中考专题二锐角三角函数,解直角三角形

锐角三角函数、解直角三角形
一．兴趣导入
二．考点及难易度1.锐角三角形函数。

2.比值关系及应用（记忆并会应用）3.特殊三角函数值（记忆） 4.特殊公式及应用（理解，记忆，应用）5.解直角三角形 6.解直角三角形的应用三、特殊技巧和能力培养1.锐角三角函数公式 2.直角三角形的公式定理3.仰角、俯角 4.方位角 5.坡角、坡度三．中考数学的格局及应对策略
1.注重基础，万丈高楼平地起
2.注重几何掌握和思维训练，注重数学能力和实际生活想结合
3.注重代数的运算能力
4.学习态度，答题技巧、心态也很重要四．锐角三角函数值（必考）
考点（一）锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A 所对的边BC 记为a，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c，叫做斜边．
锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sin A a
A c ∠=
=的对边斜边；
锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，即cos A b
A c ∠=
=的邻边斜边；
锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA，即tan A a
A A b
∠=
=∠的对边的邻边.
同理sin B b B c ∠=
=的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b
B B a
∠==∠的对边的邻边．
要点诠释：
(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角
的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成
，
，
，不能理解成sin 与∠A，cos 与∠A，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的记号“∠”，但对三
个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，
、
、
C
a
常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．
考点（二）特殊角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角
．
(2)仔细研究表中数值的规律会发现：
sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、
、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：
当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，
①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)
②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．
考点（三）锐角三角函数之间的关系
如图所示，在Rt△ABC 中，∠C=90°．
(1)互余关系：，；
(2)平方关系：；
(3)倒数关系：或
；
(4)商数关系：．
典型例题
1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=4，则sinA=____________
_______B A 0)tan 3(22
1
sin 2=∠+∠=-+-
，那么、已知B A 3.计算：（1）3tan30°-tan45°+2sin60°
(2)(cos 2
30°-sin 2
30°)×tan60°（3）︒
+︒
︒
60tan 60sin 30cos -14、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D 都在格点上，AB、CD 相交于点O，则tan ∠AOD =_________
五．解直角三角形及其应用（必考）考点（一）解直角三角形
1.解直角三角形的定义：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程叫做解直角三角形
2.解直角三角形是常用的基本关系如图在Rt△ABC 中，∠C=90°，
（1）三边之间的关系（勾股定理）：__________________________（2）两锐角间的关系：______________________（3）边与角的关系：(4)
)AB (AB 2
1
BC AC 21S ABC 上的高是h h ⨯
=
⨯
=
∆(5)
AB
BC AC BC
AC 2AB -BC AC ABC ++⨯=
+=
∆的内切圆半径Rt (6)Rt△ABC 的外接圆半径;（7）30度直角三角形性质
（8）直角三角形斜边中线性质定理：（9）三点共圆证直角
典型例题
1、如图，在△ABC 中，CA=CB=4，cosC=
1
4
,则sinB 的值为（）
2、如图，在△ABC 中，BC=12，tanA=3
4
,
∠B=30°，求AC 和AB 的长
3.三角板是我们学习数学的好帮手。

将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，求CD 的长度
4
10.
D 2
10.
A 3
15.
B 4
6.
C AC
BC A =
tan AB
AC A =
cos AB
BC
A =
sin
考点（二）解直角三角形的应用
1.解直角三角形的实际应用中的几个名词及相关概念
（1）仰角与俯角：如图，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫仰角，当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫俯角
（2）坡度与坡角：如图，坡面AB 与水平面AC 的夹角A 叫坡角，通常把坡面的铅直高度h 与
水平宽度l
的比叫做坡比或者叫坡度。

用字母i 表示
即A l
h
i tan ==
（3）方位角：如图OA、OB、OC、OD 的方位角分别是北偏东30°
南偏东45°或东南方向，南偏西60°，北偏西60°
2.应用解直角三角形解决实际问题的思路
（1）如果有直角三角形，利用直角三角形中边角之间的关系求解即可
（2）如果没有直角三角形，先构造直角三角形，再利用直角三角形中边角之间的关系求解
3.利用解直角三角形解应用题的一般步骤：
（1）根据题中图形标出已知长度和角度，以及要求的长度或高度
（2）构造直角三角形，一般根据题中图形，作出合适的高，如果题中图形是三角形，一般采用切割法或拼补法构造两个直角三角形，如图1；如果题中图形是梯形，一般构造直角三角形和矩形如图2（3）解直角三角形，将数据转化，求出题中要求的长度或高度，并作答
典型题目：
1.（绵阳2015）如图，要在宽为22米的九洲大道AB 两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120º角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直。

当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 的高度应设计为（
）
A 、()
2211-米
B
、()
22311-米
C 、()
3211-米
D 、()
4311-米
2.（绵阳2016）
如图，沿AC 方向开山修建一条公路，为了加快施工进度，要在小山的另一边寻找点E 同时施工，
从AC 上的一点B 取∠ABD=150°，沿BD 的方向前进，取∠BDE=60°，测得BD=520m，BC=80m，并且AC，BD 和DE 在同一平面内，那么公路CE 段的长度为（）A．180m B．260
m
C．（260
﹣80）m
D．（260
﹣80）m
3.（绵阳2018）一艘在南北航线上的测量船，于点A 测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C 时，测得海岛B 在点C 的北偏东15°方向，那么海岛B 离次航线的最近距离是（结果保留到小数点后两位：参考数据：41
4.12732.13≈≈，）(
)
A.4.64海里
B.5.49海里
C6.12海里
D6.21海里
4.（绵阳2019）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四
个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。

如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则（sinθ-cosθ)2
=（
）。

5
1
.
A B.
5
25
23.
C 5
9D.
5.如图，埃航MS804客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下500米的A 点处测得俯角为45°的前下方海底有黑匣子信号发出，继续沿原方向直线航行2000米后到达B 点，在B 处测得俯角为60°的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点距离海面的深度(结果保留根号)
10
6.如图，小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知∠CAD=30°，AB=DE=1.75m,BE=6m，那么这棵树大约有多高？(结果精确到0.1m,732
3 )
.1
7.2019年,成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事,这大幅提升了成都市的国际影响力.如图,在一场马拉松比赛中,某人在大楼A处,测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°,底部D的俯角为45°,如果A处离地面的高度AB=20米,求起点拱门CD的高度.(结果精确到1米;参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70)
8.如图所示，海中一渔船在A处且与小岛C相距70海里，若该渔船由西向东航行30海里到达B处，此时测得小岛C 位于B的北偏东30°方向上，求该渔船此时与小岛C之间的距离。

9.据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速，如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m，检测路段的起点A位于点C的南偏东60°方向上，终点B位于点C的南偏东45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s．问此车是否超过了该路段16m/s 的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：≈1.41，≈1.73）
10如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E（A，E，B在同一水平线上）点测得D点的仰角为30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C、D间的距离（计算结果用根号表示，不取近似值）。

11.如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9:00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行。

当天上午9:30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处。

若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近（计算结果用根号表示，不取
近似值）？
能力提升：
12.数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度，如图，老师测得升旗台前斜坡FC的坡比为=1:10（即EF:CE=1:10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE=35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角i
FC
为α，tanα=3
,升旗台高AF=1m，小明身高CD=1.6m，请帮小明计算出旗
7
杆AB的高度。

13.如图，线段AB、CD分别表示甲乙两建筑物的高，BA⊥AD，CD⊥DA，垂足分别为A、D。

从D点测到B点的仰角α为
60°，从C点测得B点的仰角β为30°，甲建筑物的高AB=30°米。

（1）求甲、乙两建筑物之间的距离AD。

（2）求乙建筑物的高CD。

14.在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B 两处用高度为1.5m 的测角仪测得塑像顶部C 的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB 为10m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
挑战中考
15.汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm ，斜坡AB 的坡度1
:1=i ；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF 的坡度5:1=i ，问工程完工后，共需土石多少立方
米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）
拓展部分：
1.一般地，当α，β为任意角时，sin(α+β)与sin(α-β)的值可以用下面的公式求得：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ；sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

例如
sin90°=sin(60°+30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°=
32
×
32
+
12×1
2
=1。

类似地，可以求得sin15°的值是_____。

2.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是（
）。

5
.5.2.12.13.D C B A ++
3.如图，在顶角为30°的等腰△ABC 中，AB=AC ，若过点C 作CD ⊥AB 于点D ，根据图形计算tan ∠BCD 的值
特殊角的三角函数值：
（绵阳）如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，AB=a ．将△ABO 沿BO 对折于△A ′BO ，M 为BC 上一动点，则A ′M 的最小值为_________．
(2021.绵阳)在直角△ABC 中，∠C=90°，
,2
5
tan 1tan 1=+B A ∠C 的角平分线交AB 于点D,且CD=22,斜边AB 的值是_____________
（2022.绵阳）如图，测量船以20海里每小时的速度沿正东方向航行并对某海岛进行测量，测量船在A 处测得海岛上观测点D 位于北偏东15°方向上，观测点C 位于北偏东45°方向上，航行半个小时到达B 点，这时测得海岛上观测点C 位于北偏西45°方向上，若CD 与AB 平行，则CD ＝_________海里（计算结果不取近似值）．。