1-2流体静力学(精)

3、平衡方程在重力场中的应用 dp Xdx Ydy Zdz
在重力场中，单位质量流体所受体积力仅为重力 X = 0, Y = 0, Z = -g (Z在z轴上与重力方向相反故取负号）
可知 dp gdz dp gdz 0


dp gdz 0 p gz 常数；静力学方程
h 1.16 m
Pa
h1=0.7m
油
h2=0.6m
Pa
B' h=?
A'
例题.流向的判断
两容器直径D1=1000mm,D2=400mm,容器1水面上的
真空度 pV = 1.333×104 pa 维持不变，容器2为敞口，
阀门关闭时，水面高度z1=2.5m,z2=1.5m。 问：（1）当阀门开启时，两液面能否维持不变？
表压 = 绝对压强-大气压 真空度 = 大气压强-绝对压强
表压 绝对压强
真空度
大气压
绝对压强
图 绝对压力、表压与真空度的关系
三、 压强及压差的静力学测量方法
Pa
R
A
1.简单测压管
pA pa gR
2. U型测压管
p1 p2
p1 pA gh p2 pa i gR pA pa i gR gh
3.3 若指示液密度小于流体密度必须采用倒U型管压差计 PA PB Rg( i )
被测流体
ρ zA h1
0
ρ
h2 zB
R
3
4指示液ρi
基准面 0
U形压差计
3.4.微差压差计
P1
P2
用于两点压差较小的情况 ① 内装两种密度相近但不相溶的指
示剂 A、C
② U管上顶装有扩大室“水库”。 A液面差大， 但C液面变化微小可认为维持等高
静力学方程的应用
例题. 开口容器上层为油，下层为水，h1 =0.7m,1 =800kg/m3 水层高度 h2=0.6m，2 =1000kg/m3 (1)判断下列关系是否成立：pA pA ', pB pB '
(2)计算水在玻璃管内的高度 h
Pa
Pa
h1=0.7m 油
h2=0.6m
B' h=?
PA
g
（pa

pV）

g

Z2
D1 PV A'
D2
pa
B'
F
现取底面和大气压作为位能和压强能的基准
对B点：单位重量的总势能为 P B g Z2 1.5m
对A点：单位重量的总势能为：
D1
D2
PA g Z1 - pV g
PV A
pa
B
2.5 (1.333104 /1000 9.81)
h为液柱高度要指明为何种流体)
（3）以大气压强作为计量单位
1atm = 1.013×105 pa = 760 mmHg = 10.33 mH2O 1at = 1 kgf/cm2 =9.81×104 pa =735.6 mmHg=10 mH2O (atm 标准大气压，at 工业大气压)
5、压强的基准 （1）绝对压强 — 以绝对真空为基准 （2）表压或真空度－以大气压强为基准
2 x
2 x
上式各项除以 x y z后化简，得：
X

1

(
p x
)

0

Y

1

(
p y
)

0

Z

1

(
p z
)

0

欧拉平衡方程 (单位质量流体所受的体积力和压力)
将流体微元在空间移动dl距离, dl在三个轴上的分量为dx, dy, dz
以上三式分别乘以dx, dy, dz后相加:
A'
解： (1) pA pA ' 的关系成立
符合静力学方程使用条件
pB pB ' 的关系不能成立 B和B '虽在同一水平面上，但不是连通 着的同一流体，不符合静力学方程使用条件
（2）由上面讨论知：
pA pA '
于是, pa 1gh1 2gh2 pa 2gh
化简后：800 0.7＋1000 0.6 1000 h?
力是矢量不可直接相加， 功是标量可直接相加。
1 [(p )dx (p)dy (p)dz] ( Xdx Ydy Zdz) 0
x
y
z
为两力对微元流体做功之和为零 dp Xdx Ydy Zdz
则得流体平衡的一般表达式为: dp ( Xdx Ydy Zdz)
dldldxdydz将流体微元在空间距离在三个轴上的分量为移动dxdydz以上三式分别乘以后相加dpxdxydyzdzdpxdxydyzdz为两力对微元流体做功之和为零则得流体平衡的一般表达式在重力场中单位质量流体所受体积力仅为重力z在z轴上与重力方向相反故取负号3平衡方程在重力场中的应用zdzydyxdxdpdpdpgdzgdzdpgd常数
作业： P56 习题：1、5、8
（2）若不能维持原状，当重新达到平衡时，
液面高度各有何变化？
D1
D2
P A
p B F
解：（1）分析：若两液面维持不变则液体处于静止状态， 两容器内任意两点总势能相等。
关于压强基准的使用
因此以大气压pa为基准，则A点压强为－pv ,B点压强为0
若以绝对真空为基准，则以绝对压强直接代入，应为：
PB g pa g Z2
F
1.14m
结论： 因PB / g PA / g，液面不能维持不变，
水将从容器2流向容器1.
（2）设液体重新静止达到平衡时，容器1水面上升了h1， 容器2水面下降了h2。
当达到平衡后液体静止状态，各点总势能相等 即：
PB '/ g PA '/ g
Z1 h1 pV g Z2 h2 ①


静力学方程适用条件：重力场中静止的、连续的不可
压缩流体（密度ρ为常数 ）
推广 : 静止流体中任意两点则有
p1


gz1

p2

gz2
或 p2 p1 g(z1 z2 ) p1 gh
1
2
Z1
Z2
4、压强能与位能
p －单位质量流体所具有的压强能，（J / kg）

gz－单位质量流体所具有的位能 mgz，（J / kg） m
设作用于单位质量流体上的体积力在x方向上的分量为X
则微元所受体积力在x方向上的分量为X x y z
同理可知在y方向上的分量为Y x y z 在z方向上的分量为Z x y z
因流体处于静止状态,外力（表面力与体积力）之和为零
对x方向
( p 1 p x)yz ( p 1 p x)yz Xxyz 0
第二节 流体静力学
一、静压强在空间的分布 1、任意点上的静压强
静止流体中，作用于某一点上的压强，用符号p表示。 空间各点的静压强数值不同。
p f (x, y, z)
p
p
p
p
a a'
2、流体微元的受力平衡
z
2.1 表面力
A点静压强为P 流体微团
x方向压强
abcd面上压强 P a'b'c'd'面上压强
P p gz；P ：单位质量流体的总势能（J / kg）


P －为虚拟压强，具有与压强相同的因次
压强的表示方法
（1）直接按压强的定义：N/m2( Pa 帕斯卡)、 千帕，kpa、兆帕，Mpa
1兆帕=106 N/m2=106 pa
(2)间接以流体柱高度表示： p gh
h p
g
(
PA PB Rg(i )
被测流体
ρ
zA h1
0
ρ
讨论：
h2
zB
3.1 U型管压差计所测读数R
R
并不是真正的压差ΔP，而
1
2指示液ρi
是A、B两点虚拟压强差△P
基准面 0
U形压差计
3.2 当 zA = zB时，即两测压口位于同一水平面
PA -PB pA - pB g(i - )
容器1因水面上升增加的水体积即容器2减少的体积 即：

4
D12 h1


4
D22 h2
②
①、②联立：h2 0.31m；h1 0.05m
D1 PV A'
D2
pa
B'
F
3.1 U型管压差计
p1 p2 pA gh1 pB g（h2 R） i gR
等式两端皆加以 gH pA g（h1 H） pB g（h2 H） Rg（i ） ( pA gzA ) ( pB gzB ) Rg(i )
p1 p2 (A C )gR
公式推导过程可参考天大或王志魁编的化工原理
四、应用静力学方程解题的注意事项及解题步骤
1、注意事项 重力场中静止的、连续的不可压缩流体（密度ρ为 常数 ）
2、解题步骤 （1） 画出设备示意图 （2） 画出基准水平线，确定适宜等高面 （3） 根据等高面等压的原则列出相应方程式 （4） 联立求解
P
p x
x 2
p x
x 2
b b' d A d'
c c' y
x
x方向压力

P P

p x p x
x
2
x
2



y y
z z
p 指x方向压强梯度 x
同理可写出y方向和z方向的表面所受的压力
2.2 体积力（质量力）