y=﹣2，得Q
（），假设存在定点M（0，m）满足题设条件，由已知条件求出m=2，故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．
【解答】解：（Ⅰ）∵双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，
上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，
C l的离心率为，且△ABF的面积S=1﹣，
∴，解得a=，
∴双曲线方程为﹣x2=1．
（Ⅱ）由题设，抛物线C2的方程为x2=8y，准线方程为y=﹣2，
由y=，得，设P（），
则直线l的方程为y﹣=，
即y=，联立y=﹣2，得Q（），
假设存在定点M（0，m）满足题设条件，
则对任意点P恒成立，
∵，，
则，
即对任意实数x0恒成立，
∴，解得m=2，
故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
21. 如图，菱形ABCD中，，，M是AD的中点，以BM为折痕，将
折起，使点A到达点A1的位置，且平面平面BCDM，
（1）求证：；
（2）若K为A1C的中点，求四面体的体积．
参考答案：
（1）见解析（2）．
【分析】
（1）先在左图中证明，再结合右图，根据面面垂直的性质定理，证明
平面，进而可得出结论；
（2）先计算出，再由题意得到，即可得出结果．
详解】
（1）证明：在左图中，∵四边形是菱形，，是的中点，∴，
故在右图中，，
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
又平面，
所以.
（2）解：在左图中，∵四边形是菱形，，，
∴，且，
在右图中，连接，则，
∵为的中点，
∴．
【点睛】本题主要考查面面垂直的性质，以及求几何体的体积，熟记面面垂直的性质定理、以及锥体的体积公式即可，属于常考题型.
22. （本小题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分.
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c（a≠0），
（1）若函数f(x)满足恒成立，且，求使不等式
成立的的取值范围；
（2）已知函数g(x)=-x2-3，且f(x)+g(x)为奇函数．若当x∈[-1，2]时，f(x)的最小值为1，求f(x)的表达式．
参考答案：
解：（1）原不等式分解因式可得
∴
∴
（2）原不等式移项，通分等价转化为，即
当时，原不等式即为，可得，即；
当m>0时，原不等式即为，
∴原不等式的解为或；
当-2<m<0时，，∴原不等式的解为；当m=-2时，原不等式为，∴原不等式无解；当m<-2时，，∴原不等式的解为.
略。