高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用训练含解析北师大版选修1_1

§2 导数在实际问题中的应用
A 组
1.设函数g (x )=x (x 2-1),则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )
A .-1
B .0
C .-2√3
9
D .√33
解析:g (x )=x 3-x ,由g'(x )=3x 2-1=0,解得x 1=√33
,x 2=-√33
(舍去).
当x 变化时,g'(x )与g (x )的变化状态如下表:
所以当x=√3
3时,g (x )有最小值g (√3
3)=-2√3
9
. 答案:C
2.函数y=f (x )=ln x-x 在区间(0,e]上的最大值为( ) A .-e
B .1-e
C .-1
D .0
解析:y'=1
x -1,令y'=0,∴x=1,列表如下:
由于f (e)=1-e,而-1>1-e,从而y 最大值=f (1)=-1. 答案:C 3.函数y=f (x )=
4x x 2+1
( )
A.有最大值2,无最小值
B.无最大值,有最小值-2
C.最大值为2,最小值为-2
D.无最值
解析:y'=4(1-x 2)
(x 2+1)2,令y'=0,得x=±1,容易验证当x=-1时,函数取极小值f (-1)=-2,当x=1时,函数取极大值f (1)=2,此即为函数的最小值和最大值.
答案:C
4.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R 与年产量x 的关系是R=R (x )={400x -1
2x 2,0≤x ≤400,
80000,x >400,则总利润P 最大时,每年生产的产品是( )
A.100单位
B.150单位
C.200单位
D.300单位
解析:由题意知,总成本为C=20000+100x.
而总利润为P=P (x )=R-C ={300x -1
2x 2-20000,0≤x ≤400,60000-100x ,x >400. P'(x )={300-x ,0≤x ≤400,-100,x >400.
令P'(x )=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大. 答案:D
5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k (k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x (x ∈(0,0.048)),则银行获得最大收益时,存款利率为( ) A.0.012 B.0.024 C.0.032
D.0.036
解析:由题意,存款量g (x )=kx (k>0),银行应支付的利息h (x )=xg (x )=kx 2,x ∈(0,0.048).
设银行可获得的收益为y ,则y=0.048kx-kx 2. 于是y'=0.048k-2kx ,令y'=0,解得x=0.024, 依题意知y 在x=0.024处取得最大值. 故银行获得最大收益时,存款利率为0.024. 答案:B
6.已知a 为实数,函数f (x )=(x 2-4)(x-a ),若f'(-1)=0,则函数f (x )在[-2,2]上的最大值为 . 解析:f'(x )=2x (x-a )+(x 2-4)=3x 2-2ax-4,
因为f'(-1)=0,所以3+2a-4=0,解得a=1
2,
于是f'(x )=3x 2-x-4=(x+1)(3x-4). 令f'(x )=0,得x=-1或x=4
3,
比较f (-2),f (-1),f (43),f (2)可得函数f (x )在[-2,2]上的最大值为f (-1)=9
2. 答案:9
2
7.已知函数f (x )=-x 3+3x 2+9x+a ,若f (x )在区间[-2,2]上的最大值为20,则它在该区间上的最小值等于 .
解析:因为f (-2)=8+12-18+a=2+a ,f (2)=-8+12+18+a=22+a ,
所以f (2)>f (-2).
因为在(-1,3)上f'(x )>0,所以f (x )在[-1,2]上是增加的.
又由于f (x )在[-2,-1]上是减少的,因此f (2)和f (-1)分别是f (x )在区间[-2,2]上的最大值和最小值. 于是有22+a=20,解得a=-2. 故f (x )=-x 3+3x 2+9x-2.
因此f (-1)=1+3-9-2=-7,即函数f (x )在区间[-2,2]上的最小值为-7. 答案:-7
8.设直线x=t 与函数f (x )=x 2,g (x )=ln x 的图像分别交于点M ,N ,则当|MN|达到最小值时t 的值为 .
解析:因为f (x )的图像始终在g (x )的上方,所以|MN|=f (x )-g (x )=x 2-ln x ,设h (x )=x 2-ln x ,则h'(x )=2x-1
x
=
2x 2-1x
,令h'(x )=
2x 2-1x =0,得x=√2
2,所以h (x )在(0,
√22)上是减少的,在(√2
2
,+∞)上是增加的,所以当x=√2
2时
有最小值,故t=√22
. 答案:√2
2 9.
导学号01844048已知函数f (x )=x 3+ax 2+bx+5,曲线y=f (x )在点P (1,f (1))处的切线方
程为y=3x+1. (1)求a ,b 的值;
(2)求y=f (x )在[-3,1]上的最大值.
解(1)依题意可知点P (1,f (1))为切点,代入切线方程y=3x+1,可得f (1)=3×1+1=4,
所以f (1)=1+a+b+5=4,即a+b=-2. 又由f (x )=x 3+ax 2+bx+5,得 f'(x )=3x 2+2ax+b ,
而由切线方程y=3x+1的斜率可知f'(1)=3, 因此3+2a+b=3,即2a+b=0,
由{a +b =-2,
2a +b =0,解得{a =2,b =-4,故a=2,b=-4.
(2)由(1)知f (x )=x 3+2x 2-4x+5, f'(x )=3x 2+4x-4=(3x-2)(x+2),
令f'(x )=0,得x=2
3
或x=-2.
当x 变化时,f (x ),f'(x )的变化情况如下表:
因此f (x )的极大值为f (-2)=13,极小值为f (2
3)=95
27.
又f (-3)=8,f (1)=4,
故f (x )在[-3,1]上的最大值为13.
10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距a m,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x m 的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+√x )x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式;
(2)当a=640时,需新建多少个桥墩才能使y 最小? 解(1)设需要新建b 个桥墩,则(b+1)x=a ,
即b=a
x -1.
因此,y=f (x )=256b+(b+1)(2+√x )x =256(a
x
-1)+a
x
(2+√x )x
=
256a x
+a √x +2a-256.
(2)由(1)知,f'(x )=-256a x 2
2√x
=a
2x 2(x 3
2-512).
令f'(x )=0,得x 3
2=512, 所以x=64.
当0<x<64时,f'(x )<0,f (x )在区间(0,64)上是减少的; 当64<x<640时,f'(x )>0,f (x )在区间(64,640)上是增加的, 所以f (x )在x=64处取得最小值. 此时,b=a
x -1=640
64-1=9.
即需新建9个桥墩才能使y 最小.
B 组
1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t 秒后的距离为s=4
3t 3-2t 2,那么速度为0的时刻是( )
A.1秒末
B.0秒
C.2秒末
D.0秒或1秒末
解析:由题意可得v (t )=s'=4t 2-4t ,令v (t )=s'=0,解得t 1=0,t 2=1. 答案:D
2.已知函数f (x )=(2x-x 2)e x ,给出下列判断:①f (x )>0的解集是{x|0<x<2};②f (-√2)是极小值,f (√2)是极大值;③f (x )没有最小值,也没有最大值,其中判断正确的是( ) A.①③ B.①②③ C.②
D.①②
解析:由f (x )>0,得2x-x 2>0,所以0<x<2,故①正确;
f'(x )=[(2x-x 2)e x ]'=e x (2-2x+2x-x 2)=e x (2-x 2),
令f'(x )=0,得x=±√2,容易验证f (-√2)是极小值,f (√2)是极大值,所以②正确;③不正确. 答案:D
3.在三棱锥O-ABC 中,OA ,OB ,OC 两两垂直,OC=2x ,OA=x ,OB=y ,且x+y=3,则三棱锥O -ABC 体积的最大值为( ) A.4 B.8 C.43
D.83
解析:V=1
3·
2x 22
·y=
x 2y 3
=x 2(3-x )3
=
3x 2-x 3
3
(0<x<3), V'=
6x -3x 2
3
=2x-x 2=x (2-x ).
令V'=0,得x=2或x=0(舍去). 故当x=2时,V 最大为4
3. 答案:C
4.若函数f (x )={2x 3+3x 2+1(x ≤0),
e ax (x >0)在[-2,2]上的最大值为2,则实数a 的取值范围是( )
A .[1
2ln2,+∞)
B .[0,1
2
ln2]
C .(-∞,0]
D .(-∞,1
2
ln2]
解析:当x ≤0时,f'(x )=6x 2+6x ,易知函数f (x )在(-∞,0]上的最大值点是x=-1,且f (-1)=2,故只要在(0,2]上,e ax ≤2恒成立即可,即ax ≤ln2在(0,2]上恒成立,即a ≤ln2x
在(0,2]上恒成立,故a ≤1
2ln2.
答案:D
5.将8分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为( ) A.2和6 B.4和4
C.3和5
D.以上都不对
解析:设一个数为x ,则另一个数为8-x ,其立方和y=x 3+(8-x )3=83-192x+24x 2且0≤x ≤8,y'=48x-192.令y'=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时,y'<0;当4<x ≤8时,y'>0,所以当x=4时,y 取得极小值,也是最小值. 答案:B
6.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为y=1
3
x 3-39
2x 2-40x (x>0),为使耗电量最小,则其速度应定
为 .
解析:y'=x 2-39x-40=(x-40)(x+1),令y'=0得x=40,且当0<x<40时,y'<0;当x>40时,y'>0,所以当x=40时,y 取最小值,即速度为40时,耗电量最小. 答案:40 7.导学号01844049设函数f (x )=ln x-ax 2+(a-2)x (a ∈R ),求函数f (x )在区间[a 2,a ]上的最
大值.
解因为a 2<a ,所以0<a<1.
f'(x )=1
x -2ax+a-2=-(2x -1)(ax+1)
x
.
因为x ∈(0,+∞),所以ax+1>0,
所以f (x )在(0,1
2
]上是增加的,在[1
2
,+∞)上是减少的.
①当0<a ≤1
2时,f (x )在[a 2,a ]上是增加的,
所以f (x )max =f (a )=ln a-a 3+a 2-2a ;
②当{a >1
2,a 2<
12即12<a<√22时,f (x )在[a 2,1
2]上是增加的,在[12
,a]上是减少的, 所以f (x )max =f (12)=a
4-1-ln2;
③当12≤a 2,即√2
2≤a<1时,f (x )在[a 2,a ]上是减少的,
所以f (x )max =f (a 2)=2ln a-a 5+a 3-2a 2.
综上,当0<a ≤1
2时,函数f (x )在[a 2,a ]上的最大值是ln a-a 3+a 2-2a ; 当1
2<a<√2
2时,函数f (x )在[a 2,a ]上的最大值是a
4-1-ln2;
当√22≤a<1时,函数f (x )在[a 2,a ]上的最大值是2ln a-a 5+a 3-2a 2.
8.
导学号01844050近年来,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们
课外学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量y (单位:千套)与销售价格x (单位:元/套)满足关系式y=
m
x -2
+4(x-6)2,其中2<x<6,m 为常数.已知当销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.
(1)求m 的值;
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x 的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数). 解(1)因为当x=4时,y=21,
代入关系式y=
m x -2
+4(x-6)2,得m 2
+16=21,解得m=10.
(2)由(1)可知套题每日的销售量y=10
x -2+4(x-6)2, 所以每日销售套题所获得的利润f (x )=(x-2)·[10x -2
+4(x -6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x 3-56x 2+240x-
278(2<x<6),
从而f'(x )=12x 2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).
令f'(x )=0,得x=10
3或x=6(舍去),且在(0,10
3)上,f'(x )>0,函数f (x )是增加的;在(10
3,6)上,f'(x )<0,函数
f (x )是减少的,所以x=10
3
是函数f (x )在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=10
3
≈3.3时,函数f (x )取
得最大值.
故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.。