16-17高数期中考试B解答

江苏科技大学16—17学年高等数学A2期中考试试题（B ）解答及评分标准
一、选择题（3′×5＝15′）
1． B 2． D 3． C 4． C 5． B
二、填空题（3′×6＝18′）
1． 14- 2． 43- 3． 122xy yf xe f ''-+ 4．73
5．
101(,)y dy f x y dx ⎰⎰
三、求下列极限（6′×4＝24′） 1. 22221()y z y x y x x y x -
∂==-∂++ , 2221
1()z x x y y x y
x ∂==∂++ ………4′ ∴ 2222+y x dz dx dy x y x y
=-++ …………………………………2′ 2. 5246393(23)211
i j k
n i j k i j k ==+-=+-- ……………………4′
∴ 所求平面方程为：2(2)(1)3(5)0x y z -++--=
即 23120x y z +-+= ………………………………2′
3. 原式21220
0()x dx x y dy =+⎰⎰ ……………………………………………………4′ 14601()3x x
dx =+⎰26105
= …………………………………………………2′ 4. 21: 2
L x y = :
20y -→ 02
L yds -∴=⎰⎰ …………………………………………4′ 13-=
………………………………………………2′
四、计算下列各题（7′×3＝21′）
1．11: 2
L y x =
:02x → , 2: 3L y x =- :23x → 原式2322021[()](62)2
x x x dx x x x dx =++⋅++--⎰⎰ ……………………………5′ 52= …………………………………………………………………2′ 2. 设所求点为(,,)x y z ，则(,,1)(,,1)x y n z z y x =-=- …………………………2′ n ⊥平面 1 //n n ∴ 1 131
y x -∴== …………………………2′ 3, 1x y ∴=-=-， 故3z xy == 即所求点为 (3,1,3)--
法线方程为
313131x y z ++-== …………………………………………3′ 3． 曲面：222z x y =-- 22:2xy D x y +≤
xy D S =
⎰⎰xy
D =⎰⎰ ……………………3′
20d πθ=⎰ ………………………………………………………2′
133
π=
………………………………………………………………2′ 五、证： 两边同时对x 求偏导： 12()()0z z F c a F b x x ∂∂''-+-=∂∂ ⇒ 112
cF z x aF bF '∂=''∂+ …………………………………………4′ 两边同时对y 求偏导： 12()()0z z F a F c b y y
∂∂''-+-=∂∂ ⇒ 212
cF z y aF bF '∂=''∂+ ∴ z z a b c x y
∂∂+=∂∂ …………………………………4′ 六、 设将铁丝分成两段长度分别为,x y ，则1x y +=
又由题设条件，正方形和圆的面积之和为 2211164S x y π=
+ …………………3′ 令2211(,)(1)164F x y x y x y λπ=
+++-
解10
810210x y F x F y x y λλπ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪+-=⎪⎪⎩
，得唯一可能极值点44x π=+，4y ππ=+ ………………4′ 又由问题的实际意义可知此最小值确实存在， 故分成的两段长分别为
44π+和4ππ
+ …………………………………1′ 七、（1）
直角坐标：11I dx f dz -=⎰ ………………2′
柱面坐标：2100r
I d rdr f dz πθ=⎰⎰ ……………………2′
球面坐标：224000()sin I d d f r r dr ππθϕϕ=
⎰⎰ ……………………2′ （2）V dv Ω
=⎰⎰⎰
224
000sin d d dr π
πθϕϕ=⎰⎰
41)3
π= ……………………………………………………3′。