武汉实验外国语学校初中部八年级数学上册第二单元《全等三角形》测试卷(包含答案解析)

一、选择题
1．如图已知ABC ∆中，12AB AC cm ==，B C ∠=∠，8BC cm =，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以2/cm s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v ，则当BPD ∆与CQP ∆全等时，v 的值为（ ）
A ．1
B ．3
C ．1或3
D ．2或3 2．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3．如图，OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，延长CP ，DP 交OB ， OA 于点E ，F ，下列结论错误的是（ ）
A ．PC PD =
B ．O
C O
D = C ．CPO DPO ∠=∠ D ．PC P
E =
4．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（ ）
A ．HL
B ．SSS
C ．SAS
D ．ASA 5．如图，AB AC =，AD A
E =，55A ︒∠=，35C ︒∠=，则DOE ∠的度数是（ ）
A ．105︒
B ．115︒
C ．125︒
D ．130︒ 6．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝5cm ，在AC 上取一点
E ，使EC ＝BC ，过点E 作E
F ⊥AC ，连接CF ，使CF ＝AB ，若EF ＝12cm ，则下列结论不正确的是（ ）
A ．∠F ＝∠BCF
B ．AE ＝7cm
C ．EF 平分AB
D ．AB ⊥CF 7．下列说法不正确的是（ ）
A ．三边分别相等的两个三角形全等
B ．有两边及一角对应相等的两个三角形全等
C ．有两角及一边对应相等的两个三角形全等
D ．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
8．如图，AB 与CD 相交于点E ，AD=CB ，要使△ADE ≌△CBE ，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是（ ）
A ．AE=CE ；SAS
B ．DE=BE ；SAS
C ．∠D=∠B ；AAS
D ．∠A=∠C ；ASA
9．下列命题中，假命题是（ ） A ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行
B ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
C ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等
D ．一边长相等的两个等腰直角三角形全等
10．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC 的是（ ）
A ．A
B ＝3，B
C ＝4，∠C ＝40°
B ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4
C ．∠C ＝90°，AB ＝6
D ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°
11．如图，AC 与DB 相交于E ，且BE CE =，如果添加一个条件还不能判定ABE △≌DCE ，则添加的这个条件是（ ）．
A ．AC D
B = B ．A D ∠=∠
C ．B C ∠=∠
D ．AB DC = 12．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），当△ACP 与△BPQ 全等时，则点Q 的运动速度为（ ）cm/s ．
A ．0.5
B ．1
C ．0.5或1.5
D ．1或1.5
二、填空题
13．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB 上一点，那么CE 长度的最小值是___________．
14．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，12AB =，5BC =，射线AP AB ⊥于点A ，点E 、D 分别在线段AB 和射线AP 上运动，并始终保持DE AC =，要使ABC 和DAE △全等，则AE 的长为______．
15．如图所示，在ABC 中，D 是BC 的中点，点A 、F 、D 、E 在同一直线上．请添加一个条件，使BDE CDF ≌（不再添其他线段，不再标注或使用其他字母），并给出证明．你添加的条件是______
16．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 为BC 上一点，连接AD ，过D 点作DE ⊥AB ，且DE =DC ．若AB =5，AC =3，则EB =____．
17．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，以顶点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交
AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若3CD =，10AB =，则ABD △的面积是
______．
18．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件， 能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．
19．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．
20．如图，ABC ∆的两条高AD 、CE 交于点H ，已知6EH EB ==，8AE =，则ACH ∆的面积为______．
三、解答题
21．如图，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，A D ∠=∠，//AB DE ，BE CF =．求证：//AC DF ．
22．如图，,AD BF 相交于点,//,O AB DF AB DF =，点E 与点C 在BF 上，且BE CF =．
（1）求证：ABC DFE ∆≅∆；
（2）求证：点О为BF 的中点．
23．如图，点E 在线段BD 上，已知,,AB AC AD AE BE CD ===．
（1）求证：BAC EAD ∠=∠．
（2）写出123∠∠∠、、之间的数量关系，并予以证明．
24．如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，AC ＝CE ，∠ACD ＝∠B ． 求证：△ABC ≌△CDE ．
25．如图，在△ABC 中，90ACB ∠=︒，AC ＝BC ，BE ⊥CE 于E ，AD ⊥CE 于D ． （1）求证：AD ＝CE
（2）AD ＝6cm ，DE ＝4cm ，求BE 的长度
26．如图，∠ACB 和∠ADB 都是直角，BC ＝BD ，E 是AB 上任意一点．
（1）求证：△ABC ≌△ABD ．
（2）求证：CE ＝DE ．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
设运动时间为t 秒，由题目条件求出BD=12
AB=6，由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，然后结合全等三角形的判定方法，分两种情况列方程求解．
【详解】
解：设运动时间为t 秒，
∵12AB AC cm ==，点D 为AB 的中点．
∴BD=12
AB=6， 由题意得BP=2t ，则CP=8-2t ，CQ=vt ，
又∵∠B=∠C
∴①当BP=CQ ，BD=CP 时，BPD ∆≌CQP ∆
∴2t=vt ，解得：v=2
②当BP=CP ，BD=CQ 时，BPD ∆≌CPQ ∆
∴8-2t=2t ，解得：t=2
将t=2代入vt=6，解得：v=3
综上，当v=2或3时，BPD ∆与CQP ∆全等
故选：D
【点睛】
本题主要考查了全等三角形全等的判定、熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．B
解析：B
【分析】
先根据全等三角形的判定定理得出△ACD ≌△ACB ，△ABO ≌△ADO ，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：在△ABC 和△ADC 中，
∵AB AD BC CD AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABC ≌△ADC （SSS ），
∴∠BAC=∠DAC ， ∠DCA=∠BCA
∴点O 到CB 、CD 的距离相等．故②正确
在△ABO 与△ADO 中
AB AD BAC DAC OA OA ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△ABO ≌△ADO （SAS ），
∴BO=DO ，∠BOA=∠DOA
∵∠BOA+∠DOA=180°
∴∠BOA=∠DOA=90°，即BD AC ⊥
故①④正确；
∵AD≠CD
∴BDA BDC ∠≠∠，故③错误
所以，正确的结论是①②④，共3个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
根据角平分线的性质定理判断A 选项；证明△OPC ≌△OPD 判断B 选项；根据△OPC ≌△OPD 即可判断C 选项；证明△DPE ≌△CPF 判断D 选项．
【详解】
∵OP 平分AOB ∠，PC OA ⊥于点C ，PD OB ⊥于点D ，
∴PC=PD ，故A 选项正确；
∵∠ODP=∠OCP=90︒，
又∵OP=OP ，PC=PD ，
∴Rt △OPC ≌Rt △OPD ，
∴OC=OD ，故B 选项正确；
∵△OPC ≌△OPD ，
∴CPO DPO ∠=∠，故C 选项正确；
∵∠PDE=∠PCF=90︒，PD=PC ，∠DPE=∠CPF ，
∴△DPE ≌△CPF ，
∴PE=PF ，
∵PF>PC ，
∴PE>PC ，故D 选项错误；
故选：D ．
【点睛】
此题考查三角形角平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
利用垂直得到90PMO PNO ∠=∠=，再由OM ON =，OP OP =即可根据HL 证明()HL ≌PMO PNO △△，由此得到答案.
【详解】
∵PM OA ⊥，PN OB ⊥，
∴90PMO PNO ∠=∠=．
∵OM ON =，OP OP =，
∴()HL ≌
PMO PNO △△， ∴POA POB ∠=∠，
故选：A ．
【点睛】
此题考查三角形全等的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.
5．C
解析：C
【分析】
先判定△ABE ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质，得出∠B=∠C=35︒，由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】
在△ABE 和△ACD 中，
AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△ACD （SAS ），
∴∠B=∠C ，
∵∠C=35︒，
∴∠B=35︒，
∴∠OEC=∠B+∠A=355590︒+︒=︒，
∴∠DOE=∠C+∠OEC=3590125︒+︒=︒，
故选：C ．
【点睛】
本题考察全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
6．C
解析：C
【分析】
证明EF ∥BC 即可得到A 正确，证明()Rt ACB Rt FEC HL ≅，得AC ＝EF ＝12cm ，CE ＝BC ＝5cm ，得到B 正确，根据∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°即可证明D 正确．
【详解】
解：∵EF ⊥AC ，∠ACB ＝90°，
∴∠AEF ＝∠ACB ＝90°，
∴EF ∥BC ，
∴∠F ＝∠BCF ，故A 正确；
在Rt ACB 和Rt FEC 中，
CB EC AB FC
=⎧⎨=⎩， ∴()Rt ACB Rt FEC HL ≅，
∴AC ＝EF ＝12cm ，
∵CE ＝BC ＝5cm ，
∴AE ＝AC ﹣CE ＝7cm ．故B 正确；
如图，记AB 与EF 交于点G ，
如果AE ＝CE ，
∵EF ∥BC ，
∴EG 是△ABC 的中位线，
∴EF 平分AB ，
而AE 与CE 不一定相等，
∴不能证明EF 平分AB ，故C 错误；
∵Rt ACB Rt FEC ≅，
∴∠A ＝∠F ，
∴∠A ＋∠ACD ＝∠F ＋∠ACD ＝90°，
∴∠ADC ＝90°，
∴AB ⊥CF ，故D 正确．
∴结论不正确的是C ．
故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定定理． 7．B
解析：B
【分析】
直接利用三角形全等的判定条件进行判定，即可求得答案；注意而SSA是不能判定三角形全等的.
【详解】
解：A，三边分别相等的两个三角形全等，故本选项正确；
B，两边和一个角对应相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误；
C，两个角和一个边对应相等的两个三角形，可利用ASA或AAS判定全等，故本选项正确；
D，斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，故本选项正确．
故选：B
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定．注意普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．
8．C
解析：C
【分析】
根据三角形全等的判定方法结合全等的判定方法逐一进行来判断．
【详解】
解：A.添加AE=CE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
B.添加DE=BE后，根据已知两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等；故不符合题意；
C.添加∠D=∠B，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项符合题意；
D.添加∠A=∠C，根据AAS可证明△ADE≌△CBE，故此选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA．关键在于应根据所给的条件判断应证明哪两个三角形全等．
9．D
解析：D
【分析】
根据垂线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】
A、同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，真命题，本选项不符合题意；
B、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真命题，本选项不符合题意；
C、一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形，首先根据“HL”定理，可判断两个小直角三角形全等，可得另一条直角边相等，然后，根据“SAS”，可判断两个直
角三角形全等，真命题，本选项不符合题意；
D、有一边相等的两个等腰直角三角形不一定全等，如：一个等腰直角三角形的直角边与另一个等腰直角三角形的斜边相等，这两个等腰直角三角形并不全等，假命题，本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
10．B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】
解：A、根据AB＝3，BC＝4，∠C＝40°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
B、∠A＝60°，AB＝4，∠B＝45°，能画出唯一△ABC，故此选项符合题意；
C、∠C＝90°，AB＝6，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
D、AB＝4，BC＝3，∠A＝30°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
11．D
解析：D
【分析】
根据全等三角形的判定定理，对每个选项分别分析、解答出即可．
【详解】
根据题意：BE=CE，∠AEB=∠DEC，
∴只需要添加对顶角的邻边，即AE=DE（由AC=BD也可以得到），
或任意一组对应角，即∠A=∠D，∠B=∠C，
∴选项A、B、C可以判定，选项D不能判定，
故选：D．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定定理，熟记判定定理并熟练应用是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
设点Q的运动速度是x cm/s，有两种情况：①AP=BP，AC=BQ，②AP=BQ，AC=BP，列出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：设点Q的运动速度是x cm/s，
∵∠CAB=∠DBA，
∴△ACP与△BPQ全等，有两种情况：
①AP=BP，AC=BQ，
则1×t=4-1×t，则3=2x，
解得：t=2，x=1.5；
②AP=BQ，AC=BP，
则1×t=tx，4-1×t=3，
解得：t=1，x=1，
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定的应用，以及一元一次方程的应用，掌握方程的思想和分类讨论思想是解此题的关键．
二、填空题
13．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时CE的长度最小∵点C在∠AOB的平分线上CD⊥OA∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目
解析：2
【分析】
根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解．
【详解】
解：如图，
由垂线段最短定理可知：当CE⊥OB时，CE 的长度最小，
∵点C在∠AOB 的平分线上，CD⊥OA，
∴CE=CD=2，
故答案为2 ．
【点睛】
本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．
14．5或12【分析】本题要分情况讨论：①Rt△ABC≌Rt△DAE此时AE=BC=5
可据此求出E 点的位置②Rt △CBA ≌Rt △DAE 此时AE=AB=12EB 重合【详解】解：①当AE=CB 时∵∠B=∠EA
解析：5或12
【分析】
本题要分情况讨论：①Rt △ABC ≌Rt △DAE ，此时AE=BC=5，可据此求出E 点的位置．②Rt △CBA ≌Rt △DAE ，此时AE=AB=12，E 、B 重合．
【详解】
解：①当AE=CB 时，
∵∠B=∠EAP=90°，
在Rt △ABC 与Rt △DAE 中，
AE CB DE AC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ABC ≌Rt △DAE （HL ），
即AE=BC=5；
②当E 运动到与B 点重合时，AE=AB ，
在Rt △CBA 与Rt △DAE 中，
AE AB DE AC =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △CBA ≌Rt △DAE （HL ），
即AE=AB=12，
∴当点E 与点B 重合时，△CBA 才能和△DAE 全等．
综上所述，AE=5或12．
故答案为：5或12．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
15．ED=FD （答案不唯一∠E=∠CFD 或∠DBE=∠DCF ）【分析】根据三角形全等的判定方法SAS 或AAS 或ASA 定理添加条件然后证明即可【详解】解：∵D 是的中点∴BD=DC①若添加ED=FD 在△BD
解析：ED=FD （答案不唯一，∠E=∠CFD 或∠DBE=∠DCF ）
【分析】
根据三角形全等的判定方法SAS 或AAS 或ASA 定理添加条件，然后证明即可．
【详解】
解：∵D 是BC 的中点，
∴BD=DC
①若添加ED=FD
在△BDE和△CDF中，
BD CD
BDE CDF ED FD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BDE≌△CDF（SAS）；
②若添加∠E=∠CFD
在△BDE和△CDF中，
BDE CDF
E CFD
BD CD
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BDE≌△CDF（AAS）；
③若添加∠DBE=∠DCF
在△BDE和△CDF中，
BDE CDF BD CD
DBE DCF ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
故答案为：ED=FD（答案不唯一，∠E=∠CFD或∠DBE=∠DCF）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
16．2【分析】先证明△AED≌△ACD得到AE=AC=3最后根据线段的和差即可解答【详解】解：∵∠C=90°DE⊥AB∴△AED和△ACD都是直角三角形在Rt△AED 和Rt△ACD中DE=DCAD=AD
解析：2
【分析】
先证明△AED≌△ACD得到AE=AC=3，最后根据线段的和差即可解答．
【详解】
解：∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴△AED和△ACD都是直角三角形，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
DE=DC,AD=AD，
∴△AED≌△ACD（HL），
∴AE=AC=3，
∴BE=AB-AC=5-3=2．
故填：2．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用HL证明三角形全等是解答本题的关键．
17．15【分析】如图过点D作DE⊥AB于E首先证明DE=CD=3再利用三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图过点D作DE⊥AB于E由作图可知AD平分
∠CAB ∵CD ⊥ACDE ⊥AB ∴DE=CD=3∴S △
解析：15
【分析】
如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．首先证明DE=CD=3，再利用三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ．
由作图可知，AD 平分∠CAB ，
∵CD ⊥AC ，DE ⊥AB ，
∴DE=CD=3，
∴S △ABD =12•AB•DE=12
×10×3=15， 故答案为15．
【点睛】
本题考查了作图-基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
18．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形 解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD
【分析】
先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．
【详解】
由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，
AO BO =，
∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，
当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，
当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．
【点睛】
本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
19．15【分析】过点E 作EM ⊥AC 于MEN ⊥AD 于NEF ⊥BC 于H 如图先计算出
∠EAM=75°则AE 平分∠EAD 根据角平分线的性质得EM=EN 再由CE 平分∠ACB 得到EM=EH 则EN=EH 于是根据角平分
解析：15
【分析】
过点E 作EM ⊥AC 于M ，EN ⊥AD 于N ，EF ⊥BC 于H ，如图，先计算出∠EAM=75°，则AE 平分∠EAD ，根据角平分线的性质得EM=EN ，再由CE 平分∠ACB 得到EM=EH ，则EN=EH ，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE 平分∠ADB ，则∠1=12∠ADB ，根据三角形外角性质得∠1=∠DEC+∠2，即∠1=∠DEC+
12∠ACB ，∠ADB=∠DAC+∠ACB ，所以∠DEC==12
∠DAC=15°． 【详解】
解：过点E 作EM AC ⊥于M ，EN AD ⊥于N ，EH BC ⊥于H ，如图．
∵ 30DAC ∠=，75DAB ∠=，∴ 75EAM ∠=，∴ AE 平分MAD ∠，∴ EM EN =．
∵ CE 平分ACB ∠，∴ EM EH =，∴ EN EH =，∴ DE 平分ADB ∠，∴
112
ADB ∠=∠． ∵ 12DEC ∠=∠+∠，而122ACB ∠=∠，∴ 112
DEC ACB ∠=∠+∠，而ADB DAC ACB ∠=∠+∠，
∴ 11301522
DEC DAC ∠=∠=⨯= ．故答案为：15．
【点睛】
本题考查了平分线的性质和三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．
20．8【分析】由题意可得进而证明结合已知条件证明故根据分别求出与的面积即可【详解】在和中故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质熟记全等三角形的判定定理是解题关键
解析：8
【分析】
由题意可得90ADC CEA ∠=∠=︒，进而证明EAH HCD ∠=∠，结合已知条件证明BEC HEA ∆≅∆，故8EC EA == ，根据AHC AEC AEH S S S ∆∆∆=-分别求出AEH S ∆与AEC S ∆的面积即可．
【详解】
AD BC ⊥，CE AB ⊥，
90ADC CEA ∴∠=∠=︒，
AHE CHD ∠=∠，
EAH CEH HCD ADC ∴∠+∠=∠+∠，
EAH HCD ∴∠=∠，
在BEC △和HEA △中，
90BEC HEA HCD EAH
EB EH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()BEC HEA AAS ∴≅，
EC EA ∴=，
8EA =，
8EC ∴=，
6EH =，
11862422
AEH S AE EH ∆∴=⨯⋅=⨯⨯=， 11883222
AEC S AE EC ∆=⋅=⨯⨯=， 32248AHC AEC AEH S S S ∆∆∆∴=-=-=．
故答案为：8．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理是解题关键．
三、解答题
21．见解析．
【分析】
根据//AB DE 可知B DEF ∠=∠，又根据∠A=∠D ，BE=CF 可以判定ABC DEF △≌△，即可求证//AC DF ；
【详解】
∵//AB DE ，∴B DEF ∠=∠，
∵BE CF =，∴BC EF =，
∴在ABC 和DEF 中，
A D
B DEF B
C EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ABC DEF △≌△，
∴ACB F ∠=∠，
∴//AC DF ．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定的应用以及两直线平行的判定定理，解此题的关键是推出ABC DEF △≌△，注意全等三角形的对应边相等；
22．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由已知可证∠B=∠F ，BC=EF ，然后根据SAS 可以得到结论；
（2）同（1）有∠B=∠F ，再结合已知条件和对顶角相等可以证得ΔABO ≅
ΔDFO ，从而得到OB=OF ，所以点O 为BF 中点 ．
【详解】
证明：（1）∵AB//DF ，
∴∠B=∠F ，
∵BE=CF ，
∴BE+CE=CF+CE ，即BC=EF ，
∴在ΔABC 和ΔDFE 中，AB DF B F BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔABC ≅ΔDFE （SAS ）；
（2）与（1）同理有∠B=∠F ，
∴在ΔABO 和ΔDFO 中，AOB DOF B F AB DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴ΔABO ≅ΔDFO （AAS ），
∴OB=OF ，
∴点O 为BF 中点 ．
【点睛】
本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质并灵活应用是解题关键． 23．（1）证明见解析；（2）312∠=∠+∠，证明见解析．
【分析】
（1）根据SSS 证BAE CAD ≅，推出 1BAE ∠=∠即可；
（2）根据全等三角形性质推出1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，代入 3BAE ABE ∠=∠+∠求出即可．
【详解】
证明：（1）∵在BAE △和CAD 中
AE AD AB AC BE DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
∴
()BAE CAD SSS ≌， ∴1BAE ∠=∠，∴1BAE EAC EAC ∠+∠=∠+∠，
∴BAC EAD ∠=∠．
（2）312∠=∠+∠，
证明：∵BAE CAD △≌△，
∴1BAE ∠=∠，2ABE ∠=∠，
∵3BAE ABE ∠=∠+∠，
∴312∠=∠+∠．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定和三角形外角性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等．
24．见解析．
【分析】
首先根据AC ∥DE ，利用平行线的性质可得：∠ACB=∠E ，∠ACD=∠D ，再根据∠ACD=∠B 证出∠D=∠B ，再由∠ACB=∠E ，AC=CE 可根据三角形全等的判定定理AAS 证出△ABC ≌△CDE ．
【详解】
证明：∵AC ∥DE ，
∴ACD D ∠=∠，BCA E ∠=∠．
又∵ACD B ∠=∠，
∴B D ∠=∠，
又∵AC CE =，
∴()ABC CDE AAS ≌．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定两个三角形全等的方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
25．（1）证明见解析；（2）2cm ．
【分析】
（1）先根据垂直的定义可得90ADC E ∠=∠=︒，再根据直角三角形的两锐角互余、等量代换可得CAD BCE ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先结合（1）的结论可得6CE cm =，再根据线段的和差可得2CD cm =，然后根据全等三角形的性质即可得．
【详解】
（1）,AD CE BE CE ⊥⊥，
90ADC E ∠=∠=∴︒，
90CAD ACD ∴∠+∠=︒，
90ACB ∠=︒，
90BCE ACD ∴∠+∠=︒，
CAD BCE ∴∠=∠，
在ACD △和CBE △中，ADC E CAD BCE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ACD CBE AAS ∴≅，
AD CE ∴=；
（2）由（1）已证：AD CE =，
6AD cm =，
6CE cm ∴=，
4DE cm =，
2CD CE DE cm ∴=-=，
又由（1）已证：ACD CBE ≅，
2BE CD cm ∴==．
【点睛】
本题考查了直角三角形的两锐角互余、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
26．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用“HL ”证明Rt △ACB ≌Rt △ADB 即可；
（2）由Rt △ACB ≌Rt △ADB 得到∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，然后利用“SAS ”可证明△ACE ≌△ADE ，从而得到CE ＝DE ．
【详解】
证明：（1）在Rt △ACB 和Rt △ADB 中，
AB AB BC BD =⎧⎨=⎩
， ∴Rt △ACB ≌Rt △ADB （HL ）；
（2）∵Rt △ACB ≌Rt △ADB ，
∴∠CAB ＝∠DAB ，AC ＝AD ，
在△ACE 和△ADE 中，
AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACE ≌△ADE （SAS ），
∴CE ＝DE ．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，根据图形的特点确定对应相等的条件，利用：SSS、SAS、ASA、AAS或HL证明两个三角形全等由此解决问题是解题的关键．。