一种新的Vague集的熵

一种新的Vague集的熵
孙宁宁;余建坤;杨力军
【摘要】受Fuzzy集模糊熵的启发,提出了Vague集熵的公理化定义.充分考虑到Vague集的真隶属度、假隶属度和犹豫度三个方面,提出了新的Vague集的熵的计算公式,用于度量一个Vague集的模糊性.以实例来说明新的公式的有效性和实用性.%Inspirited and motivated by fuzzy entropy on fuzzy sets,the axiom definition of entropy on vague sets is pro-posed.lt proposes and establishes a new entropy measure on vague sets by considering the membership degree, nonmenber-ship degree and hesitancy degree three aspects of the vague sets,which is used to measure the vagueness of a vague set. Some examples are given to demonstrate its effectiveness and practicability.
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2011(047)024
【总页数】3页(P43-45)
【关键词】Vague集;Fuzzy集;熵理论
【作者】孙宁宁;余建坤;杨力军
【作者单位】云南财经大学信息学院,昆明650221;云南财经大学信息学院,昆明650221;云南财经大学信息学院,昆明650221
【正文语种】中文
【中图分类】TP18
1 引言
熵指的是体系的混乱程度，它在许多领域都起着很重要的作用，如物理学、概率论、数论、控制论、生命科学等领域。

不同领域的科学都有它自身的特点，从而引申出熵在各个领域更为具体的定义，是各个领域十分重要的参量。

熵是由鲁道夫·克劳
修斯（Rudolf Clausius）首先提出，并应用在热力学中。

后来，克劳德·艾尔伍德·仙农（Claude Elwood Shannon）第一次将熵的概念引入到信息论中来。

熵是一门新兴的学科，在信息论中，熵是一个基本概念，它表示的是不确定性的度量。

它的引入使得人们能对随机现象的不肯定性进行度量，是具有重大意义的。

随后，熵也被引入到模糊数学之中，产生了度量模糊性的模糊熵的理论。

Zadeh于1965年提出了Fuzzy集理论[1]，将经典集合的特征函数的取值范围由{0，1}推广到闭区间[0，1]，但是它的取值是单一的值，它不能同时表示支持和反对的证据。

为此，Gau等人分析了Fuzzy集的特征，并通过引入真隶属度和假隶
属度的方式引入了Vague集[2]。

论域U上的一个对象u与论域U上的Vague集A的关系，可以通过一个真隶属
函数tA(u)和一个假隶属函数fA(u)来表示，tA(u)是从支持u的证据所导出的u的隶属度下界，fA(u)则是从反对u的证据所导出的u的否定隶属度下界，tA(u)和
fA(u)将区间[0，1]中的一个实数与U中的每一个元素联系起来，即：
u关于A的隶属度A(u)表示为：[tA(u)，1-fA(u)]，其中tA(u)+fA(u)≤1。

当U中有无限多个元素，通常记为A=∫U[tA(u),1-fA(u)]/u；当U中有有限多个元素，也把A记为：
这里[tA(ui),1-fA(ui)]⊆[0,1]且0≤tA(ui)≤1-fA(ui)≤1。

若[tA(u)，1-fA(u)]=[0.5，0.9]，即tA(u)=0.5，fA(u)=0.1，1-tA(u)-fA(u)=0.4，在投票模型中的解释为：有5票赞成，1票反对，4票弃权。

可见Vague集在这一方面处理的能力是传统模糊集理论所不可及的。

这引起了许多学者研究它的兴趣，并且取得了很多成果[3-11]。

1969年，Zadeh首先提出了模糊熵的概念[12]，用熵来度量Fuzzy集的模糊性。

1972年，De Luca和Termini[13]结合Shannon的概率熵给出了刻画Fuzzy集模糊程度的模糊熵的计算方法。

本文正是受到De Luca的熵理论的启发，从经典的Shannon的概率熵出发，将其扩展到Vague集，全面考虑了支持、反对和中立三个方面，提出了一种新的Vague集的熵，最大限度地减少了信息的丢失。

2 现有的熵及其存在的问题
由于直觉模糊集和Vague集在本质上是相同的，那么它们在许多理论上都基本相同，为此，先来看一下1996年由P.Bu-rillo和H.Bustince[14]提出的直觉模糊集的熵理论。

P.Burillo和H.Bustince首先提出了直觉模糊集的熵的公理化定义，如下：
定义2.1如果实数函数I:IFs(X)→R+满足如下条件：
（1）I(A)=0，当且仅当A∈FSs(X)；
（2）I(A)=N，当且仅当对于所有x∈X，μA(x)=νA(x)=0；
（3）I(A)=I(ˉ)；
（4）如果A≪B，则I(A)≥I(B)。

其中IFs是直觉模糊集（Intuitionistic Fuzzy Sets）的简写，FSs是Fuzzy集（Fuzzy Sets）的简写。

根据以上公理化定义，P.Burillo和H.Bustince最终选择了：
作为直觉模糊集的熵的计算公式，同样它也可以作为Vague集的熵的计算公式。

然而，经过仔细分析，这个熵的公理化定义是不合理的，那么通过这个定义而得到的熵也存在不合理性。

首先，条件（1）的意思是当直觉模糊集退化为Fuzzy集时，直觉模糊集的熵取得最小值为0，即认为此时是清晰的，但是Fuzzy集是Vague
集的特例，它是有模糊性的，它的熵不等于0，只有当直觉模糊集退化为经典集时，熵才为0。

从最后的熵的公式来看，用直觉模糊集的犹豫度来表示直觉模糊集的熵也是不合理的，它忽视了模糊集也是有模糊性的。

另外从仙农的信息熵的理论上看，还需要给出另外一个条件，即直觉模糊集的可拆分性。

因此，P.Burillo和H.Bustince提出的熵的理论存在不合理的的地方，需要进一步的修正。

3 Vague集熵的公理化定义
在讨论Vague集的熵的时候，首先要了解一下Shannon的概率熵的计算方法：
其中C是正常数。

且它是唯一满足下面三个条件的公式：
（1）H是p(Ai)的连续函数。

（2）对有n个等概结果的试验，H是n的单调上升函数。

（3）一个试验分成相继的两个试验时，未分之前的H是既分之后的H的加权和。

定理中的系数C是正常数，可以根据实际情况来确定，它取决于度量单位。

常用
的度量单位有二进制单位及十进制单位，前者对数的底取为2，后者用常用对数。

在公式H中，若pi=0，则相应的项pilogpi定义为零，因此在试验中增减零概率结果不影响不肯定性，这是很自然的。

由于不同的Vague集的模糊性程度是不一样的。

那么，如何来定量刻画模糊集的模糊程度就变得很重要。

设A为论域U上的一个Vague集，u∈U。

若真隶属的
tA接近1，假隶属度fA接近0，则肯定的程度高，相应的模糊性就小；同理，若
真隶属的tA接近0，假隶属度fA接近1，则否定的程度高，相应的模糊性也小；若真隶属的tA接近0，假隶属度fA也接近0，则犹豫度πA为1，这个时候u对
A的隶属关系最不稳定，相应的模糊性也最大。

因此，Vague集的熵除了要满足Shannon熵的三个条件之外，还要结合自身的特殊性，所以新的Vague熵应满
足以下的一些条件：
（1）当退化为普通集合时，模糊性最小。

（2）当犹豫度πA最大时，模糊性最大。

（3）E(A)=E(，即A与其补集Aˉ的模糊性相同。

（4）如果两个Vague值的犹豫度相等为C，此时Vague集是关于C/2对称的，当小于C/2时，熵递增。

Vague集越模糊那么它的熵值越大，考虑到以上的条件，给出一个更加合理的熵
的公理化定义：
定义3.1设V(U)表示论域U上Vague集的全体，称函数E:V(U)→[0，1]为Vague集A的模糊熵，如果它满足如下条件：
（1）清晰性：E(A)=0，当且仅当A=[0，0]或者[1，1]。

（2）模糊性：E(A)=1，当且仅当πA=1。

（3）对称性：∀A∈V(U)，E(A)=E(ˉ)。

（4）单调性：如果
4 新的Vague集的熵
上章给出了Vague集的熵的公理化定义，接下来对Shannon熵进行扩展，考虑
到Vague集包含支持、反对和中立三个方面的信息，而这三个方面都含有模糊性，所以在计算Vague集的熵的时候三个方面必须全部考虑，否则就会造成信息的丢失，先考虑单个Vague值的熵的计算方法：
定理4.1设A为一Vague值，A=[tA，1-fA]，则：
满足Vague熵的公理化定义。

若tA=0，则相应的项tAlntA定义为零，因为
tA=0时，不影响模糊性。

证明（1）当A=[0，0]或者[1，1]时，Vague集A就退化为经典集，此时没有模
糊性，集合完全清晰，即熵E(A)=0。

清晰性成立。

（2）当πA=1时，tA=0，fA=0，此时，信息完全未知，模糊性最大。

（3）很自然的tA和fA交换位置不影响最终的结果，对称性成立。

（4）当πA=πB=C时，fA=1-C-tA，此时，
对E(A)求导可得：
当时，E(A)是递增。

那么，当证毕。

接下来需要将Vague值的熵的公式扩展到Vague集A上，很关键的就是如何确
定系数C的值，由Vague集的定义可以知道，当tA(ui)=1/3，fA(ui)=1/3，那么πA(ui)=1/3，此时Vague集的模糊熵取得中间值0.5，即：所以，系数
参数C确定好了之后，得到在离散论域下，Vague集的模糊熵的计算公式如下：
定理4.2设论域U={u2，…，un}上的一个Vague集A=，则Vague集A的模糊熵可由下式计算：
例4.1设Vague集A={[0.1，0.7]，[0.2，0.5]}，用式（3）计算A的模糊熵如下：
用式（1）计算A的模糊熵为：I(A)=0.6+0.3=0.9。

例4.2设Vague集A={[0.7，0.7]，[0.4，0.4]}，用式（3）计算A的模糊熵如下：
用式（1）计算A的模糊熵为：I(A)≈0。

由两个例子可以发现当Vague集退化为Fuzzy集时P.Burillo和H.Bustince就认为此时的模糊性为0，这是不合理的，因为Fuzzy集也是有模糊性的，由于式（3）充分考虑了Vague集的三个方面，所以它的计算结果会较式（1）小，这更能够
实际反映Vague集的特殊性，可见新的Vague集的熵更加合理，且能最大限度
防止信息的丢失。

5 总结
当前度量Vague熵的方法，在处理未知信息和不确定信息的关系上，存在一定的不合理性。

本文全面地考虑了Vague集的真隶属度、假隶属度和犹豫度三个方面的信息，对Vague集模糊熵的公理化定义进行了修正，提出了一个更加符合直觉的定义，并在仙农信息熵的基础上，提出了一个新的Vague集的模糊熵的计算公式，并证明了此公式是满足Vague集熵的公理化定义的。

在最后以实例说明新的计算公式的合理性。

【相关文献】
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