内蒙古赤峰市宁城县2020学年高一数学上学期期末考试试

内蒙古赤峰市宁城县2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题
（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.选项填涂在答题卡上.
1.已知集合{}
12A x x =-<≤，{}|13B x x =<<，则A B =I （ ） A. [)2,3 B. ()1,3-
C. ()1,2
D. (]
1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
由集合交集的定义直接计算即可得出答案.
【详解】由题意{}
12A x x =-<≤，{}|13B x x =<<，则由交集定义可得：
{}A B |12x x ⋂=<≤，即为：(]A B 1,2⋂=.
故选：D.
【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于基础题. 2.下列函数中哪个与函数y x =相等（ ）
A. ()f x =
B. ()f t =
C. 2
()x f x x
=
D.
()lnx f x e =
【答案】B 【解析】 【分析】
由已知函数的定义域和解析式利用相等函数的定义直接判断即可得出答案. 【详解】由已知函数解析式y x =，可得已知函数的定义域为R ，
A 项定义域为R ，但是解析式为：y x =，与已知函数解析式不同，不是相等函数；
B 项定义域为R ，解析式为()f t t =，与已知函数解析式相同且定义域相同，是相等函数；
C 项定义域为{}|0x x ≠，与已知函数定义域不同，故不是相等函数；
D 项定义域为{}|0x x >，与已知函数定义域不同，故不是相等函数； 综上可得B 项函数和已知函数是相等函数. 故选：B.
【点睛】本题考查了相等函数概念的应用，属于基础题. 3.三个数6
0．7
、0．76、㏒0．76
的大小顺序是（ ）
A. 0．76
<㏒0．76
<60．7
B. 0．76<6
0．7
<㏒0．76
C. ㏒0．76<0．76<60．7
D. ㏒0．76<60．7<0．76
【答案】C 【解析】 试题分析：()0.7
60.76
1,0.70,1,log 60>∈<，所以㏒0．76<0．76<60．7
考点：比较大小
4.用边长分别为2与4的矩形，作圆柱的侧面，则这个圆柱的体积为（ ） A.
4π
B.
6π
C.
6π或8π
D.
4π
或8π
【答案】D 【解析】 【分析】
分类讨论当圆柱的高和底面周长分别为2和4或为4和2时，分情况计算对应圆柱的高和底面半径，进而求出对应圆柱的体积.
【详解】当圆柱的高和底面周长分别为2和4时，则可得底面半径为2π，底面面积为4
π
，则体积为8π；当圆柱的高和底面周长分别为4和2时，则可得底面半径为1π，底面面积为1
π，
则体积为4π；则可得圆柱的体积为8π或4
π
.
故选：D.
【点睛】本题考查了圆柱侧面展开图和体积的计算，确定圆柱的高和底面周长是解题的关键，属于基础题.
5.点(39)，
关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是（ ）
A. (13)--，
B. (179)-，
C. (1
3)-， D.
(179)-，
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知点和对称点的中点在已知直线上，且已知点和对称点的连线与已知直线垂直，直接列式求解即可得出答案.
【详解】设点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标为(,)a b ，则由
393
1002291133a b b a ++⎧+⨯-=⎪⎪
⎨
-⎛⎫⎪⨯-=- ⎪⎪-⎝⎭
⎩， 解得：1a =-，3b =-，即得该点坐标为()1,3--. 故选：A.
【点睛】本题考查了求已知点关于已知直线对称点的问题，充分利用两点关于直线的对称的性质是解题的关键，属于一般难度的题
6.已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A. c <b <a
B. a <b <c
C. b <c <a
D. c <a <b
【答案】A 【解析】
详解】试题分析：由幂函数图像特征知，1a >，01b <<，0c <，所以选A ． 考点：幂函数的图像特征． 【此处有视频，请去附件查看】
7.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(/)v m s 和燃料的质量()M kg 、火箭（除燃料外）的质量()m kg 的函数关系是2000ln 1M v m
⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，当火箭的最大速度可达到12(/)km s 时，燃料的质量和火箭质量的比为（ ）
A. 0.0061e -
B. 6e
C. 61e -
D. 61e +
【答案】C 【解析】 【分析】
利用函数关系v =2000ln 1M m
⎛⎫+ ⎪⎝
⎭在()0,M
m
∞∈+上是递增函数，
直接代入求解即可得出答案.
【详解】由题意可得函数v =2000ln 1M m
⎛⎫+
⎪⎝
⎭在()0,M
m
∞∈+上是递增函数，所以当火箭速度达到12(/)km s 时，令12000=2000ln 1M m ⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭解得
M m =61e -，即得此时燃料的质量和火箭的质量的比为61e -. 故选：C.
【点睛】本题借助于实际问题考查了指数函数单调性的应用，单位换算是本题容易出错的地方，属于基础题.
8.正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为( )
A. 30°
B. 45︒
C. 60︒
D. 90︒
【答案】C 【解析】
【详解】连接1A D ，
由正方体的几何特征得：11A D B C P 则1BA D ∠即为异面直线1A B 与1B C 所成的角 连接BD ，易得：11BD A D A B == 故160BA D ∠=︒ 故选C 9.函数2()ln(1)
x
f x x -=
+的定义域为 （ ）
A. (1,0)(0,2]-⋃
B. (0,2]
C. (1,2)-
D. (1,2]-
【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数解析式，只需解析式有意义即可求出. 【详解】要使函数有意义，则需满足：
201011x x x -≥⎧⎪
+>⎨⎪+≠⎩
，解得120x x -<≤≠且 所以定义域为(1,0)(0,2]-⋃， 故选A
【点睛】本题主要考查了给出函数解析式的函数定义域问题，属于中档题.
10.南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这
两个平行平面的任意平面α所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S 1,S 2，则（ ）
A. 如果S 1,S 2总相等，则V 1=V 2
B. 如果S 1=S 2总相等，则V 1与V 2不一定相等
C. 如果V 1=V 2 ，则S 1,S 2总相等
D. 存在这样一个平面α使S 1=S 2相等，则V 1=V 2 【答案】A 【解析】 【分析】
由祖暅原理的含义直接判断即可得出答案. 【详解】如图所示：
由祖暅原理的含义可得当平面αβP ，并且和α平行的平面截得两个几何体的所得的截面面积12S S =时，12V V =，则A 选项正确. 故选：A.
【点睛】本题考查了祖暅原理的理解和应用，属于基础题. 11.直线330x -+=被圆2
2
4x y +=截得的弦长为（ ） 2 B. 2
3 D. 4
【答案】B
【解析】 【分析】
利用直线和圆相交所得的弦长公式222r d -直接计算即可.
【详解】由题意可得圆的圆心为O(0,0)，半径2r =，则圆心到直线的距离
0023
313
d ++=
=+，所以由直线和圆相交所得的弦长公式可得弦长为：
22222232r d -=-=.
故选：B.
【点睛】本题考查了直线和圆相交所得弦长的计算，考查了运算能力，属于基础题. 12.函数()f x 的定义域为［－1,1］，图象如图1所示，函数()
g x 的定义域为［－1,2］，
图象如图 2 所示，若集合 A ＝{}|(())0x f g x =，B ＝{}|(())0x g f x =，则 A ⋂B 中元素的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C 【解析】
试题分析：由图可知，当()0f x =时，1,0,1x x x =-==，由()1,()0,()1g x g x g x =-==得，1,0,1x x x =-==，即{}1,0,1A =-，当()0g x =时，0,2x x ==，由
()0,()2f x f x ==得，1,0,1x x x =-==，所以{}1,0,1B =-，即{}1,0,1A B ⋂=-，故
选C.
考点：1.函数的图象；2.复合函数求值；3.集合的表示与运算. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若函数32
()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数
据如下：
那么方程32220x x x +--=的一个近似根为________（精确到0.1）． 【答案】1.4 【解析】 【分析】
先由题中参考数据可得根在区间()1.43751.40625，内，又因为1.4375和1.40625精确到小
数点后面一位都是1.4符合要求，即可得到答案
【详解】由表格可得：函数()3
2
22f x x x x =+--的零点在()1.406251.4375，之间
结合选项可知：方程32220x x x +--=的
一个近似根（精确到0.1）是1.4
故答案为1.4
【点睛】本题主要考查了二分法及函数零点的判定定理，运用二分法求方程的近似解，属于基础题．
14.函数2
4y x x =-,其中[]
3,3x ∈-,则该函数的值域为___________.
【答案】[]
4,21-； 【解析】
试题分析：24y x x =-=2
(2)4x --，其在[－3,2]是减函数，在[2，3]是增函数，且－3
距离对称轴较远，所以最大值为f(－3)=21，最小值f(2)=－4，即该函数的值域为[]
4,21-． 考点：本题主要考查二次函数在闭区间的最值．
点评：典型题，二次函数在闭区间的最值问题，是高考考查的重点之一．一般地，要结合图象，分析函数的单调性，得出结论．
15.半径为R 的球内接一个正方体，则该正方体的体积是 ________________. 【答案】
3
9
R
【解析】
【
分析】
先分析得出球的直径即为内接正方体的体对角线，然后计算求出正方体的边长，进而求出正方体的体积.
【详解】由题意可得球的直径即为内接正方体的体对角线，设正方体的边长为a，则由
2R3a
=可得
23R
a=，所以正方体的体积V=
3
3
83
9
R
a=.
故答案为：
3 83R
【点睛】本题考查了球的内接正方体的性质的应用，分析出球的直径为内接正方体的体对角线是解题的关键，属于基础题.
16.如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填
上)
【答案】2,3
【解析】
因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影．四边形BFD1E 在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如图②所示；
四边形BFD1E在该正方体对角面的ABC1D1内，它在面ADD1A1上的射影显然是一条线段，如图③所示．故②③正确，答案为②③
【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则来作出三个视图的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．本题是根据三视图投影规则来选择正确的视图，三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视.
三、解答题:（共6个题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．共70分） 17.设集合{}
2
|3180A x x x =--≤，{}|84B x m x m =-≤≤+.
（1）若3m =，求()R C A B ⋂；
（2）当=A B A I 时，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[5,3)(6,7]--⋃；（2）25m ≤≤. 【解析】 【分析】
（1）3m =时，确定集合B ，再对集合A 化简，再得到R C A ，然后根据集合的交集运算，得到答案；（2）根据=A B A I ，得到A B ⊆，从而得到关于m 的不等式组，解出m 的取值范围.
【详解】（1）因为3m =，所以集合{}[]|575,7B x x =-≤≤=- 集合{
}
2
|3180A x x x =--≤
{}[]6|33,6x x ≤≤=-=-，
所以()(),36,R C A =-∞-+∞U ， 所以()[5,3)(6,7]R C A B --=I U （2）因为=A B A I ，所以A B ⊆， 所以83
46m m -≤-⎧⎨
+≥⎩
，解得25m ≤≤.
【点睛】本题考查集合的补集和交集运算，根据交集结果求参数范围，属于简单题. 18.已知点△ABC 三顶点坐标分别是(1,0),(1,0),(0,2)A B C -， （1）求A 到BC 边的距离d ；
（2）求证AB 边上任意一点P 到直线AC,BC 的距离之和等于d .
【答案】（1）45；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)先由BC 两点坐标求出过点B 和C 的直线方程，然后由点到直线的距离公式即可求得答案；
(2)由AC 两点坐标求出过点A 和C 的直线方程，然后由点到直线的距离公式分别求出P 点到直线AC 和BC 的距离，再求和即可得出结果进而证明结论.
【详解】（1）由题意坐标B(1,0)，C(0,2)所以由截距式可得直线BC 的方程为：12y x +=，即220x y +-=，由点到直线的距离公式可得A 到BC 边的距离d 224555--=
=； （2）设(),0,11P t t -≤≤，∵直线AC 的方程是12y x -+
=，即220x y -+=- ∴则P 到直线AC 的距离为()122
25155
t d t +==+ 则P 到直线BC 的距离为()222
2515t d t -==-，∴1245d d d +==. 即AB 边上任意一点P 到直线AC ，BC 的距离之和等于d .
【点睛】本题考查了截距式求直线方程的应用，考查了点到直线距离的求解，考查了运算能力，属于一般难度的题.
19.已知点()()1,0,1,0,A B -直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之和为2.
（1）设(),M x y 且()y f x =，求()f x 的表达式，并写出函数()f x 的定义域；
（2）判断函数()f x 的奇偶性？并给出证明;
（3）试用函数单调性的定义证明：()f x 在定义域上不是增函数，但在（0，1）∪（1，+）上为增函数.
【答案】（1）1()f x x x
=-
，定义域为{ x 丨1x ≠±且0x ≠}；（2）奇函数，证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)设(),M x y 由题意求出AM BM K ,K ，然后列出表达式，再求出满足表达式的定义域；
(2)利用函数奇偶性的定义直接证明判断；
(3)举出反例证明函数在整个定义域上不是增函数，然后利用函数单调性的定义证明在（0，
1）∪（1，+）上为增函数.
【详解】（1）设(,)M x y ，由题意可得AM BM K ,K 11y y x x ==+-，则211
y y x x +=-+， 化简得得：1y x x =-，由10100x x x +≠⎧⎪-≠⎨⎪≠⎩
，可得1x ≠±且0x ≠，所以可得函数表达式为：1()f x x x
=-，定义域为{ x 丨1x ≠±且0x ≠}； （2）由(1)得函数定义域为{
x 丨1x ≠±且0x ≠}，关于原点对称， 所以由()11()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝
⎭，可得()f x 在定义域上是奇函数； （3）取12121133,,(),()2222
x x f x f x =-===-， 则由12x x <，()()12f x f x >可得()f x 在定义域上不是增函数，
设()()1212121212121110,()()1x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫<<∴-=---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 显然无论1101x x <<<，或者111x x <<或者1101x x <<<都有12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <
从而()f x 在（0，1）∪（1，+）上为增函数.
【点睛】本题考查了由两点求斜率，考查了函数定义域的求解，考查了利用函数奇偶性和单调性的定义证明函数的奇偶性和单调性，属于综合性的基础题.
20.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点()0,3A ，直线24l y x =-：.
（1）若坐标平面上动点M 满足2=MA MO ,求动点M 轨迹C 的方程；
（2）设半径为1 ，圆心N 在l 上的圆N 和（1）中轨迹C 有公共点，求圆心N 横坐标a 的取值范围.
【答案】（1）()2214x y ++=；（2）12[0,
]5
【解析】
【分析】
(1)利用两点间距离公式直接列式化简即可得动点的轨迹方程；
(2)利用两圆有公共点得()[]22210
24(1)21a a -≤
-+---≤+，解不等式即可得出答
案.
【详解】（1）设M(x,y ),∵2=MA MO ,A(0,3),O(0,0)，∴2222(3)2x y x y +-=+, 化简得()2214x y ++= ∴动点M 的轨迹C 方程是()2214x y ++=；
（2）设(),24N a a -，则圆N 的方程为()()22
241x a y a -+-+=， 由(1)轨迹C 为圆心为C(0,-1)，半径2r =的圆，则由圆C 和圆N 有公共点，可得圆心距的范围为：2121CN -≤≤+，
所以由()[]22024(1)CN a a =
-+---可得()[]221024(1)3a a ≤-+---≤ 解得1205a ≤≤，即a 的取值范围是12[0,]5
. 【点睛】本题考查了动点轨迹方程的求解，考查了圆与圆的位置关系，考查了运算能力，属于一般难度的题.
21.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，E 为棱1AA 的中点，2AB =，13AA =．
（1）求证：1
//AC 平面BDE ； （2）求证：1BD A C ⊥；
（3）求三棱锥A BDE -的体积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1
【解析】
【分析】
（1）利用线面平行的判断定理得证；
（2）先用线面垂直的判定证明BD ⊥平面11ACC A ，再利用性质得出1BD A C ⊥；
（3）利用等体积法转化底面，A BDE E ABD V V --=求得体积.
【详解】(1)证明：设AC BD O ⋂=，连接OE ，
在1ACA V 中，O Q ，E 分别为AC ，1AA 的中点，1//OE A C ∴，
1A C ⊄Q 平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，
1//A C ∴平面BDE ；
(2)证明：Q 侧棱1AA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，1AA BD ∴⊥，
Q 底面ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，
1AA AC A ⋂=Q ，BD ∴⊥平面11ACC A ，
1A C Q ⊂平面11ACC A ，1BD A C ∴⊥；
(3)解：Q 侧棱1AA ⊥底面ABCD 于A ，E 为棱1DD 的中点，且13AA =，
32AE ∴=
，即三棱锥E ABD -的高为32
． 由底面正方形的边长为2，得12222
ABD S V =⨯⨯=． 11321332A BDE E ABD ABD V V S AE --∴==⋅=⨯⨯=V ． 【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行、线面垂直等相关知识的证明，还考查了运用等体积法求体积的方法，属于基础题.
22.已知定义在R 上的函数()f x 同时满足：①对任意x ∈R ，都有(1)()f x f x +=-；②当(0,1]x ∈时，()f x x =，
（1）当(2,4]x ∈时，求()f x 的表达式；
（2）若关于x 的方程()2f x x m =+在(2,4]上有实数解，求实数m 的取值范围；
（3）若对任意(,4]x ∈-∞，关于x 的不等式()2x m f x >+都成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）2,23()3,34x x f x x x -<≤⎧=⎨
-<≤⎩
；（2）54m -≤<-或96m -≤<-；（3）9m <- 【解析】
【分析】
(1)由①求函数周期T=2，然后由函数周期性和递推关系式求出(2,4]x ∈的函数解析式； (2)设方程的实数解为0x ，利用(1)的结论解方程和不等式0002223x x m x -=+⎧⎨<≤⎩
或0003234
x x m x -=+⎧⎨<≤⎩即可求出参数m 的取值范围； (3)先求函数2,23()3,34x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩
的最小值()min 1f x =-，再由函数的周期性可得在(,4]x ∈-∞上恒有()min 1f x =-，然后求得在(,4]x ∈-∞上()2h x x m =+的最大值为()max 8h x m =+最后由18m ->+即可得出答案.
【详解】（1）∵对任意x ∈R ，都有(1)()f x f x +=-，∴()(2)1()f x f x f x +=-+=， 即(2)()f x f x +=则可得函数的周期为T=2，
当(0,1]x ∈时，()f x x =,∴当(2,3]x ∈时，2(0,1]x -∈，()(2)2f x f x x =-=-， 当(3,4]x ∈时，1(2,3]x -∈，()(1)[(1)2]3f x f x x x =--=---=-，
∴(2,4]x ∈时，2,23()3,34x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩
； （2）设关于x 的方程()2f x x m =+在(2,4]上的实数解为0x
则0002223x x m x -=+⎧⎨<≤⎩或0003234x x m x -=+⎧⎨<≤⎩，∴00223x m x =--⎧⎨<≤⎩或001334
m x x ⎧=-⎪⎨⎪<≤⎩ ∴54m -≤<-或96m -≤<-
（3）由(1)得2,23()3,34
x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩可得在(2,4]x ∈上()()min 41f x f ==-，又因函数()f x 的周期为T=2，则可得(,4]x ∈-∞上恒有()min 1f x =-，
令函数()2h x x m =+得在(,4]x ∈-∞上单调递增，则可得()()max 48h x h m ==+， 由题意对任意(,4]x ∈-∞，关于x 的不等式()2x m f x >+都成立，
则可得恒有：()()min max f x h x >即18m ->+解得9m <-.
【点睛】本题考查了抽象函数周期的推导，考查了函数与方程的应用，考查了在给定区间上不等式恒成立的问题，属于中档题.。