云南省云南师范大学附属中学2016届高三适应性月考(八)理数试题 含解析

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1。

已知集合2
{|20}A x x x =--<，1
{|
1}1
B x x =≤-，则A B =（ ）
A ．(1,1]-
B ．(1,1)-
C ．φ
D ．[1,2]- 【答案】B
考点:1、二次不等式；2、分式不等式；3、集合的运算.
【易错点晴】本题主要考查二次不等式、分式不等式和集合的运算，属于容易题。

本题在求集合B 时容易犯两个错:1。

没有限制分母不为
,2。

不等式方向没有定好，即没有将最高次系数化为正数.解分式不
等式时一定要注意把握这两点。

最终在求集合的交并补时，不熟练的考生最后做一下数轴,利用数轴解法可以避免无谓的失误，小心才能驶得高考船. 2。

已知复数2
1(1)z m
m i =-++(其中,m R i ∈是虚数单位)是纯虚数,则复数m i
+的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i --
D ．i - 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得2
1010m
m -=+≠且,1
m =∴,故复数i m +的共轭复数是1i -，
故选B ．
考点：复数及其运算。

3.已知,,A B O 三点不共线，若||||AB OA OB =+，则向量OA 与OB 的夹角为（ ） A ．锐角 B ．直角 C ．钝角
D ．锐角或钝角 【答案】B 【解析】
试题分析：由向量的加法知，以、OA OB 为邻边的四边形为矩形，故向量OA 与OB 的夹角为直角，故选B ．
考点：1、向量加法的平行四边形法则;2、向量的模；3、向量的夹角. 4.已知,,a b R a b ∈>,则下列结论正确的是( ) A ．2
2
a b
> B ．112
2
a
b
> C ．3
3a
b --<
D ．1
133
a
b >
【答案】D 【解析】
试题分析:当01a b ==-，时，A,B,C 选项均不符,故选D ． 考点:不等式的基本性质。

5.已知圆C 过坐标原点，面积为2π，且与直线:20l x y -+=相切，则圆C 的方程是( ） A ．2
2(1)(1)2x y +++= B ．2
2(1)
(1)2x y -+-=或
22(1)(1)2x y ++-=
C ．2
2(1)
(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=
D ．2
2(1)
(1)2x y -+-=
【答案】C
考点:圆的方程及其性质.
6.已知某正四面体的内切球体积是1，则该正四面体的外接球的体积是（ ）
A ．27
B ．16
C ．9
D ．3 【答案】A 【解析】
试题分析：设正四面体的外接球、内切球半径分别为,R r ，则3R r =．由题意3
4π1
3
r
=，则外接球的体积是3
3
44π27
π273
3
R
r ==，故选A ．
考点：1、内切球;2、外接球；3、球的体积公式.
7。

一个空间几何体的三视图及尺寸如图1所示，则该几何体的体积是( ）
A ．233
π+ B ．33
π+
C ．23π+
D ．233
π+
【答案】A
考点：1、三视
图；2、体积公式。

8．运行如图2所示的程序框图，如果在区间[0,]e 内任意输入一个x 的值，则输出的()f x 值不小于常数e 的概率是( ）
A ．1e
B ．11e
- C ．11e
+
D ．11
e +
【答案】B 【解析】
试题分析:由题意得
e ,01,()ln e,1e,
x x f x x x ⎧=⎨
+<⎩≤≤≤ 如图所示，当1e x ≤≤时，()e f x ≥，故()
f x 值不小于常数e 的概率是e 11
1e e
-=-,故选B ．
考点：1、几何概型；2、分段函数及其图象。

9.已知,a b 为正实数，则"1"a b
>是"( 2.7182)"a
b ae
be e >=的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．既不充分也不必要条件
D ．充分必要条件 【答案】D 【解析】
试题分析：令()e (0)
x f x x x =>，则()(1)e
x
f x x '=+>，()f x ∴在(0)+∞，上为增函数,
则e
e a
b
a b a b >⇔>，故选D ．
考点：1、充要条件；2、利用导数判断单调性。

10。

在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若75,3,cos()9
b a B A ==-=，则ABC
∆的面积为（ )
A ．152
B ．523
C ．52
D ．2
2
【答案】C
考点：1、余弦定理;2、三角形面积公式。

11。

已知函数2
()4f x x =
+，则1212,,x x
R x x ∀∈≠,
1212|()()|
||
f x f x x x --的取值范围是（
)
A ．[0,)+∞
B ．[0,1]
C ．(0,1)
D ．[0,1) 【答案】D
考点：1、函数
的定义；2、函数的斜率；3、双曲线的图象及其性质.
【思路点晴】本题主要考查函数的定义、函数的斜率和双曲线的图象及其性质,属于难题。

解决本题的关键是懂得将函数()f x 转化为
)0(422>=-y x y ，并迅速发现函数()f x 的图象是焦点在y 轴上的双曲线的
上支,还需懂得1
2
12|()()|||
f x f x x x --就是函数()f x 的割线斜率的绝对值,还需发现
割线斜率的最值就是双曲线渐进性的斜率，才能规避繁琐的计算。

12.已知数列{}n
a 满足1
43n n a
a n ++=+，且*n N ∀∈,220n a n +≥,则3a 的取值范围是
（ ） A ．[2,15]- B ．[18,7]- C ．[18,19]-
D ．[2,19] 【答案】D 【解析】 试题分析:1
43n n a
a n ++=+∵,2147
n n a a n +++=+∴,两式相减得2
4
n n a
a +-=，故数列{}n
a 的
通项公式为
112223n n a n a n a n -+⎧=⎨
+-⎩，为奇数，，为偶数.
当n 为奇数时，220
n
a
n +≥可化为2
1
2220n a n -++≥,
2
2
115222222a n n n ⎛
⎫--+=-++
⎪⎝
⎭∴≥,当1n =时，2
222
n
n --+有最大值2-，1
2a -∴≥;当n 为偶
数时，2
20
n
a
n +≥可化为2
1
2320n a n +-+≥，
2
2
115223222a n n n ⎛
⎫++=++
⎪⎝
⎭∴≤，当2n =时，
2223
n n ++有最小
值15,1
15a ∴≤，1
215a -∴≤≤，3
14[219]
a
a =+∈∴，，故选D ．
考点：1、递推公式；2、等差数列的通项公式；3、二次函数的性质. 【方法点晴】本题主要考查递推公式、等差数列的通项公式和二次函数的性质，综合性较高，属于难题。

通过递推公式推出n
a 的通项
公式是本题难点，这要求学生要熟练掌握递推公式的精髓,并熟悉分类讨论思想。

对*
n N ∀∈，220n
a
n +≥这只拦路虎，
要求学生要懂得从n 的奇偶数进行分类讨论，要掌握最值在恒成立中的应用技巧当。

第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.
二项式5
(3x -展开式各项系数和为 。

【答案】32 【解析】
试题分析：令1x =,则展开式中各项系数和为5
232
=．
考点：二项式定理.
14.已知4sin 5
α=，且α为锐角，则cos 2
α= 。

【答案】5
52
考点:1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角公式。

15。

已知实数,x y 满足条件30
302
x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨
⎪≤⎩
,则3x y
x y -+的取值范围是 。

【答案】]3,3
1[
【解析】
试题分析:如图,可行域为三角形，0
0y y x x -=
-可看作可行域内的点与原点连线的斜率，则[02]y
x ∈，， 331y x y x y x y x
-
-==
++14
4113311y x y y x x ⎛⎫-++ ⎪⎡⎤⎝⎭=-+∈⎢⎥⎣⎦++，．
考点：1、线性规划；2、直线的斜率；3、函数的值域.
【方法点晴】本题主要考查线性规划、直线的斜率和函数的值域,本题综合程度高，属于难题。

要求3x y x y
-+的取值范围，必需将它转化为
x
y
+
+
-141,接下来就只需求x
y 的取值范围了，而在可行域里求x
y
的取值
范围是常见问题考生比较熟悉,也就是构造斜率k ,先定直线的倾斜角，再利用斜率图像定斜率k 的范围.本题对考生的转化能力和数学素养由较高的要求. 16。

已知抛物线2
:4C y
x =上一点(4,4)M -,点,A B 是抛物线C 上的两动点,且
0MA MB •=，则点M
到直线AB 的距离的最大值是 。

【答案】4
5
2112
1111212121212124444
y y y y x x y x y x y y y y y y y y y y y y =-+=-+=+++++++12121212
4()3244
(8)4y y x x y y y y y y +-=
+=-++++,∴直线AB 恒过点(84)N ，,则点M 到直线AB 的
距离的最大值为22||(84)(44)45
MN -++
考点：1、直线与圆锥曲线；2、向量的数量积；3、点到直线的距离. 【方法点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线、向量的数量积和点到直线的距离,综合性较强，属于难题。

解决本题的三个精彩之处在于：1。

将问题转化为求直线恒过定点问题;2、利用点差法巧求直线AB 的斜率；3、0MA MB •=转化为所在直线互相垂直。

本题还有一个难点就是求直线AB 的方程时计算量比较大，需要考生耐心计算.
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17。

(本小题满分12分)已知数列{}n
a 满足：2
11
2
3333n n a a
a a n -++++=，
*n N ∈。

（1）求数列{}n
a 的通项；
(2)设数列{}n
b 满足33
n
b n
a =，求数列{}n
n
b a 的前n 项和n
S 。

【答案】(1）
1
31
-=
n n a ;（2）4
1
34132
+⋅-
⋅=
n n n
n
S 。

考点: 1、数列的递推公式;2、数列的通项公式；3、数列的前n 项和公式；4、错位相减法。

18。

（本小题满分12分)国内某大学有男生6000人，女生4000人,该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取100人,调查他们平均每天运动的时间(单位:小时）,统计表明该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]，若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人",低于2小时的学生为“非运动达人”。

根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人’" 进行统计，得到如下22⨯列联表:
（1）请根据题目信息，将22⨯列联表中的数据补充完整,并通过计算判断能否在犯错误概率不超过0。

025
的前提下认为性别与“是否为‘运动达人’”有关;
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达人的人数为
随机变量X,求X的分布列和数学期望()
D X。

E X及方差()
【答案】（1)列联表见解析，在犯错误概率不超过0.025的前提下，可
，以认为性别与“是否为‘运动达人’"有关;（2）分布列见解析，9
5
18
．
25
(2）由题意可
知，该校每个男生是运动达人的概率为363605
=，故X ～335B ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，，
X 可取的值为0，1，2，3，
所以
30
03238(0)C 55125
P X -⎛⎫
⎛⎫
=== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，
31
1
132336(1)C 55125
P X -⎛⎫
⎛⎫
=== ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭，
32
2
23
2354(2)C 55125
P X -⎛⎫
⎛⎫=== ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭，
33
3
33
2327(3)C 55125
P X -⎛⎫
⎛⎫=== ⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭．
X 的分布列为：
39()355E X =⨯=∴,3218
()35525
D X =⨯⨯=
．…………………………………（12分）
考点：1、列联表；2、独立性检验；3、随机变量的分布列；4、数学期望与方差。

X
1
2
3
P
8125
36125
54125
27125
19。

(本小题满分12分）如图3,在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，2AB =,3
ABC π∠=.
（1)求证：//PB 平面AEC ；
(2)若三棱锥P AEC -的体积为1，求二面角A PC B --的余弦值。

【答案】(1）证明见解析;（2)
55。

PA ABCD
∵⊥平面，
OB ABCD
⊂平面，OB PA ∴⊥．
又OB AC ∵⊥,AC
PA A
=，AC ，PA PAC ⊂平面,
OB PAC
∴⊥平面，
∴平面PAC 的法向量为(
300)
OB =，，，
35
cos ||||35
n OB n OB n OB 〈〉=
==
⨯∴，
由图可知二面角A −PC −B 的平面角是锐角, ∴二
面
角
A −PC −
B 的余弦值为
5
．
……………………………………………(12分）
考点：1、线面平行的判定；2、锥体的体积；3、法向量；4、二面角。

20。

（本小题满分12分)已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别
为1
2
,F F ，且12
||2F F =，
点2
5)P 在椭圆上。

（1）求椭圆C 的方程;
（2）设O 为坐标原点，圆2
22:O x y a +=，1(0,)B b -，2(0,)B b ，E 为椭圆C 上
异于顶点的任意一点，
点F 在圆O 上，且EF x ⊥轴，E 与F 在x 轴两侧,直线1
2
,EB EB 分别与x 轴交
于点,G H ，记直线
,FG FH 的斜率分别为12,k k ，问:12k k 是否为定值？若是,求出该定值；若
不是，请说明理由。

【答案】（1)
22
154
x y +=；（2）-1.
∴由椭圆的定义，得
22
22
122525||||2(21)(21)25
55PF PF a ⎛⎫⎛⎫+==+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
5
a =∴，2
b =, 故椭
圆
C 的方程为
22
154
x y +=．
…………………………………………………(4分）
考点：1、椭圆的定义；2、椭圆的方程；3、直线与圆锥曲线；4、直线的斜率。

21。

（本小题满分12分)已知函数()ln f x x x ax b =++在点(1,(1))f 处的切线为
320x y --=。

(1）求函数()f x 的解析式；
（2）若k Z ∈，且存在0x >，使得(1)
f x k x
+>成立，求k 的最小值。

【答案】（1)
12ln )(-+=x x x x f ;(2)5．
（Ⅱ）(1)
f x k x
+>
可化为(1)ln(1)21
x x x k x ++++>，
令(1)ln(1)21()x x x g x x ++++=,(0,)x ∃∈+∞,使得(1)f x k x +>,
则min
()k g x >,
2
1ln(1)
()(0)
x x g x x x --+'=
∈+∞，，．
令()1ln(1)h x x x =--+,则1()1011x
h x x x '=-=>++，
()
h x ∴在(0)+∞，上为增函数．
又(2)1ln30(3)2ln 40h h =-<=->，，
考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判定函数的单调性；3、利用导数求函数的极值和最值；4、函数的零点.
【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数判定函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值；和函数的零点，综合性强，属于难题.研究第二小题时首先应将原不等式转化为min
()k g x >，再求)
(x g 最小值，而在求)(x g 最小值时,求导得()'g x ，将其分子记为()1ln(1)h x x x =--+,再求)(x h 得零点,进而求得该零点就是)(x g 的最小值点，从而得到)(x g 最小值为20
+x
，进而求出k 的最小值.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22。

(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图4，D 是ABC ∆边AB 上的一点，ACD ∆内接于圆O ,且CAD BCD ∠=∠,E 是
CD 的中点，BE
的延长线交AC 于点F ，证明： （1)BC 是圆O 的切线；
（2）22AB AF
BC CF
=.
【答案】（1）证明见解析；(2)证明见解析。

（Ⅱ）如图5,过点D 作AC 的平行线交BF 于H ．
DH AC
∵∥，ABF DBH ∴△∽△，ECF EDH △∽△，
AB AF
BD DH
=∴
,CF CE DH DE
=
． ∵E 是CD 的中点，CE DE =∴,CF DH =∴．
∵BC 与⊙O 切于点C ，BDA 为⊙O 的割线， ∴由切割线定理，得2
BC
AB BD
=，
222AB AB AB AF BC AB BD BD CF
===∴．………………………………………………（10
分）
（评分说明：（Ⅰ）问用弦切角定理的逆定理直接证明不给满分．） 考点：1、同弧所对的圆周角相等；2、直角的判定;3、切割弦定理;4、三角形相似比。

23。

(本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x a C y b ϕ
ϕ=⎧⎨=⎩
(ϕ
为参数)，其中0a b >>,
以O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴的极坐标系中，曲线2
:2cos C ρθ=，
射线:(0)l θαρ=≥,设射线l 与曲线1
C 交于点P ，
当0α=时，射线l 与曲线2
C 交于点O ，
Q ,||1PQ =;当2
π
α=时,射线l 与曲线2
C 交于点O ,
||3OP =。

(1）求曲线1
C 的普通方程；
(2)设直线'
:3x t
l y t
=-⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数,0t ≠）与曲线2C 交于点R ，若3π
α=，求OPR
∆的面积。

【答案】（1）
22
193
x y +=；（2)20
30
3。

∵将射线l ：
θ=代入曲线1
C :
22222
2
cos sin 1
a b ρθρθ+
=，
得a ρ=，即点P 的极坐标为(,0)a ；
将射线l ：0θ=代入曲线2
C :2cos ρθ=，
得2ρ=，即点Q 的极坐标为(20)，． 又||1PQ =∵，即|||2|1PQ a =-=,1a =∴或3a =． ∵将射线l ：
π2
θ=
代入曲线1
C :
22222
2
cos sin 1
a
b
ρθρθ+
=，
得b ρ=，即点P 的极坐标为π2
b ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，， 又||3OP =∵，3b =∴．
0a b >>∵,3a =∴,
∴曲线
1
C 的普通方程为
22
193
x y +=．
……………………………………………（5分)
考点：1、曲线的普通方程；2、曲线的极坐标方程；3、曲线的极坐标方程；4、三角形的面积公式。

【方法点晴】本题主要考查曲线的普通方程、曲线的极坐标方程、曲线的极坐标方程和三角形的面积公式,本题属于中档题.本题对直
线的极坐标方程和方程思想的考查非常的细腻，需要考生对极径、极角的几何意义要有深刻的理解，方能迅速解题。

解这类题目一般秉承这样的原则：能运用几何意义进行求解的尽量运用，不会或不能应用的则将极坐标方程和参数方程全转化为普通方程在求解。

24。

(本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲 已知1()|21|||()2
f x x x x R =++-∈。

（1）关于x 的不等式2
()2f x a
a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围;
（2）设,,,m n p q 为正实数，且1()2
m n f +=-，求证：2
22()
mp nq mp nq +≤+.
【答案】(1）12
1≤≤-a ;（2）证明见解析。

（2）证明：
11
2m n f ⎛⎫
+=-= ⎪⎝⎭
∵，
22222()()(1)(1)2mp nq mp nq m m p n n q mnpq +-+=-+--∴ 22(2)mn p pq q =-+
2
()mn p q =-．
∵m，n，p,q为正实数,2
∴≥，
-
mn p q
()0
222
∴≤．………………………………………………………()
++
mp nq mp nq
（10分）
考点：1、函数的定义；2、函数的单调性；3、作差法。