高中数学必修三分点突破式导学案4：1.3算法案例

第一课时辗转相除法与更相减损术法
学习目标
1.理解辗转相除法与更相减损术法的原理；
2.会用辗转相除法与更相减损术法求两个正整数的最大公约数；
3.独立思考、合作探究，通过模仿、操作、探索，激发学习的兴趣.
学习重点：辗转相除法与更相减损术法的原理与用辗转相除法与更相减损术法求两个正整数的最大公约数
学习难点：求最大公约数的程序语言
课前预习案
一．相关知识
1.什么最大公约数？
2.在小学，我们是如何求两个正整数的最大公约数（例如12与16的最大公约数是多少）？二．教材助读
阅读教材P34-P37的思考为止内容，回答下面问题
1.辗转相除法也叫做______________________法.
2.课本P34例如“用辗转相除法求8251与6105的最大公约数”中，大数8251除以小数6105得到商和余数
8251=6105×1+2146
由此可以看出6105与2146的公约数也是8251与6105的公约数，反过来，8251与6105的公约数也是6105与2146的公约数，所以它们的最大公约数相等.如何理解这段话？
3.辗转相除法的步骤有哪些?在什么情况下停止做除法？
4.我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是______________法.《》是中国古代的数学专著，其中的“__________________”也可以用来求两个正整数的最大公约数.即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下：任意给出两个正整数
第一步，____________________________;
第二步，_____________________________,接着把所得的差与较小的数比较，并以_______ ____________,继续这个操作，直到________________________为止，则这个数或这个数与约简的数的乘积就是所求的___________________.
5.用更相减损术法求最大公约数时，什么情况下停止减法运算？
三．预习自测
1.两个整数324与135的最大公约数是（）
A.81
B.54
C.27
D.9
2.用辗转相除法求294与84的最大公约数时，需要做除法的次数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
3.用更相减损术求294与84的最大公约数时，需要做的减法次数是（）
A.3
B.4
C.5
D.6
课堂探究案
探究一.辗转相除法与更相减损术的理解
问题1.辗转相除法的步骤有哪几步（请用字母表示说明）？
问题2. 更相减损术求两个正整数的最大公约数时，什么时候停止减法运算，最大公约数是什么？
问题3. 辗转相除法与更相减损术的区别是什么？
问题4.如何求a,b,c的最大公约数？
探究二.用辗转相除法求最大公约数（重点）
例1.写出用辗转相除法求123与48的最大公约数的算法步骤,并写出程序.
变式练习：当输入168，72时，下面程序输出的结果是（）
A.168
B.72
C.36
D.24
拓展提升求1734，816，1343的最大公约数.
探究三.用更相减损术求最大公约数（重点）
例2. 用更相减损术求80和36的最大公约数.（写出步骤）
练习：分别用辗转相除法和更相减损术求3869与6497的最大公约数.
拓展提升：用辗转相除法或者用更相减损术求三个数324，243，135的最大公约数. 课后练习案：
1.若m MOD 3=2，则m的取值可以为（）
A．2010 B．2011 C．2012 D．2013
2.用辗转相除法求1248和585的最大公约数
3.用更相减损术求1248和585的最大公约数
4.有甲、乙、丙三种溶液，质量分别为147g、343g、133g，现要将它们全部放入小瓶中。

每个瓶装入液体的质量相同.试问要使所用小瓶数最少，则每瓶应装多少克溶液？
【课后反思】
第二课时 秦九韶算法
学习目标：
（1）在学习中国古代数学中的算法案例的同时，进一步体会法的特点。

（2）体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。

学习重点和难点：
（1）重点：理解秦九韶算法的思想。

（2）难点：用循环结构表示算法的步骤。

学习过程； 一、新课引入
在数学的发展史上，从公元前2、3世纪公元14世纪，中国的数学虽有过高潮，也有过低落，但一直走在世界的前列，是世界数学的中心。

中国古代数学对世界数学发展有着不可磨灭的贡献。

秦九韶算法就是中国古代数学的一枝奇葩。

今天这节课我们领略秦九韶算法的魅力。

二、自主探究+教师作关键性的引导
（1）设计求多项式763452)(2
3
4
5
+-+--=x x x x x x f 当x =5时的值的算法，并写出程序。

（2）有没有更高效的算法？能否探求更好的算法，来解决任意多项式的求解问题？ T 引导学生把多项式变形为：
7
)6)3)4)52((((763452)(2345+-+--=--+--=x x x x x x x x x x x f
并提问：从内到外，如果把每一个括号都看成一个常数，那么变形后的式子中有哪些“一次式”？x 的系数依次是什么？
（3）若将x 的值代入变形后的式子中，那么求值的计算过程是怎样的？
最后得系数2677即为所求的值。

三、合作探究+教师作关键性的引导 （4）让学生描述上述计算过程。

（5）用秦九韶算法求多项式的值，与多项式组成有直接关系吗？用秦九韶算法计算上述多项式的值，需要多少次乘法运算和多少次加法运算？
（6）秦九韶算法适用于一般的多项式0111)(a x a x a x a x f n n n n ++⋅⋅⋅++=--的求值问题
吗？
（7）T 引导S 思考：把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题，即求：
132321211a x v v a x v v a x v v a x a v n n n n n n +=⋅
⋅⋅+=+=+=---- 的值的过程，共做了多少次乘法运算，多少次加法运算？
（8）怎样用程序框图表示秦九韶算法？观察秦九韶算法的数学模型，计算k v 时要用到
1-k v 的值，若令
n a v =0，我们可以得到下面的递推公式：
),2,1(10n k a x v v a v k n k k
n ⋅⋅⋅=⎩⎨
⎧
+==-- 这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用循环结构来实现。

请画出程序框图。

（9）小结：通过对秦九韶算法的学习，你对算法本身有哪些进一步认识？ 四、巩固提高
1、利用秦九韶算法求多项式115372
3+-+x x x 在23=x 的值时，在运算中下列哪个值
用不到（）
A.164
B.3767
C.86652
D.85169
2、利用秦九韶算法求多项式1352.75.38123)(2
3
4
5
6
-++-++=x x x x x x x f 在
2=x 的值，写出详细步骤。

3、下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的 结果s 表示（）
A.3210a a a a +++的值
B.3
00201032x a x a x a a +++的值 C.3
03202010x a x a x a a +++的值 D.以上都不对
五、作业和小结 小结：（T 引导S 总结） 作业：习题1.3 A 组第2题
第三课时 进位制
知识目标:了解各种进位制与十进制之间转换的规律，会利用各种进位制与十进制之间的
联系进行各种进位制之间的转换。

技能目标:学习各种进位制转换成十进制的计算方法，研究十进制转换为各种进位制的除k
取余法，并理解其中的数学规律。

情感态度价值观:领悟十进制，二进制的特点，了解计算机的电路与二进制的联系，进一
步认识到计算机与数学的联系。

重点:各进位制表示数的方法及各进位制之间的转换
难点:除k 取余法的理解以及各进位制之间转换的程序框图的设计 教学过程及方法 一．复习引入
在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，据说这与古人曾以手指计数有关，爱好天文学的古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制，至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分的历法.今天我们来学习一下进位制. 二．研探新知 探究一: 进位制的概念
思考1:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，如逢十进一，就是十进制；每七
天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等.一般地，“满k 进一”就是k 进制，其中k 称为k 进制的基数.那么k 是一个什么范围内的数？
思考2:十进制使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？类
比十进制的进位规律，写出二进制、五进制、七进制下的前10个数？
思考3:在十进制中10表示十，在二进制中10表示2.一般地，若k 是一个大于1的整数，
则以k 为基数的k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：
)(011k n n a a a a Λ-其中各个数位上的数字n a ,1-n a ,…，
1a ，0a 的取值范围如何？
思考4:十进制数4528表示的数可以写成0123108102105104⨯+⨯+⨯+⨯，依此类比，
二进制数)
2(110011
,八进制数)8(7342分别可以写成什么式子？
思考5:一般地，如何将k 进制数)(011k n n a a a a Λ-写成各数位上的数字与基数k 的幂的乘
积之和的形式？
探究二:k 进制化十进制的算法
【例1】二进制数110011（2）化为十进制数是什么数？
结合例1中把二进制数化为十进制数的方法，如果要设计出把k 进制数a 转化为十进制数b 的算法框图与程序，我们要考虑以下几个关键点：
思考1:此算法框图主要设计成什么结构？
思考2:类比分别提取3721个位、十位、百位、千位上数字的方法，如何把数a 从右到左的每一位上数字逐个提取出来？
思考3:设计出把k 进制数a 转化为十进制数b 一个程序的循环体？
探究三：除k 取余法
【例2】十进制数89化为二进制数是什么数？
思考1:假如89化为二进制数可以待定成89=a 626+a 525+…+a 121+a 0=a 6a 5a 4a 3a 2a 1a 0( 2) ,如何
把系数a 0,a 1,…,a 6逐个提取出来？并完成例2。

上述化十进制数为二进制数的算法叫做除2取余法，转化过程有些累赘，我们可以优化过
程为：
上述方法也可以推广为把十进制数化为k进制数的算法，称为除k取余法。

思考2：将137（10）转化为六进制的数？
思考3：将53（8）转化为二进制的数？
三．教学小结
（1）熟练掌握各种进位制之间转化的方法（除k取余法）
（2）理解算法程序与进位制的关系.。