北京市朝阳区-第一学期期末理科试题

北京市朝阳区高三统一考试
数学试卷 （理科）
．2
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页，共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．
一、选择题 ：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．若 cos 0α>，且tan 0α<，则α是 （ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是 （ ）
A ．若=2
2
a b ，则=a b
B ．若⋅=⋅a b a c ，则b =c
C ．若0⋅a b =，则0a =或0b =
D ．若λ0a =，则λ=0 3．设函数()f x 的图象关于点（2，1）对称，且存在反函数1
()f
x -．若(5)0f =，则
1(2)f -的值是（ ）
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．3
4．已知m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，下列命题中的真命题是 （ ）
A ．如果,,m n m n αβ⊂⊂，那么αβ
B ．如果,,m n αβαβ⊂⊂，那么m
n
C ．如果,,,m n m n αβα
β⊂⊂且共面，那么m ∥n
D ．如果m ∥n ,m α⊥，n β⊥,那么αβ⊥
5．从原点向圆2
2
8120x y y +-+=引两条切线，则两条切线所夹的劣弧的长是 （ ）
A ．
3
π
B ．23π
C ．43π
D ．π
6．若集合}{2
320A x x x =-+<，}{
1B x x a =-<，则“(1,2)a ∈”是“A B ⊆”
的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7． 在R 上可导的函数()f x 的图象如图所示，则关于x '（ ）
Ａ．(1,0)(1,)-+∞ Ｂ．(,1)(0,1)-∞-
Ｃ．(2,1)
(1,2)-- Ｄ．(,2)(2,)-∞-+∞
8．设01,x <<,a b 为大于零的常数，则函数22
()1a b f x x x
=+-的最小值是 （ ）
A ．4ab
B ．()2
a b + C ．()2
a b - D ．()
222a b +
第Ⅱ卷（ 共110分）
注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
题 号
二
三
总分
9
1
0 1
1 12
13
14
15
16 17 18 19 20 分 数
二、填空题 ：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．设i 为虚数单位，(1i)(12i)+-= ． 10．6
()x x
的展开式中常数项是 ． 11．从5名学生中选出3人参加数学、物理、化学三科竞赛，每科1人．若学生甲不能参
得分 评卷人
2
-2 -1 1
y
x
O
加物理竞赛，则不同的参赛方案共有 种(用数字作答)．
12．直线490x y +-=与10x y --=的公共点A 的坐标是 ；设动点P 的坐
标(,)x y 满足约束条件490,10,23170,x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪+-≤⎩
且O 为坐标原点，则OP OA ⋅的最小值
为 ．
13．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点为F ，Q 为双曲线左准线上的
点，且QF 交双曲线于第一象限一点P ，若O 为坐标原点，且OP 垂直平分FQ ，则双曲线的离心率e = ．
14． 给出如下三角形数表： 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6 ……………………
此数表满足：① 第n 行首尾两数均为n ，② 表中数字间的递推关系类似于杨辉三角，即除了“两腰”上的数字以外，每一个数都等于它上一行左右“两肩”上的两数之和．第 (2)n n ≥行第1n -个数是_____________．
三、解答题 ：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边的长分别为,,a b c ，且满足
sin sin cos 0C B A -=． （Ⅰ）求角B 的值；
（Ⅱ）若cos 2A =255，求a b c
+的值．
得分 评卷人
16．（本小题满分13分）
某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：
血型 A B AB O 人数 20 10 5 15
（Ⅰ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A 型的概率； （Ⅱ）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；
（Ⅲ）现有一位血型为A 型的病人需要输血，要从血型为A,O 的学生中随机选出2人准备
献血，记选出A 型血的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
17．（本小题满分14分）
如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AA 1=4，AB =2， E 是棱
CC 1上的一个动 点．
（Ⅰ）求证：BE ∥平面AA 1D 1D ；
（Ⅱ）当CE =1时，求二面角B —ED —C 的大小； （Ⅲ）当CE 等于何值时，A 1C ⊥平面BDE ．
得分 评卷人
得分 评卷人
E
C
D
B
A
A 1
C 1
D 1
B 1
18．（本小题满分13分）
已知数列{}n a 满足11a =，点1(,)n n P a a +在直线10x y -+=上，数列
{}n b 满足()1
2
121111
121333
n n n n nb n b b b ---⎛⎫
⎛⎫+-+⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，n *∈N ．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
19．（本小题满分13分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为2
2，12,F F 分别为椭
圆C 的左右焦点，且2F 到椭圆C 的右准线l 的距离为1，点P 为l 上的动点，直线2PF 交椭圆C 于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）求1F AB ∆的面积S 的取值范围；
（Ⅲ）设22AF F B λ=，AP PB μ=，求证λμ+为定值．
得分 评卷人
得分 评卷人
l
O
F 2
F 1
P B
A y
x
20．（本小题满分14分）
已知函数()2
()1ln 1,0f x x a x a a =---∈≠R ().
（Ⅰ）当8a =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2
[1,1]e e ++上的最小值．
北京市朝阳区高三统一考试 数学试卷答案(理科) ．2
一．选择题: 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
D
A
A
C
C
A
B
B
二．填空题:
9． 3i - 10． 15 11． 48 12．(2,1)； 5 137
14．222
n n -+
三．解答题:
15．解：（Ⅰ） 因为sin sin cos 0C B A -=，所以sin()cos sin A B A B +=．
所以sin cos cos sin cos sin A B A B A B +=．即sin cos A B =0． 在ABC ∆中，sin 0A ≠,所以cos B =0，得90B =． ┅┅┅┅5分
得分 评卷人
（Ⅱ）因为25cos
25A =，所以23cos 2cos 125
A A =-=． 又因为A 是ABC ∆的内角，所以4
sin 5
A =
． 所以4
sin sin 153sin sin 1cos 2
15
a A A
b
c B C A ====++++． ┅┅┅┅13分
16． 解：（Ⅰ）记“这2人血型都为A 型”为事件A ，那么22025038
()245
C P A C ==，
即这2人血型都为A 型的概率是38
245
． ┅┅┅┅4分 （Ⅱ）记“这
2
人血型相同”为事件
B ，那么
222220105152
503502
()12257
C C C C P B C +++===， 所以这2人血型相同的概率是
2
7
． ┅┅┅┅8分 （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为0，1，2．且2152353
(0)17
C P C ξ===，
11201523560(1)119C C P C ξ===，2202
3538
(2)119
C P C ξ===． 所以ξ的分布列是
ξ 0 1 2
P
3
17 60119 38119
ξ的数学期望为E ξ=0×
317+1×60119+2×38119=13681197
=．┅┅┅┅13分
17．解法（一）
（Ⅰ）证明： 由已知，1111ABCD A B C D -为正四棱柱， 所以平面BB 1C 1C ∥平面AA 1D 1D,
又因为BE ⊂平面BB 1C 1C ，
所以，BE ∥平面AA 1D
1D ． ┅┅┅┅4分 （Ⅱ）解：如图1，过C 作CH ⊥ED 于H ，连接BH ．
因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱，所以BC ⊥平面C 1CDD 1. 则CH 是斜线BH 在面C 1CDD 1上的射影,所以BH ⊥ED ．
所以∠BHC 是二面角B —ED —C 的平面角．
在Rt ∆ECD 中，易知CH ED EC CD ⋅=⋅．
因为1,2,5EC CD ED ===
所以5
CH =
． 在Rt ∆BCH 中，2
tan 525
BC BHC CH
∠=
==,所以arctan 5BHC ∠=, 所以,二面角B —ED —C 的大小是59分
（Ⅲ）如图2，连结AC 交BD 于点O,
因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱，AC ⊥BD ，AA 1⊥平面ABCD ，
由三垂线定理可知，A 1C ⊥BD ． 连结B 1C ，因为A 1B 1⊥平面B 1BCC 1，
所以B 1C 是A 1C 在平面B 1BCC 1上的射影． 要使A 1C ⊥平面BDE ，只需A 1C ⊥BE ，由三垂线定理可知，只需1C ⊥BE ． 由平面几何知识可知，
B 1
C ⊥BE ⇔∆BCE ∽∆B 1BC ⇔
1CE BC
BC B B
=． 由已知BB 1=AA 1=4，BC=AB=2，所以22
1214
BC CE B B ===．
即当1CE =时, A 1C ⊥平面BDE ． ┅┅┅┅14分
解法（二）建立空间直角坐标系A —xyz ，如图． （Ⅰ）证明： 依题意可设E （2，2，z ）,
因为B （2，0，0）, 所以BE =（0，2，z ）．
又因为 (2, 0, 0)AB =, AB 为平面AA 1D 1D 的法向量． 且(2,0,0)(0,2,)0BE AB z ==， 所以BE AB ⊥， 而BE ⊄平面AA 1D 1D ，
所以，BE ∥平面AA 1D 1D ．
（Ⅱ）因为CE=1，所以E （2，2，1）,又B （2,0,0）,D(0,2,0), 所以BE =（0，2，1）, (2,2,0)BD =-．
E
O
y E
z C
D
B
A
A 1 C 1
D 1
B 1
E
O
C
D
B
A A 1
C 1
D 1
B 1
图2
设平面BDE 的法向量为(,,1)n x y =,
由BE 0,BD 0.⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得210220
y x y +=⎧⎨-+=⎩ 所以1,2
1.2
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
所以1
1(,,1)22
=--n ．又AD ⊥面11CC D D ,所以AD 为平面CDE 的法向量． 因为(0,2,0)AD =,所以6
cos ,611
41
44
AD =
=-⋅++n ． 由图可知,二面角的平面角小于90︒,所以二面角B —ED —C 的大小是6arccos 6
（Ⅲ）解：连结AC 交BD 于点O ．
因为1111ABCD A B C D -为正四棱柱，
所以AC ⊥BD ．
要使A 1C ⊥平面BDE ，只需A 1C ⊥BE ．
由题意B （2，0，0），C （2，2，0），A 1（0，0，4）， 设CE=x ，则E （2，2，x ），
所以 (0, 2, )BE x =, 1
(2, 2, 4)AC =-． 由1
0BE AC =，得(0, 2, )(2, 2, 4)0 2 22(4)440x ++x x -=⨯⨯⨯-=-=， 解得1x =． 所以CE=1时，A 1C ⊥平面BDE ．
18． 解：（Ⅰ）由点1(,)n n P a a +在直线10x y -+=上，所以11n n a a +-=． 则数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以n a n =．
由()1
2
121111
121333
n n n n nb n b b b ---⎛⎫⎛⎫+-+⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，
则()()12121-++-+-n b b n b n = 2
11
133
n -⎛⎫
+
++ ⎪
⎝⎭
，(2n ≥) 两式相减得：
1121()3n n b b b -++
+=,2n ≥．即数列{}n b 的前n 项和11
()3
n n S -=,2n ≥．
当1n =时，111b S ==，所以1
1()3n n S -=.
当2n ≥时，1
2211121
()
()()3
333
n n n n n n b S S ----=-=-=-⋅． 所以1,(1)
6,(2)3n n
n b n =⎧⎪
=⎨-≥⎪⎩． ┅┅┅┅7分
（Ⅱ）因为n n n c a b =-，所以1,(1)
6,(2)3
n n
n c n n -=⎧⎪
=⎨≥⎪⎩．
当1n =时，11n T T ==-， 当2n ≥时，
设234626364613333n n n T ⨯⨯⨯⨯=-+
++++23423416()3333n
n
=-+++++． 令2342343333n n T =++++，则345112341333333
n n n n T +-=+++++，
两式相减得：22341111(1)
22111227313333339313
n n n n n n T -++-=++++-=+--
151118233n n n +=-⋅-， 所以5311124323
n n n
T =-⋅-⋅．
因此n T 23423416()3333n n
=-+++++
5311319316()1243232233
n n n n n n
=-+-⋅-⋅=-⋅-，2n ≥． ┅┅┅┅13分
又1n =时，11T =-也满足上式，故n T 31932233
n n n
=-⋅-.
19． 解：（Ⅰ）由题意得 2
2222
,2,1,c a a b c a c c ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪-=⎪⎩
解得2a =1b =，1c =，所以椭圆C 的方
程为2
212
x y +=． ┅┅┅┅4分 （Ⅱ）因为右准线l 的方程为2
2a
x c
=
=，所以可设动l
O
F 2
F 1
P B
A
y
x
点P 的坐标为(2,)m ，由（Ⅰ）知焦点12,F F 的坐标分别(1,0),(1,0)-，
所以直线2PF 的方程为(1)y m x =-．
设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 由22(1),1,2
y m x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4220m x m x m +-+-=， 于是2122412m x x m +=+，21222212m x x m
-=+． 所以222
1212222(1)||()()12m AB x x y y m +=-+-=+． 点1F 到直线2PF 的距离21d m =+
所以1F AB ∆的面积2
2
12|1||212m m S AB d m +==+， 22222
2222228(1)2(12)222(12)(12)(12)m m m S m m m ++-===-+++， 由题知m ∈R 且0m ≠，于是02S <<，
故1F AB ∆的面积S 的取值范围是2)． ┅┅┅┅9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）及22AF F B λ=，AP PB μ=，得
1122(1,)(1,)x y x y λ--=-，1122(2,)(2,)x m y x y m μ--=--， 于是1211x x λ-=-，1222
x x μ-=-， 所以1112122222123()2412(1)(2)x x x x x x x x x x λμ--+--+=
+=----． 因为2212122212443()24401212m m x x x x m m
-+--=--=++， 所以0λμ+=，即λμ+为定值0． ┅┅┅┅14分
20．（Ⅰ）解：⑴当1x >时, 2
()(1)8ln(1)f x x x =---, 282(1)8'()2(1)11
x f x x x x --=--=--． 由'()0f x >得22(1)80x -->, 解得3x >或1x <-．
注意到1x >,所以函数()f x 的单调递增区间是(3,)+∞．
由'()0f x <得22(1)80x --<,解得13x -<<,
注意到1x >,所以函数()f x 的单调递减区间是(1,3)．
⑵当1x <时，2()(1)8ln(1)f x x x =---，
282(1)8'()2(1)11x f x x x x
--+=-+=--， 由'()0f x >得2
2(1)80x --<,解得13x -<<，
注意到1x <,所以函数()f x 的单调递增区间是(1,1)-．
由'()0f x <得22(1)80x -->,解得3x >或1x <-，
由1x <,所以函数()f x 的单调递减区间是(,1)-∞-．
综上所述，函数()f x 的单调递增区间是(1,1)-，(3,)+∞；
单调递减区间是(,1)-∞-，(1,3)． ┅┅┅┅5分
（Ⅱ）当2[1,1]x e e ∈++时,2()(1)ln(1)f x x a x =---， 所以222(1)242'()2(1)111
a x a x x a f x x x x x ---+-=--==---， 设2()242g x x x a =-+-.
⑴当0a <时，有0∆<, 此时()0g x >,所以'()0f x >,()f x 在2
[1,1]e e ++上单调递增．
所以2min ()(1)f x f e e a =+=- ⑵当0a >时,1642(2)80a a ∆=-⨯-=>．
令'()0f x >,即22420x x a -+->,解得212a x >+或212
a x <-舍); 令'()0f x <,即2
2420x x a -+-<,解得221122a a x -<<+． ①若22112
a e +≥+,即42a e ≥时, ()f x 在区间2[1,1]e e ++单调递减， 所以24min ()(1)2f x f e e a =+=-． ②若221112a e e +<+
<+,即2422e a e <<时, ()f x 在区间2[1,1]2a e ++上单调递减, 在区间22[1,1]2a e ++上单调递增,所以min 22()(1ln 222a a a f x f a =+=-． ③若2112
a e +≤+,即202a e <≤时, ()f x 在区间2[1,1]e e ++单调递增， 所以2min ()(1)f x f e e a =+=-．
综上所述,当0a <或202a e <≤时, 2min ()(1)f x f e e a =+=-;
当2422e a e <<时, min 2()ln 22
a a f x a =-; 当42a e ≥时, 4min ()2f x e a =-． ┅┅┅┅13分。