和角公式及答案

高一数学假期作业（和角公式）
一、选择题
1．若1tan()47
πα+=
，则tan α=（ ） （A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43
- 2．若1sin()33πα+=，则5cos()6πα+的值为（ ）
A 、13-
B 、13
C 、 3．已知4sin 5x =，(,)2x ππ∈，则tan()4
x π-=（ ） A.17 B ．7 C ．17- D ．7- 4．式子cos cos sin sin 126126π
π
π
π
-的值为（ ）
A ．12
B C D ．1 5．在ABC ∆中，3sin 5A =，5cos 13
B =，则cos
C =（ ） A ．1665或5665 B ．16566565-或- C ．1665-
D ．1665 6．设当x=θ时，函数f(x)＝sinx －2cosx 取得最大值，则cos θ= ( ) A.- B. C.- D.
7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若sin Acos C ＋sin Ccos A ＝12 ，且a ＞b ，则∠B 等于 ( ) A.56π B.23π C.3π D.6
π 8．在10
103cos ,21tan ,==∆B A ABC 中，则tan C 的值是（ ）
A ．1-
B ．1
C ．2
9．如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥,D 为垂足，AD 在ABC ∆的外部，且BD:CD:AD=2:3:6，则tan BAC ∠=（ ）
A. 1
B.
17 C. 15 D. 57
10．已知()11cos cos ,sin sin cos 23
αβαβαβ+=
+=-=， （ ） A.5972- B ．1372- C ．5972± D ．1372±
二、填空题
11．Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是_________.
12．若34
παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--= __________ ． 13．已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<，则cos β＝ ．
14．函数y ＋sin4x 的最小正周期为________．
15．已知cos 6πα⎛⎫-
⎪⎝⎭＋sin α，则sin 76πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________．
三、解答题
16．计算：sin50°(1°)．
17．已知,αβ为锐角，sin α=，cos β=αβ-的值.
18．已知12cos()13αβ-=-，12cos()13αβ+=，且()(,)2παβπ∈－，3()(
,2)2
παβπ+∈，求角β的值．
19．已知0＜β＜
4π＜α＜34π，cos(4
π－α)＝35，sin(34π＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．
20．已知函数f(x)＝sin 74x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭＋cos 34x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
，x ∈R. (1)求f(x)的最小正周期和最小值；
(2)已知cos(β－α)＝
45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤2
π，求证：[f(β)]2－2＝0.
参考答案
1．（C ）
【解析】 试题分析：由1tan()47π
α+=所以tan 113,tan 1tan 74
ααα+=∴=--.故选（C ）. 考点：1.角的和差公式.2.解方程的思想.
2．A ．
【解析】 试题分析：51cos()cos()sin()62333
ππππααα+=++=-+=-故选A ． 考点：三角函数知值求值（诱导公式）．
3．B
【解析】
试题分析：∵4sin 5x =，，(,)2x ππ∈，∴3c o s 5x =-，∴4t a n 3x =-，∴t a n t a n 4t a n ()741t a n t a n 4x x x π
π
π--==+. 考点：平方关系、商数关系、两角差的正切.
4．B
【解析】
试题分析：由两角和与差的余弦公式得cos cos sin sin 126126ππππ-2
24c o s 612cos ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ 考点：三角恒等变换
5．D
【解析】 试题分析：依据题意1312sin =B ,A B sin sin >,A B >∴,A ∴为锐角，53sin =A , 5
4
cos =∴A ()[]()65
1613125313554sin sin cos cos cos cos cos =⨯+⨯-=+-=+-=+-=B A B A B A B A C π,
故选D.
考点：三角函数的求值
6．C
【解析】∵f(x)=sinx-2cosx=(sinx-cosx)
令cos =,sin =-,则f(x)=(sinxcos -sin cosx)=，
当
=，即
=时
，取最大值，此
时=，∴===.
7．D
【解析】 试题分析：1sin cos sin cos sin()sin()sin 2A C C A A C B B π+=+=-==
，因为a b >，所以B 为锐角，即6B π
=。

故D 正确。

考点：三角函数两角和差公式。

8．A
【解析】
试题分析：由题意
知sin 1sin tan cos 3B B B B ===，所以()()t a n
t a n t a n C A B A B π=--=-+ tan tan 11tan tan A B A B
+=-=--. 考点：同角三角函数之间的基本关系、恒等变换公式.
9．B
【解析】
试题分析：令2,3,6BD CD AD ===,则1tan 3BD BAD AD ∠=
=,1tan 2
CD CAD AD ∠==，所以11tan tan 123tan tan()111tan tan 7
123CAD BAD BAC CAD BAD CAD BAD -∠-∠∠=∠-∠===+∠⋅∠+⨯。

故B 正确。

考点：正切的两角和差公式。

10．A
【解析】
试题分析：由211cos cos (cos cos )24αβαβ+=⇒+=即221cos 2cos cos cos 4ααββ++=
① 由211sin sin (sin sin )39αβαβ+=⇒+=即221sin 2sin sin sin 9
ααββ++=② 所以①+②可得1322(cos cos sin sin )36αβαβ++=即592cos()36
αβ-=-即59cos()72
αβ-=-，选A.
考点：1.同角三角函数的基本关系式；2.两角差的余弦公式.
11．12
【解析】 试
题分析：()1sin14cos16sin 76cos 74sin14cos16cos14sin16sin 1416sin 302+=+=+==。

考点：1诱导公式；2两角和差公式。

12．2
【解析】
试题分析：()()()βαβαβαt a n t a n t a n t a n 1t a n 1t a n -1++-=-,根据
()1t a n
t a n 1t a n t a n t a n -=-+=+βαβαβα,1tan tan tan tan -=+∴βαβα,代入上式，得到原式=2.
考点：两角和的正切公式的应用
13．12
【解析】
试题分析：∵π02βα<<<，∴02a πβ<-<，∴sin α=sin()a β-=，
∴cos β＝cos[()]a αβ--＝cos cos()sin sin()a a αβαβ-+-＝113714⨯＝12
． 考点：两角和与差的余弦．
14．2
π
【解析】y ＝
cos4x ＋sin4x ＝2(cos4x ＋12sin4x)＝2446cos x sin sin x π⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＝2cos 46x π⎛⎫-
⎪⎝⎭，故T ＝2π. 15．－45
【解析】∵cos 6πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭＋sin αcos α＋32sin α
∴12cos α＋2
sin α＝45，
∴sin 76πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭＝－sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－122sin cos αα⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
＋＝－45. 16．1
【解析】原式＝sin50°1⎛
⎝⎭＝sin50 ＝2sin50°·3010301010sin cos cos sin cos ︒︒︒︒︒
＋ ＝2sin50°·402404080101010sin cos sin sin cos cos cos ︒︒︒︒︒︒︒
＝＝＝1.（除了用二倍角外，也可以用两角和的正弦）
17．4
π- 【解析】
试题分析：此题是给值求角问题，根据αβ-的一个三角函数值，结合函数的单调性即可求出角的值
试题解析：因为α为锐角，sin α=，所以cos α==， 2分
由β为锐角，cos β=sin β==， 4分 所以sin()=sin cos cos sin αβαβαβ--=
== 7分 因为,αβ为锐角，所以22π
π
αβ-<-<，所以4π
αβ-=-. 10分
考点：同角三角函数基本关系式，两角差的正弦公式，正弦函数的单调性.
18．2π
β=
【解析】
试题分析：由2π
αβπ∈(
-)(,)，且12cos()13αβ-=-，得：5s i n ()13αβ-=，由32παβπ∈(+)(,2)，且12cos()13αβ+=，得：5sin()13αβ+=-，再根据()()[]βαβαβ--+=cos 2cos 求值，再根据β2的范围，确定β2的值.
试题解析：解：由2
παβπ∈(-)(,)，且12cos()13αβ-=-，得：5sin()13
αβ-=， （2分） 由32παβπ∈(+)(,2)，且12cos()13
αβ+=，得：5sin()13αβ+=-， （4分） cos 2cos[()()]
cos()cos()sin()sin()121255()()113131313
βαβαβαβαβαβαβ∴=+--=+-++-=⨯-+-⨯=- （8分） 又32παβπ∈(+)(,2)，2παβπ∈(-)(,)，32(,)22
ππβ∴∈， （11分） 于是2βπ=， （13分） 所以2π
β=． （14分）
考点：已知三角函数值求角
19．5665
【解析】∵
4π＜α＜34π，∴ －34π＜－α＜－4π，∴ －2π＜4
π－α＜0. 又cos(4π－α)＝35，∴ sin(4
π－α)＝－45. ∵ 0＜β＜4
π，∴ 34π＜34π＋β＜π. 又sin(34π＋β)＝513，∴ cos(34π＋β)＝－1213. ∴sin(α＋β)＝－cos (2παβ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦＋）＝－cos[(34π＋β)－(4
π－α)]＝ －cos 34πβ⎛⎫+
⎪⎝⎭cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭－sin(34π＋β)·sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭ ＝12354362056135135656565
⎛⎫⎛⎫-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-－-＝＋＝ 20．（1）－2（2）0 【解析】(1)解：f(x)＝sinxcos
74π＋cosxsin 74π＋cosxcos 34π＋sinxsin 34π
＝2sin 4x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，所以T ＝2π，f(x)min ＝－2.
(2)证明：cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45，① cos(β＋α)＝cos αcos β－sin αsin β＝－45.② ①＋②，得cos αcos β＝0，
于是由0＜α＜β≤2π cos β＝0 β＝2
π.
故f(β)β)]2－2＝0。