(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试题(答案解析)

一、选择题
1．用配方法转化方程2210x
x +-=时，结果正确的是（ ） A ．2(1)2x += B ．2(1)2x -= C ．2(2)3x += D ．2(1)3x +=
2．已知一元二次方程2210x x --＝的两个根分别是1x ，2x ，则2112x x x -+的值为
（ ）．
A ．-1
B ．0
C ．2
D ．3 3．关于x 的一元二次方程()2541
0a x x ---＝有实数根，则a 满足（ ）． A ．5a ≠ B ．1a ≥且5a ≠
C ．1a ≥
D ．1a <且5a ≠ 4．一元二次方程2610x x +-=配方后可变形为（ ） A ．()2310x += B ．()238x += C ．()2310x -=
D ．()238x -= 5．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．1k >-
B ．1k ≥-
C ．0k ≠
D ．1k >-且0k ≠ 6．方程()55x x x +=+的根为（ ）
A ．15=x ，25x =-
B ．11x =，25x =-
C ．0x =
D ．125x x ==-
7．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）
A ．2104x x -+=
B ．2390x x ++=
C ．2250x x -+=
D ．25130x x -= 8．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件100元降到每件64元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A ．15%
B ．40%
C ．25%
D ．20%
9．为促进消费，重庆市政府开展发放政府补贴消费的“消费券活动”，某超市的月销售额逐步增加；据统计4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元，若设5月、6月每月的增长率为x ，则可列方程为（ ） A ．()2001500x +=
B ．()2002001500x ++=
C ．()22001500+=x
D ．()20012500+=x
10．一元二次方程20x x -=的根是（ ）
A ．10x =，21x =
B ．11x =，21x =-
C ．10x =，21x =-
D ．121x x == 11．若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +--=有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．2m >- B ．2m ≥- C ．2m >-且1m ≠- D ．2m ≥-且1m ≠-
12．已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m -+＝-有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．0m ≠
B ．14m
C ．14m <
D ．14
m > 二、填空题
13．一元二次方程（x +2）（x ﹣3）＝0的解是：_____．
14．写出有一个根为1的一元二次方程是______．
15．一元二次方程x 2-10x+25＝2（x ﹣5）的解为____________．
16．一元二次方程()10x x -=的根是________________________．
17．“新冠肺炎”防治取得战略性成果．若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有16个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了______人．
18．若a 是方程210x x ++=的根，则代数式22020a a --的值是________． 19．已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，则m =_________．
20．已知a 、b 是方程2320190x x +-=的两根，则24a a b ++的值为________．
三、解答题
21．已知关于x 的方程()2
20x mx m -+=-． （1）求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是2，求m 的值以及方程的另一个根．
22．如图，ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止．
（1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28QPC S cm =？
（2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，经过几秒钟后24QPC S
cm =？
（3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ ＝BQ ？
23．（1）x 2﹣8x+1＝0；
（2）2（x ﹣2）2＝x 2﹣4．
24．在国家的调控下．某市商品房成交价由今年8月份的50000元2/m 下降到10月份的40500元2/m ．
（1）同8～9两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到12月份该市的商品房成交均价是否会跌破30000元/2m ？请说明理由．
25．按要求的方法解方程，否则不得分．
（1）2450x x -=+（配方法）
（2）22730x x -+=（公式法）
（3）(1)(2)24x x x ++=+（因式分解法）
26．解方程
（1）2420x x -+=
（2）()2
55210x x ++= （3）2560x x -+=
（4）()3133x x x +=+
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
方程两边都加上一次项系数的一半，利用完全平方公式进行转化，即可得到答案．
【详解】
解：2210x x +-=
2212x x ++=
∴2(1)2x +=，
故选：A ．
【点睛】
此题考查一元二次方程的配方法，掌握配方法是计算方法是解题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
分别根据一元二次方程的根的意义和一元二次方程根与系数的关系分别得到
21112210,2x x x x --=+=，变形代入求值即可得到答案．
【详解】
解：由题意得21112210,
2x x x x --=+=，即21121x x -=， ∴原式211122123x x x x =-++=+=．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解的根与系数的关系，灵活运用根与系数的关系是解答此题的关键．
3．B
解析：B
【分析】
由方程有实数根可知根的判别式b 2-4ac≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】
解：由已知得：
()()()250
44510
a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a≥1且a≠5．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．
4．A
解析：A
【分析】
方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方即可得到结果．
【详解】
解：∵x 2+6x-1=0，
∴x 2+6x=1，
∴x 2+6x+9=10，
∴(x+3)²=10，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程根的判别式得到关于k 的不等式，然后求解不等式即可.
【详解】
是一元二次方程，
0k ∴≠．
有两个不相等的实数根，则Δ0>，
2Δ24(1)0k =-⨯-⨯>，
解得1k >-．
1k ∴>-且0k ≠．
【点睛】
本题考查一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式：
（1）当△=b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当△=b 2﹣4ac =0时，方程有有两个相等的实数根；
（3）当△=b 2﹣4ac ＜0时，方程没有实数根.
6．B
解析：B
【分析】
根据因式分解法解方程即可；
【详解】
()55x x x +=+，
()()550+-+=x x x ，
()()510x x +-=，
11x =，25x =-；
故答案选B ．
【点睛】
本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键．
7．D
解析：D
【分析】
先把各方程化为一般式，再分别计算方程根的判别式，然后根据判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】
A 、()221414104
b a
c =-=--⨯⨯=，方程有两个相等的两个实数根； B 、2243419270b ac =-=-⨯⨯=-<，方程没有实数根；
C 、()2
242415160b ac =-=--⨯⨯=-<，方程没有实数根；
D 、()224134501690b ac =-=--⨯⨯=>，方程有两个不相等的两个实数根； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根． 8．D
解析：D
设平均每次降价的百分率为x ，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x ，
依题意，得：100（1-x ）2=64，
解得：x 1=0.2=20%，x 2=1.8（不合题意，舍去）．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．C
解析：C
【分析】
根据“4月份的销售额为200万元，接下来5月，6月的月增长率相同，6月份的销售额为500万元”，可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，
200（1+x ）2＝500，
故选：C ．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题，是中考常考题．
10．A
解析：A
【分析】
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】
解：∵x 2-x=0，
∴x （x-1）=0，
则x=0或x-1=0，
解得：x 1=0，x 2=1，
故选：A ．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 11．D
解析：D
【分析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到10m +≠且240b ac =-≥，然后求写出两
不等式的公共部分即可．
【详解】
根据题意得10m +≠且()()22
4(2)4110b ac m =-=--+⨯-≥， 解得1m ≠-且2m ≥-．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了根的判别式：一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的根与24b ac =-有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
12．B
解析：B
【分析】
由方程有实数根即△＝b 2﹣4ac ≥0，从而得出关于m 的不等式，解之可得．
【详解】
解：根据题意得，△＝b 2﹣4ac ＝[﹣（2m ﹣1）]2﹣4m 2＝﹣4m +1≥0， 解得：14
m
， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键． 二、填空题
13．x1＝﹣2x2＝3【分析】利用因式分解法把原方程化为x+2＝0或x ﹣3＝0然后解两个一次方程即可【详解】（x+2）（x ﹣3）＝0x+2＝0或x ﹣3＝0所以x1＝﹣2x2＝3故答案为x1＝﹣2x2＝3
解析：x 1＝﹣2，x 2＝3
【分析】
利用因式分解法把原方程化为x+2＝0或x ﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．
【详解】
（x +2）（x ﹣3）＝0，
x +2＝0或x ﹣3＝0，
所以x 1＝﹣2，x 2＝3．
故答案为x 1＝﹣2，x 2＝3．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
14．（答案不唯一）【分析】有一个根是1的一元二次方程有无数个只要含有因式x1的一元二次方程都有一个根是1【详解】可以用因式分解法写出原始方程然后化为一般形式即可如化为一般形式为：故答案为：【点睛】本题考 解析：20x x -=（答案不唯一）
【分析】
有一个根是1的一元二次方程有无数个，只要含有因式x -1的一元二次方程都有一个根是1．
【详解】
可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，
如()10x x -=，
化为一般形式为：20x x -=
故答案为：20x x -=．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根，有一个根是1的一元二次方程有无数个，写出一个方程就行．
15．x1＝5x2＝7【分析】移项后分解因式即可得出两个一元一次方程求出方程的解即可；【详解】解：∵（x ﹣5）2﹣2（x ﹣5）＝0∴（x ﹣5）（x ﹣7）＝0则x ﹣5＝0或x ﹣7＝0解得x1＝5x2＝7故答
解析：x 1＝5，x 2＝7
【分析】
移项后分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可；
【详解】
解：∵（x ﹣5）2﹣2（x ﹣5）＝0，
∴（x ﹣5）（x ﹣7）＝0，
则x ﹣5＝0或x ﹣7＝0，
解得x 1＝5，x 2＝7，
故答案为：x 1＝5，x 2＝7．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 16．【分析】利用因式分解法把原方程转化为x=0或x-1=0然后解两个一次方程即可；【详解】∵∴x=0或x-1=0解得故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程的解法先把方程的右边化为0再把左边通过因式分解
解析：120,1x x ==
【分析】
利用因式分解法把原方程转化为x=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可；
【详解】
∵()10x x -= ，
∴ x=0或x-1=0，
解得1x =0，21x = ，
故答案为：1x =0，21x =
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，求解即可；
17．3【分析】设每轮传染中平均一个人传染了人则第一轮共有人患病第二轮后患病人数有人从而列方程再解方程可得答案【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了人则：或或经检验：不符合题意舍去取答：每轮传染中平均一 解析：3
【分析】
设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则第一轮共有()1x +人患病，第二轮后患病人数有()21x +人，从而列方程，再解方程可得答案．
【详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x 人，
则：()1+116,x x x ++=
()2
116,x ∴+=
14x ∴+=或14,x +=- 3x ∴=或5,x =-
经检验：5x =-不符合题意，舍去，取 3.x =
答：每轮传染中平均一个人传染了3人．
故答案为：3.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的应用中的传播问题是解题的关键．
18．2021【分析】把x=a 代入已知方程并求得a2+a=-1然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x2+x+1=0得a2+a+1=0解得a2+a=-1所以2020-a2-a=2
解析：2021
【分析】
把x=a 代入已知方程，并求得a 2+a=-1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可
【详解】
解：把x=a 代入x 2+x+1=0，得
a 2+a+1=0，
解得a 2+a=-1，
所以2020-a 2-a=2020+1=2021．
故答案是：2021．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
19．－8【分析】利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程解这个方程即可【详解】已知是关于x 的方程的一个根故答案为：-8【点睛】本题考查一元二次方程的根问题掌握方程的根的性质会用方程的解代入构造 解析：－8
【分析】
利用方程的根的性质把x=2代入方程得到关于m 的方程，解这个方程即可
【详解】
已知2x =是关于x 的方程220x x m ++=的一个根，
22220m +⨯+=
8m =-
故答案为：-8
【点睛】
本题考查一元二次方程的根问题，掌握方程的根的性质，会用方程的解代入构造参数方程是解题关键
20．2016【分析】将x=a 代入可得然后由根与系数之间的关系得到整理即可得到答案【详解】解：由题意可知【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系熟练掌握基础知识是解题的关键
解析：2016
【分析】
将x=a 代入2320190x x +-=，可得2320190a a +-=，然后由根与系数之间的关系得到3a b +=-，整理即可得到答案．
【详解】
解：由题意可知，2320190a a +-=，3a b +=-，
232019a a ∴+=，
24a a b ∴++23()a a a b =+++20193=-2016=．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解以及根与系数之间的关系，熟练掌握基础知识是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）m 的值为2，另一个根为0
【分析】
（1）先计算判别式的值得到△=（m-2）2+4，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）设方程的另一个为t ，利用根与系数的关系得到2+t=m ，2t=m-2，然后解方程组即可．
【详解】
（1）证明：∵1a =，b m =-，2c m =-
∴()()()22
2244124824-=--⨯⨯-=-+=-+b ac m m m m m ∵()220m -≥，∴()2
240m -+>． ∴无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）根据题意：()2
2220-+-=m m ，∴2m = 则220x x -=，∴10x =，2
2x =． ∴m 的值为2，另一个根为0．
【点睛】 本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a
，也考查了判别式的意义．
22．（1）2或4；（2）2；（3）10-+
【分析】
本题可设P 出发x 秒后，QPC S 符合已知条件：
在（1）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，2QC xcm =，根据题意列方程求解即可； 在（2）中，=AP xcm ，()=6PC x cm -，()22QC x cm =-，进而可列出方程，求出答案；
在（3）中，()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -，利用勾股定理和PQ BQ =列出方程，即可求出答案．
【详解】
（1）P 、Q 同时出发，经过x 秒钟，28QPC S
cm =， 由题意得：()16282
x x -⋅= ∴2680x x -+=，
解得：12x =，24x =．
经2秒点P 到离A 点1×2＝2cm 处，点Q 离C 点2×2＝4cm 处，经4秒点P 到离A 点1×4＝4cm 处，点Q 到离C 点2×4＝8cm 处，经验证，它们都符合要求．
答：P 、Q 同时出发，经过2秒或4秒，28QPC S
cm =． （2）设P 出发t 秒时24QPC S cm =，则Q 运动的时间为()2t -秒，由题意得：
()()162242
t t -⋅-=， ∴28160t t -+=，
解得：124t t ==．
因此经4秒点P 离A 点1×4＝4cm ，点Q 离C 点2×（4﹣2）＝4cm ，符合题意． 答：P 先出发2秒，Q 再从C 出发，经过2秒后24QPC S cm =．
（3）设经过x 秒钟后PQ ＝BQ ，则()=6PC x cm -，2QC xcm =，()=82BQ x cm -， ()()()222
6282x x x -+=-，
解得：110x =-+210x =--
答：经过10-+PQ ＝BQ ．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的实际运用，解题的关键是弄清图形与实际问题的关系，另外，还要注意解的合理性，从而确定取舍．
23．（1）x 1＝x 2＝42）x 1＝2，x 2＝6．
【分析】
（1）先配方、然后运用直接开平方求解即可；
（2）先将等式右边因式分解，然后移项，最后用因式分解法求解即可．
【详解】
解：（1）x 2﹣8x+1＝0，
x 2﹣8x ＝﹣1，
x 2﹣8x+16＝﹣1+16，
（x ﹣4）2＝15，
∴x ﹣4＝
∴x
1＝x 2＝4
（2）∵2（x ﹣2）2＝x 2﹣4，
∴2（x ﹣2）2﹣（x+2）（x ﹣2）＝0，
则（x ﹣2）（x ﹣6）＝0，
∴x ﹣2＝0或x ﹣6＝0．
解得x 1＝2，x 2＝6．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握配方法、直接开平方法和因式分解法是解答本题的关键．
24．（1）8、9两月平均每月降价的百分率是10%；（2）12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元2/m ，见解析
【分析】
（1）设8、9两月平均每月降价的百分率是x ，那么9月份的房价为50000（1-x ），10月
份的房价为50000（1-x ）2，然后根据10月份的40500元/m 2即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果可以计算出今年12月份商品房成交均价，然后和30000元/m 2进行比较即可作出判断．
【详解】
解：（1）设这两月平均每月降价的百分率是x ，根据题意得：
()2
50000140500x -=
解得：1210% 1.9x x ==，（不合题意，舍去）
答：8、9两月平均每月降价的百分率是10%
（2）不会跌破30000元2/m ． ()22405001405000.93280530000x -=⨯=>
∴12月份该市的商品房成交均价不会跌破30000元2/m
【点睛】
此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
25．（1）1215x x ==-，；（2）12132
x x ==
，；（3）1221x x ，=-=． 【分析】
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）方程整理后利用因式分解法解方程即可．
【详解】
（1）2450x x -=+，
移项得：245x x +=，
配方得：24454x x ++=+，即()229x +=，
直接开平方得：23x +=±，
∴1215x x ==-，；
（2）22730x x -+=，
∵2a =，7b =-，3c =， ()2247423250b ac =-=--⨯⨯=>，
∴754
x ±==， ∴12132
x x ==
，； （3）(1)(2)24x x x ++=+， 整理得：23224x x x ++=+，即220x x +-=，
因式分解得：()()210x x +-=，
∴20x +=或10x -=，
∴1221x x ，=-=．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是会用配方法、公式法、因式分解法解方程．
26．（1）1222x x ==2）121x x ==-；（3）1232x x ==，；（4）1211x x =-=，
【分析】
（1）直接利用配方法解方程得出答案即可；
（2）方程整理后，利用利用配方法解方程得出答案即可；
（3）利用分解因式法解方程即可；
（4）方程整理后，利用提取公因式法分解因式进而解方程即可．
【详解】
（1）2420x x -+=，
移项得：242x x -=-，
配方得：24424x x -+=-+，即2
(2)2x -=，
开方得：2x -=，
解得：1222x x ==
（2）()255210x x ++=， 整理得：2210x x ++=，
即2
(1)0x +=，
∴121x x ==-；
（3）2560x x -+=，
因式分解得：()()320x x --=，
∴30x -=，20x -=，
∴1232x x ==，；
（4）()3133x x x +=+，
整理得：()()110x x x +-+=，
因式分解得：()()110x x +-=，
∴10x +=，10x -=， ∴121
1x x =-=，． 【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关
键．。