2019-2020学年湖南省益阳市新桥中学高三数学理期末试题含解析

2019-2020学年湖南省益阳市新桥中学高三数学理期末
试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “”是“过坐标原点”（）
（A）充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件
（C）充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件
参考答案：
A
2. 如图程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“mMOD n”表示m除以n的余数），若输入的m，n分别为72，15，则输出的
m=（）
A．12 B．3 C．15 D．45
参考答案：
B
【分析】由已知中的程序框图知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量m的值；模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：模拟执行程序，可得
m=72，n=15
执行循环体，r=12，m=15，n=12
不满足条件r=0，执行循环体，r=3，m=12，n=3
不满足条件r=0，执行循环体，r=0，m=3，n=0
满足条件r=0，退出循环，输出的m值为3，
故选：B．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，是基础题．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A. B. C.2 D.4
参考答案：
B
4. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为
A． B． C． D．
参考答案：
C
做出约束条件对应的可行域如图，，由得。

做直线，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，所以最大值，选C.
5. 已知曲线C上任意一点到两定点、的距离之和是4，且曲
线C的一条切线交x、y轴交于A、B两点，则的面积的最小值为
A. 4
B.
C. 8
D. 2
参考答案：
D
6. 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（A）3 （B）4 （C）
（D）
参考答案：
C
7. 已知，是相异两平面，是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A．若则 B. 若，则
C．若，则 D.若，则
参考答案：
D
8. 若函数满足，则的值为（）
A. B. C.0 D.
参考答案：
C
略
9. 函数在上的图象大致是
参考答案：
.
定义域关于原点对称，因为，所以函数为定义域内的奇函数，可排除，；因为，
，可排除.故选.
【解题探究】本题考查函数图象的识别. 求解这类问题一般先研究函数的奇偶性、单调性，如果借助函数的这些性质还不能够区分图象时，不妨考虑取特殊点（或局部范围）使问题求解得到突破．
10. 下列命题中正确的是( )
（1）已知为纯虚数的充要条件
（2）当是非零实数时，恒成立
（3）复数的实部和虚部都是
（4）设的共轭复数为，若
A. （1）（2）
B. （1）（3）
C. （2）（3）
D. （2）（4）
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设，其中满足约束条件，若的最小值，则
k的值为_____________.
参考答案：
1
略
12. 已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱和底面垂直，且所有棱长都相等，若该三棱柱的各顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则此三棱柱的体积为．
参考答案：
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】通过球的内接体，说明几何体的中心是球的直径，由球的表面积求出球的半径，设出三棱柱的底面边长，通过解直角三角形求得a，然后由棱柱的体积公式得答案．
【解答】解：如图，
∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，6个顶点都在球O的球面上，
∴三棱柱为正三棱柱，且其中心为球的球心，设为O，
再设球的半径为r，由球O的表面积为7π，得4πr2=7π，∴r=．
设三棱柱的底面边长为a，则上底面所在圆的半径为a，且球心O到上底面中心H的距离OH=，
∴r2=（）2+（a）2，即r=a，
∴a=．
则三棱柱的底面积为S==．
∴
==．
故答案为：．
【点评】本题考查球的内接体与球的关系，球的半径的求解，考查计算能力，是中档题．
13. （5分）（2013?广州一模）已知a ＞0，a≠1，函数若函数
f （x ）在[0，2]上的最大值比最小值大，则a
的值为 ．
参考答案：
或
而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1
），所以函数的最小值为f（2）=﹣2+a
因此，﹣2+a+=1，解之得a=∈（0，1）符合题意；
②当a＞1时，可得
在[0，1]上，f（x）=a x是增函数；且在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是减函数
∵f（1）=a＞﹣1+a，∴函数的最大值为f（1）=a
而f（2）=﹣2+a，f（0）=a0=1，可得
i）当a∈（1，3]时，﹣2+a＜1，得f（2）=﹣2+a为函数的最小值，
因此，﹣2+a+=a矛盾，找不出a的值．
ii）当a∈（3，+∞）时，﹣2+a＞1，得f（0）=1为函数的最小值，
因此，1+=a，解之得a=∈（3，+∞），符合题意．
综上所述，实数a的值为或
故答案为：或
14. 已知函数在区间(0,1)上是减函数，则实数a的取值范围是 .
参考答案：
略
15. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数________的图象.
参考答案：
略
16. 展开式中的系数为10，则实数a等于
参考答案：
2
17. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是__________．
参考答案：
∵命题“，”是假命题，
则命题“，”是真命题，
则，解得，
则实数的取值范围是．
故答案为．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xoy，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．
（1）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（2）已知C1与C2的交于A，B两点，且AB过极点，求线段AB的长．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）由曲线C1的参数方程求出C1的普通方程，从而得到C1为以C1（，0）为圆心，以a为半径的圆，由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出C1的极坐标方程．（2）法一：，相减得公共弦方程，由AB 过极点，求出公共弦方程为=0，求出C2（0，1）到公共弦的距离为d，由此能求出线段AB的长．
法二：由已知得与ρ2=2ρsinθ+6为ρ的同解方程，从而或θ=．由此能求出线段AB的长．
【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．
∴C1的普通方程为，
∴C1为以C1（，0）为圆心，以a为半径的圆，
由ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，得C1的极坐标方程为
．
（2）解法一：∵曲线．
∴，
二者相减得公共弦方程为，
∵AB过极点，∴公共弦方程过原点，
∵a＞0，∴a=3，∴公共弦方程为=0，
则C2（0，1）到公共弦的距离为d==．
∴．
解法二：∵AB：θ=θ0，
∴与ρ2=2ρsinθ+6为ρ的同解方程，
∴或θ=．
∴．
19. (本小题满分12分) 已知数列的前项和为，为等比数列，且
．
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
参考答案：
20. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，cosA﹣cos2A=0．（1）求角C；
（2）若b2+c2=a﹣bc+2，求S△ABC．
参考答案：
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）根据二倍角公式即可求出A，再根据三角形的内角和定理即可求出C，（2）根据余弦定理和b2+c2=a﹣bc+2，求出a，再根据两角差的正弦公式即可求出sinC，再由正弦公式和三角形的面积公式即可求出
【解答】解：（1）因为cosA﹣cos2A=0，
所以2cos2A﹣cosA﹣1=0，
解得cosA=﹣，cosA=1（舍去）．
所以，
又，
所以．
（2）在△ABC中，因为，由余弦定理
所以a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2+bc，
又b2+c2=a﹣bc+2，
所以a2=a+2，
所以a=2，
又因为，
由正弦定理
得，
所以．
21. 本小题满分12分）各项均为正数的等比数列中，．
（Ⅰ）求数列通项公式；
（Ⅱ）若等差数列满足，求数列的前项和．
参考答案：
由条件知……………………2分
………… 4分
（2）设数列公差为，则，…………6分
……………
………8分
……………………10分
……………………12分
略
22. 已知函数。

（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围。

参考答案：
（1）由题设知：，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
，或，或
解得函数的定义域为。

（2）不等式即，
时，恒有，因为不等式解集是R，
所以，因此的取值范围是（－∞，－1]。