高中数学1-1空间向量及其运算1-1-2空间向量的数量积运算新人教A版选择性必修第一册

A．－7
B．7
C．－21
D．9
(2)如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，求下列数量积： ①A→B·B→A1＝__－__1___； ②A→B·B→C1＝__0___.
[解析] (1)由已知 a·b＝0，所以 m·n＝(4a－3b)·(2a＋5b) ＝8a2＋14a·b－15b2＝8－15＝－7. (2)①根据题意知，|A→B|＝1，|B→A1|＝ 2，〈A→B，B→A1〉＝135°，所以A→B·B→A1 ＝1× 2×cos 135°＝－1； ②在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB⊥BC，AB⊥CC1， 所以A→B·B→C1＝A→B·(B→C＋C→C1) ＝A→B·B→C＋A→B·C→C1＝0.
题型二
利用数量积证明空间中的垂直关系
2．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC， ∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1 的中点．证明：EF⊥BC.
[证明] 连接 A1E(图略)，∵平面 A1ACC1⊥平面 ABC，A1A＝A1C，E 是 AC 的中点，则有 A1E⊥平面 ABC，亦即有A→1E·B→C＝0，∴E→F·B→C＝(E→A1 ＋A→1F)·B→C＝－A→1E·B→C＋A→1F·B→C＝A→1F·B→C.
必备知识•探新知
知识点 1 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作O→A＝a， O→B＝b，则__∠__A__O_B____叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉．
2．夹角的范围 空间任意两个向量的夹角 θ 的取值范围是[0，π]．特别地，当 θ＝0 时，两向量__同__向__共__线____；当 θ＝___π___时，两向量反向共线，所以若 a ∥b，则〈a，b〉＝0 或 π；当〈a，b〉＝π2时，两向量__垂__直____，记作___a_⊥__b____.
的值为( A )
1 A.4
B．－14
C．
3 4
D．－
3 4
[ 解 析 ] (1)(2a － b)·a ＝ 2a2 － b·a ＝ 2|a|2 － |a||b|cos 120°＝ 2×4 － 2×5×－12＝13.
(2)如图所示，正四面体 D－ABC 的棱长是 1，E 是 AB 的中点． 所以E→C·A→D＝(E→A＋A→C)·A→D＝－12A→B·A→D＋A→C·A→D ＝－12×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＝14.
2 ． 如 图 ， 在 正 方 体 ABCD － A1B1C1D1 中 ， 下 列 各 对 向 量 的 夹 角 为 135°的是( B )
A．〈A→B，A→1C1〉
B．〈A→B，C→1A1〉
C．〈A→B，A→1D1〉
D．〈A→B，B→1A1〉
[解析] 〈A→B，A→1C1〉＝45°，〈A→B，C→1A1〉＝135°，〈A→B，A→1D1〉＝ 90°，〈A→B，B→1A1〉＝180°.
∴当〈B→A，C→D〉＝60°时，|B→D|2＝4，此时 B，D 间的距离为 2；当 〈B→A，C→D〉＝120°时，|B→D|2＝2，此时 B，D 间的距离为 2.
易错警示
4．如图所示，在空间四边形 ABCD 中，每条边的长度和两条对角线 的长度都等于 1，M，N 分别为 AB，AD 的中点，则M→N·D→C＝__－__14____.
运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R ②a·b＝b·a(交换律) ③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)
思考2：若a，b，c为实数，则(a·b)·c＝a·(b·c)．是否可以由此类比 得出，对于向量a，b，c，满足(a·b)·c＝a·(b·c)?
提示：数量积的运算只满足交换律，分配律及数乘结合律，但不满 足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与 c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．
[解析] ∵∠ACD＝90°，∴A→C·C→D＝0，同理可得A→C·B→A＝0.∵AB 与 CD 成 60°角，∴〈B→A，C→D〉＝60°或〈B→A，C→D〉＝120°.又B→D＝B→A＋A→C ＋C→D，
∴|B→D|2＝|B→A|2＋|A→C|2＋|C→D|2＋2B→A·A→C＋2B→A·C→D＋2A→C·C→D＝3＋ 2×1×1×cos〈B→A，C→D〉．
1．1 空间向量及其运算 1.1.2 空间向量的数量积运算
素养目标•定方向
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法．(易混点) 2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重 点) 3．了解投影向量的概念以及投影向量的意义．(难点) 4．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)
1．通过学习空间向量的数量积运算，培养数学运算素养． 2．借助投影向量概念的学习，培养直观想象素养． 3．借助利用空间向量的数量积证明垂直关系、求夹角和距离运 算，提升逻辑推理和数学运算素养.
到与向量b共线的向量c，c＝_____|a_|_c_o_s〈__a_，__b_〉__|_bb_| ____，向量c称为向量 a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．向量a向平面β投影 如图(3)，向量 a 向平面 β 投影，就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 β 的垂线，垂足分别为 A′，B′，得到A－′－－B→′，向量A－′－－B→′称 为向量 a 在平面 β 上的投影向量．这时，向量 a，A－′－－B→′的夹角就是向 量 a 所在直线与平面 β 所成的角．
做一做：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量a在向量b上的投影向量与向量b的方向相同．( × ) (2)向量a在直线l上的投影向量c与向量a－c垂直．( √ ) (3)向量a在平面β上的投影向量为c，则向量a所在直线与平面β所成 的角为〈a，c〉．( √ ) 提示：(1)当〈a，b〉>π2时，反向． (2)根据向量向直线的投影定义可知，c 与 a－c 垂直．
课堂检测•固双基
1．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的真命题是( B ) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c [解析] 当a⊥b时，a·b＝0，A错误；B正确；由a2＝b2得a2－b2＝ 0，即a＋b＝0或a－b＝0或(a＋b)⊥(a－b)，C错误；若a⊥b，a⊥c，有 a·b＝a·c，但b＝c不一定成立，D错误．
思考1：对空间任意两个非零向量a，b，〈a，b〉，〈b，a〉， 〈－a，－b〉有怎样的关系？
提示：〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉．
做一做：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， (1)〈A→B，A→1C1〉＝__π4____； (2)〈A→B，C→1A1〉＝__34_π___；
题型三
利用空间向量的数量积的性质求模长
3．如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别 是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求 CD的长．
[解析] 因为 CA⊥AB，BD⊥AB， 所以〈C→A，B→D〉＝120°. 因为C→D＝C→A＋A→B＋B→D，且C→A·A→B＝0，B→D·A→B＝0， 所以|C→D|2＝|C→A|2＋|A→B|2＋|B→D|2＋2C→A·B→D ＝|C→A|2＋|A→B|2＋|B→D|2＋2|C→A||B→D|cos〈C→A，B→D〉 ＝62＋42＋82＋2×6×8×－12＝68， 所以|C→D|＝2 17，故 CD 的长为 2 17.
[错解] ∠BDC 是B→D与D→C的夹角，从而M→N·D→C＝12cos 60°＝14. [辨析] 向量的夹角定义中，必须把两向量平移至有公共起点，如图 所示，∠AOB 是O→A与O→B的夹角，而A→O与O→B的夹角为∠AOB 的补角．
[正解] M→N·D→C＝12B→D·D→C＝12|B→D|·|D→C|·cos〈B→D，D→C〉＝12cos 120° ＝－14.
3．如图，在三棱锥 A－BCD 中，底面边长与侧棱长均为 a，M，N 分别是棱 AB，CD 上的点，且 MB＝2AM，CN＝12ND，则 MN 的长为
5
____3_a___.
[解析] 因为M→N＝M→B＋B→C＋C→N＝23A→B＋(A→C－A→B)＋13(A→D－A→C)＝ －13A→B＋13A→D＋23A→C，所以M→N2＝－13A→B＋13A→D＋23A→C2＝19A→B2－29A→D·A→B－ 49A→B·A→C＋49A→C·A→D＋19A→D2＋49A→C2＝19a2－19a2－29a2＋29a2＋19a2＋49a2＝59a2. 所以|M→N|＝ 35a，即 MN＝ 35a.
又∵A1B1 綉 AB，F 是 A1B1 的中点，∴A→1F＝12A→B＝－12B→A. ∵∠ABC＝90°，∴B→A·B→C＝0，∴E→F·B→C＝－12B→A·B→C＝0， ∴E→F⊥B→C，即 EF⊥BC.
[规律方法] 用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3) 结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问 题．
做一做：正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长等于 2，则A→C·A→D1＝___4___. [解析] |A→C|＝|A→D1|＝2 2，〈A→C，A→D1〉＝60°， 所以A→C·A→D1＝|A→C||A→D1|cos 60°＝2 2×2 2×12＝4.
知识点 3 向量a的投影
1.向量a向向量b的投影 如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此 可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得
对点训练❷ 如图，在空间四边形O－ABC中，OB＝OC，AB ＝AC，求证：OA⊥BC.
[证明] 因为 OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA， 所以△OAC≌△OAB，所以∠AOC＝∠AOB. 又O→A·B→C＝O→A·(O→C－O→B)＝O→A·O→C－O→A·O→B ＝|O→A|·|O→C|cos ∠AOC－|O→A|·|O→B|cos ∠AOB＝0， 所以O→A⊥B→C，即 OA⊥BC.
[规律方法] 求两点间距离的方法 (1)取以两点为起点和终点的向量； (2)用已知夹角和模的向量表示该向量； (3)利用a2＝|a|2，计算出|a|，|a|即为所求距离．
对点训练❸ 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝ 1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60° 角，求此时B，D间的距离．
[规律方法] 求空间向量的数量积的步骤 (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的 数量积． (3)代入公式a·b＝|a||b|cos a，b 求解．
对点训练❶ (1)已知a和b是相互垂直的单位向量，m＝4a－
3b，n＝2a＋5b，则m·n＝( A )
(3)〈A→B，B→1A1〉＝___π___. [解析] (1)〈A→B，A→1C1〉＝〈A→B，A→C〉＝π4.
(2)〈A→B，C→1A1〉＝〈A→B，C→A〉＝π－〈A→B，A→C〉＝34π.
(3)〈A→B，B→1A1〉＝〈A→B，B→A〉＝π.
知识点 2 空间向量的数量积
定义 性质
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积， 记作a·b. 即a·b＝____|a_||_b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉_____ 规定：零向量与任何向量的数量积都为0 ①a⊥b⇔____a_·_b_＝__0_____ ②a·a＝a2＝|a|2
(3)根据向量向平面的投影定义及直线与平面所成的角的定义可知正
确．
关键能力•攻重难
题型探究
题型一
求空间向量的数量积
1．(1)已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a
等于C．4
D．13
(2)已知正四面体 D－ABC 的各棱长为 1，点 E 是 AB 的中点，则E→C·A→D