2011年高考数学 第四章 第二节两角和与差的三角函数

同步检测训练
一、选择题
1．(2009·某某市第一次诊断性检测)已知α为锐角，sin α＝35，则tan(α－π4
)等于() A.17
B ．7
C ．－17
D ．－7 答案：C
解析：cos α＝45，tan α＝34.tan(α－π4)＝tan α－1tan α＋1＝34－134
＋1＝－17.故选C. 2．sin163°·sin223°＋sin253°·sin313°等于()
A ．－12B.12
C ．－32D.32
答案：B
解析：sin163°sin223°＋sin253°sin313°
＝sin(180°－17°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋73°)sin(360°－47°)
＝－sin17°sin43°＋sin73°sin47°
＝－cos73°sin43°＋sin73°cos43°
＝sin73°cos43°－cos73°sin43°
＝sin(73°－43°)＝sin30°＝12
.故选B. 3．(2008·某某模拟)已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan2x 等于() A ．－247B ．－724
C.724
D.247
答案：A
解法一：∵x ∈(－π2
，0)，∴sin x <0， ∴sin x ＝－35
， ∴sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝725， ∴tan2x ＝sin2x cos2x ＝－247
. 解法二：由解法一知：sin x ＝－35，∴tan x ＝－34
， ∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x
＝－247.故选A. 4．已知cos2α＝12(其中α∈(－π4
，0))，则sin α的值为() A.12B ．－12
C.32D ．－32
答案：B
解析：∵12＝cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝14
， 又∵α∈(－π4，0)，∴sin α＝－12
.故选B. 5．(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12
)等于() A ．－32B ．－12
C.12
D.32
答案：D
解析：(cos π12－sin π12)(cos π12＋sin π12
) ＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32
.故选D. 6．(2009·某某省九所重点中学联考)已知α、β均为锐角，若P ：sin α<sin(α＋β)，q ：α＋β<π2
，则p 是q 的() A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：因为α、β均为锐角，且α＋β<π2，所以0<α<α＋β<π2
，则sin α<sin(α＋β)，p 是q 的必要条件；又当α＝30°、β＝60°时，sin α<sin(α＋β)，但α＋β＝π2
，因此p 不是q 的充分条件，综上所述，p 是q 的必要而不充分条件，选择B.
7．(2009·某某省重点中学协作联考·文)已知△ABC 中，tan A ＋B 2
＝sin C ，则角C ＝() A.π6B.π4
C.π3
D.π2
答案：D
解析：依题意得tan π－C 2＝cot C 2＝sin C ，即cos C 2sin C 2＝2sin C 2cos C 2，又cos C 2>0，故sin C 2＝22，C 2＝π4，C ＝π2
. 8．(2009·某某省重点中学协作联考·理)锐角α满足：cot α＝sin α，则α∈()
A ．(0，π4)
B ．(π4，π3
) C ．(π3，π2)D ．(π6，π4
) 答案：B
解析：对于A ，若α∈(0，π4)，则cot α>1，显然cot α＝sin α不可能成立；对于C ，若α∈(π3
，π2)，则0<cot α<33，32<sin α<1，此时cot α＝sin α不可能成立；对于D ，若α∈(π6，π4
)，则1<cot α<3，
12<sin α<22
，此时cot α＝sin α不可能成立．综上所述，选B. 二、填空题
9．已知sin αcos β＝12
，则cos αsin β的取值X 围是________． 答案：[－12，12
] 解法一：设x ＝cos αsin β，
则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12
＋x ， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝12
－x . ∵－1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，
∴⎩⎨⎧ －1≤12＋x ≤1
－1≤12－x ≤1
，∴⎩⎨⎧ －32≤x ≤12－12≤x ≤32，
∴－12≤x ≤12. 解法二：设x ＝cos αsin β，sin αcos βcos αsin β＝12
x . 即sin2αsin2β＝2x .
由|sin2αsin2β|≤1，得|2x |≤1，
∴－12≤x ≤12
. 10．求值：cos 4π8＋cos 43π8＋cos 45π8＋cos 47π8
＝________. 答案：32
解析：原式＝2(cos 4π8＋cos 43π8
) ＝2(cos 4π8＋sin 4π8
) ＝2(1－2sin 2π8cos 2π8
) ＝2(1－12sin 2π4)＝32
. 11．(2009·某某)若x ∈(0，π2)，则2tan x ＋tan(π2
－x )的最小值为________． 答案：2 2
解析：由x ∈(0，π2)，知tan α>0，tan(π2－α)＝cot α＝1tan α>0，所以2tan α＋tan(π2
－α)＝2tan α＋1tan α≥22，当且仅当tan α＝22时取等号，即最小值是2 2. 三、解答题
12．已知α为钝角，tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－17
. 求：(1)tan α； (2)cos2α＋12cos ⎝⎛⎭⎫α－π4－sin2α
解：(1)由已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α
＝－17，得tan α＝－43. (2)cos2α＋12cos ⎝⎛⎭⎫α－π4－sin2α
＝2cos 2αsin α＋cos α－sin2α ＝2cos 2αsin α＋cos α－2sin αcos α
， ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π且tan α＝－43
， ∴sin α＝45，cos α＝－35
. ∴2cos 2αsin α＋cos α－2sin αcos α ＝2×92545－35－2×45×(－35
)＝1829. 13．设f (x )＝6cos 2x －3sin2x
(1)求f (x )的最大值及最小正周期．
(2)若锐角α满足f (α)＝3－23，求tan 45
α的值． 解：(1)f (x )＝61＋cos2x 2
－3sin2x ＝3cos2x －3sin2x ＋3
＝23⎝⎛
⎭
⎫32cos2x －12sin2x ＋3 ＝23cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3. 故f (x )的最大值为23＋3；最小正周期T ＝2π2
＝π. (2)由f (α)＝3－23得 23cos(2α＋π6)＋3＝3－23， 故cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝－1. 又由0<α<π2得π6<2α＋π6<π＋π6， 故2α＋π6
＝π， 解得α＝512π.从而tan 45α＝tan π3
＝ 3. 14．(2007·某某·17)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2
. (1)求tan2α的值；
(2)求β. 解：(1)由cos α＝17，0<α<π2
， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437.
∴tan α＝sin αcos α＝437×71
＝4 3. 于是tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2
＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2
. 又∵cos(α－β)＝1314
， ∴sin(α－β)＝
1－cos 2(α－β) ＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.
由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1314＋437×3314＝12
∴β＝π3
. 15．(2008·石景山)已知：－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15
. (1)求sin2x 和cos x －sin x 的值； (2)求sin2x ＋2sin 2x 1－tan x
的值． 解：(1)∵sin x ＋cos x ＝15
， ∴(sin x ＋cos x )2＝125
. ∴2sin x cos x ＝－2425，即sin2x ＝－2425
. ∵－π2
<x <0，∴cos x >sin x . ∴cos x －sin x ＝
(cos x －sin x )2 ＝1－2sin x cos x ＝
1＋2425＝75. (2)sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－sin x cos x
＝2sin x (cos x ＋sin x )cos x －sin x cos x
＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x
＝
sin2x (sin x ＋cos x )cos x －sin x
＝⎝⎛⎭⎫－2425×1575
＝－24175
.。