高三数学12月月考试题理应届试题

毛坦厂中学2021届高三数学12月月考试题 理〔应届〕
创 作人： 历恰面 日 期： 2020年1月1日
一、选择题(此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，每一小题只有一个选项符合题意)
1．
i 1i =1i i -+- 〔 〕 A ．11i 22-+ B ．11i 22- C ．31i 22-- D ．13i 22
--
2．定义在上的函数
满足
,且
为偶函数，假设
在
内
单调递减，那么下面结论正确的选项是〔 〕 A ． B ． C ．
D ．
3、两个等差数列{}{}n n b a 和的前n 项和分别为n n T S 和，且
n n T n S n )237()1+=+（，那么使得n
n
b a 为整数的正整数n 的个数是〔 〕
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5 4．某几何体的三视图如下图〔单位：
〕，那么这个几何体的体积为〔 〕
第4题图 第5题图
A ．
B ．
C ．3
16cm D ．
5．函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的局部图象如下图，且(,1),(,1)2A B π
π-，那么ϕ的值是〔
A ．
56
π
B ．
6
π C ．6
π-
D ．56
π-
6.的内角
的对边分别为．假设成等比数列，且，那么
(
A ．
B ．
C ．
D ．
7．不等式2
334a a x bx -≤++-〔其中[]0,1b ∈〕对任意实数x 恒成立，那么实数a 的取值范围〔 〕
A ．](
),14,⎡-∞-⋃+∞⎣ B ．[]1,4- C ．[]1,2
D ．](
),12,⎡-∞-⋃+∞⎣
8．函数()()
()()24312311x ax x f x a x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩
在x ∈R 内单调递减，那么的取值范围是( ).
A ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
B ．12,
23⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
C ．2,13⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．[
)1,+∞ 9．0x >，0y >，lg 2lg8lg 2x y
+=，那么
113x y
+的最小值是〔 〕 A ．2
B ．22
C ．3
D ．4
10．平面内有三个向量
，其中与
夹角为120°，
与
的夹角为30°，且
，假设
，〔λ，μ∈R 〕那么〔 〕
A ．λ=4，μ=2
B ．
C ．
D ．
11．中国古代数学经典?九章算术?系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方
形，2AD =，1ED =，假设鳖臑P ADE -的外接球的体积为
7143
π
，那么阳马P ABCD -的外接球的外表积等于
第10题图 第11题图 第12题图
A ．18π
B ．17π C.16π D.15π
12.．如图，在Rt △ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边AB 的中点，将△BCD 沿直线CD 翻折，假设在翻折过程中存在某个位置，使得CB ⊥AD ，那么x 的取值范围是〔 〕
A ．〔0，]
B ．〔
，2] C ．〔
，2
] D ．〔2，4]
二、填空题 13．函数π()2sin(π)0,0,2f x a x a ωϕωϕ⎛
⎫=
+≠>≤ ⎪⎝
⎭，直线y a =与()f x 的图象的相邻两个交点
的横坐标分别是2和4，现有如下命题：
①该函数在[2,4]上的值域是[2]a a ； ②在[2,4]上，当且仅当3x =时函数取最大值；
③该函数的最小正周期可以是8
3
； ④()f x 的图象可能过原点．
其中的真命题有__________．〔写出所有真命题的序号〕 14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝－7，S 3＝－15. 求S n _________
15．数列{}n a 中，11a =，以后各项由公式2
123...n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=给出，那么35a a +等于_____.
16．2
:2310p x x -+≤，2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤．假设p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，那么实
a 的取值范围是__．
三、解答题
17．函数2()3cos cos 1f x x x x b ωωω=⋅+++． 〔1〕假设函数()f x 的图象关于直线6
x π
=对称，且[]0,3ω∈，求函数()f x 的单调递增区间；
〔2〕在〔1〕的条件下，当70,12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()f x 有且只有一个零点，务实数b 的取值范围．
18．如图，在直角梯形CD AB 中，//CD AB ，D AB ⊥A ，且1
D CD 12
AB =A =
=．现以D A 为边向梯形外作矩形D F A E ，然后沿边D A 将矩形D F A E 翻折，使平面D F A E 与平面CD AB 垂直．
〔1〕求证：C B ⊥平面D B E ；
〔2〕假设点D 到平面C BE 的间隔 为
6
3
，求三棱锥F D -B E 的体积． 19．．x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：
(1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．
20．在直角梯形PBCD 中，,4,2,2
====
∠=∠PD CD BC C D π
A 为PD 的中点，如图．将△PA
B 沿
AB 折到△SAB 的位置，使SB ⊥BC ，点E 在SD 上，且SD SE 3
1
=
，如图．
〔Ⅰ〕求证：SA ⊥平面ABCD ； 〔Ⅱ〕求二面角E ﹣AC ﹣D 的正切值．
21．以1a 为首项的数列{}n a 满足：11n n a a +=+〔*n N ∈〕.
〔1〕当11
3
a =-
时，且10n a -<<，写出2a 、3a ； 〔2〕假设数列{}
n a 〔110n ≤≤，*n N ∈〕是公差为1-的等差数列，求1a 的取值范围；
22函数f (x )＝λln x －e -x
(λ∈R)．
(1)假设函数f (x )是单调函数，求λ的取值范围；
(2)求证：当0<x 1<x 2时，1
2
11112x x e e x
x -
>---
20212021学年度高三年级12月份月考
应届数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C
B
C
B
D
C
B
C
D
C
B
A
13．④ 14．n n S n 82-=
15．
6116
16．10,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
17．.试题解析：
〔1〕函数()2
3sin cos cos
1f x x x x b ωωω=+++
3sin 262x b πω⎛
⎫=+++ ⎪⎝
⎭，......................2分
∵函数()f x 的图象关于直线6
x π
=对称，
∴26
6
2
k π
π
π
ωπ⋅
+
=+
，k Z ∈且[]
0,3ω∈，∴1ω=〔k Z ∈〕，.
由2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
解得3
6
k x k π
π
ππ-
≤≤+
〔k Z ∈〕，.....................4分
函数()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦〔k Z ∈〕．.....................5分
〔2〕由〔1〕知()3
sin 262
f x x b πω⎛⎫=+
++ ⎪⎝
⎭， ∵70,12x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，∴42,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
， ∴2,662x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，即0,6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
函数()f x 单调递增； 42,623x π
ππ⎡⎤+
∈⎢⎥⎣⎦，即7,612x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
函数()f x 单调递减．.....................7分 又()03f f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，∴当03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭ 712f π⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
或者06f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
时，函数()f x 有且只有一个零点， 即435sin
sin 326b ππ≤--<或者3102
b ++=， ∴3352,22b ⎛⎤-⎧⎫∈-⋃- ⎨⎬⎥ ⎩⎭⎝
⎦．............................................10分 18.〔1〕见解析；〔2〕
6
1
． 解析：〔1〕证明：在矩形D F A E 中，D D E ⊥A
因为面D F A E ⊥面CD AB ，
所以D E ⊥面CD AB ，所以D C E ⊥B
又在直角梯形CD AB 中，D 1AB =A =，CD 2=，DC 45∠B =，所以C 2B =，
在CD ∆B 中，D C 2B =B =，CD 2=，.........................................4分
所以：222D C CD B +B = 所以：C D B ⊥B ，
所以：C B ⊥面D B E ...................................................6分
〔2〕由〔1〕得：面D BE ⊥面C B E ， 作D E ⊥BE 于H ，那么D H ⊥面C B E
所以：6
D H =
分 在D ∆B E 中，D D D B ⋅E =BE⋅H
即：(
)
262D D 23
⋅E =
E +，解得D 1E =
所以：F D FD
111
V V 1326
-B E B-E ==⨯⨯=........................................12分 19.
解 (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y
＝1，又x >0，y >0， 那么1＝8x ＋2
y
≥2
8x ·2y
＝8xy
，得xy ≥64，
当且仅当x ＝4y ，即x ＝16，y ＝4时等号成立．.........................................6分
(2)解法一：由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＝8y
y －2
， 因为x >0，所以y >2， 那么x ＋y ＝y ＋
8y y －2＝(y －2)＋16y －2
＋10≥18， 当且仅当y －2＝16
y －2
，即y ＝6，x ＝12时等号成立． (12)
分
解法二：由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2
y
＝1，
那么x ＋y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫8x ＋2y
·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x
≥10＋2
2x y ·8y
x ＝18，当且仅当y ＝6，x ＝12时等号成
立．.........................................12分
20.
〔Ⅰ〕证明见解析〔Ⅱ〕
【解析】
试题分析：〔法一〕〔1〕由题意可知，翻折后的图中SA⊥AB①，易证BC⊥SA②，由①②根据直线与平垂直的断定定理可得SA⊥平面ABCD ；.........................................4分 〔2〕〔三垂线法〕由
考虑在AD 上取一点O ，使得
，从而可得EO∥SA ，所以EO⊥
面ABCD ，过O 作OH⊥AC 交AC 于H ，连接EH ，∠EHO 为二面角E ﹣AC ﹣D 的平面角，在Rt△AHO 中求即可
〔法二：空间向量法〕 〔1〕同法一
〔2〕以A 为原点建立直角坐标系，易知平面ACD 的法向为，求平面EAC 的法向量
代入公式求解即可
解法一：〔1〕证明：在题平面图形中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD 为正方形， 所以在翻折后的图中，SA⊥AB，SA=2，四边形ABCD 是边长为2的正方形，
因为SB⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B 所以BC⊥平面SAB ，
又SA ⊂平面SAB ， 所以BC⊥SA， 又SA⊥AB，BC∩AB=B
所以SA⊥平面ABCD ，
〔2〕在AD上取一点O ，使，连接EO
因为，所以EO∥SA
因为SA⊥平面ABCD，
所以EO⊥平面ABCD，
过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，
那么AC⊥平面EOH，
所以AC⊥EH．
所以∠EHO为二面角E﹣AC﹣D 的平面角，．
在Rt△AHO 中，
∴，
即二面角E﹣AC﹣D 的正切值为.........................................12分
解法二：〔1〕同方法一
〔2〕解：如图，以A为原点建立直角坐标系，A〔0，0，0〕，B〔2，0，0〕，C〔2，2，0〕，D〔0，2，0〕，S〔0，0，2〕，E〔0，〕
∴平面ACD 的法向为.........................................6分
设平面EAC 的法向量为=〔x，y，z〕，
由
n AC
n AE
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
，
所以，可取
所以=〔2，﹣2，1〕．.........................................9分
所以
所以
即二面角E﹣AC﹣D 的正切值为.........................................12分
21.〔1〕223a =-
，31
3
a =-；〔2〕19a ≤- 【解析】(1)因为以1a 为首项的数列{}n a 满足：11n n a a +=+，11
3
a =-，10n a -<<， 所以21213a a =+=
，所以223a =-；由32113a a =+=得31
3
a =-；...........4分 (2)因为数列{}
n a 〔110n ≤≤，*n N ∈〕是公差为1-的等差数列， 所以111n n n a a a +=-=+，所以()()2
2
11n n a a
-=+，.......................6分
所以22n n a a -=，所以0n a ≤， 所以
n n
a a =-， .........................................8分
故()11n a a n -=---，所以()110n a a n =+-≤，
因为110n ≤≤， .........................................10分 所以由题意只需：
10190
a a =+<，故
19
a ≤-..........................................12分
22.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
∵f (x )＝λln x －e -x
，∴f ′(x )＝λx ＋e －x ＝λ＋x e －x
x
，
∵函数f (x )是单调函数，∴f ′(x )≤0或者f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，....2分
①当函数f (x )是单调递减函数时，f ′(x )≤0，
∴λ＋x e －x x ≤0，即λ＋x e －x ≤0，λ≤－x e －x ＝－x e x ，
令φ(x )＝－x e x ，那么φ′(x )＝x －1e
x ，
当0<x <1时，φ′(x )<0，当x >1时，φ′(x )>0， 那么φ(x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴当x >0时，φ(x )min ＝φ(1)＝－1e ，∴λ≤－1
e
； (4)
②当函数f (x )是单调递增函数时，f ′(x )≥0，
∴λ＋x e －x x ≥0，即λ＋x e －x ≥0，λ≥－x e －x
＝－x e
x ，
由①得φ(x )＝－x
e x 在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又φ(0)＝0，x →＋∞时，φ(x )
∴λ≥0.
综上，λ≤－1
e
或者λ≥0..........................................6分
(2)证明：由(1)可知，当λ＝－1e 时，f (x )＝－1e ln x －e －x
在(0，＋∞)上单调递减，∵0<x 1<x
∴f (x 1)>f (x 2)，即－1e ln x 1－e -x 1>－1e
ln x 2－e -x
2，
∴e -x
2－e -x
1>ln x 1－ln x 2. 要证e
1-x 2
－e
1-x 1>1－x 2x 1.只需证ln x 1－ln x 2>1－x 2x 1，即证ln x 1x 2>1－x 2x 1
，
令t ＝x 1x 2
，t ∈(0,1)，那么只需证ln t >1－1
t
，.........................................10分
令h (t )＝ln t ＋1t －1，那么当0<t <1时，h ′(t )＝t －1
t
2<0，
∴h (t )在(0,1)上单调递减，又h (1)＝0，∴h (t )>0，即ln t >1－1
t
，得证． (12)。