第1章 命题逻辑(杨圣洪版教材)

《离散数学》
1.1 命题与联结词

1、否定：﹁ 设 p 为任一命题，复合命题“非 p” （ p 的否定 ）称为 p 的否定式，记作“﹁p ”，“﹁”为否 定联结词。 【例】 （1） p：4是偶数。其真值为1。 ﹁p：4不是偶数。其真值为0。 （2） q：煤是白的。其真值为0 ﹁q：煤不是白的。其真值为1
况客观判断外，余者的真值均为 1 。但是它们均不是简单命 题，分别用了“且”、“非”、“或”、“如果……则……”、 “当且仅当”等联结词。
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1.1 命题与联结词




复合命题： 由命题和联结词构成的命题称为复合命题。 构成复合命题的可以是原子命题，也可以是另一 个复合命题。一个复合命题的真值不仅与构成复 合命题的命题真值有关，而且也与所用联结词有 关。 下面我们给出几个基本的联结词。
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1.1 命题与联结词

3、析取：∨ p∨q的真值表如表1.3所示：
表 1.1.3 p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p ∨q 0 1 1 1
p∨q为假，当且仅当p、q同为假。 p、q二命题中至少有一个为真则析取式为真。
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1.1 命题与联结词
4、蕴含：→ 设p、q是任意两个命题，复合命题“如果p， 则q”称为p与q的蕴含式，记作：p→q。P称为蕴 含式的前件， q 称为蕴含式的后件， → 称为蕴含 联结词（或条件联结词）。

离散数学的概念
– –
Discrete Mathematics 是研究离散量的结构及其相互关系的学科。

离散数学的研究内容
–
离散数学由多个数学分支组成，主要包括：

数理逻辑 （是研究和学习自动机理论、编译原理与人工智能的基础） 集合论 （研究和学习数据库理论的基础） 代数系统 （是研究和学习密码学的基础） 图论 （是研究和学习逻辑设计的基础）

可以说，计算机正是在离散数学中图灵机理论 的指导下诞生的。 (1936提出图灵机---1946诞生计算机)。
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二、学习离散数学的重要性
“我现在年纪大了，搞 了这么多年的软件，错 误不知犯了多少，现在 觉悟了。我想，假如我 早年在数理逻辑上好好 下点工夫的话，我就不 会犯这么多的错误。不 少东西逻辑学家早就说 过了，可是我不知道。 要是我能年轻二十岁的 话，我就去学逻辑。 ”—1972
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1.1 命题与联结词

4、蕴含：→ p→q的真值表如表1.4所示：
表 p q 1.4 p →q
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
当前件p为真、后件q为真时，蕴含式p→q为真。 前件p为假时，无论后件q是真是假，p→q的真值均为1。 p→q为假，当且仅当p为真、q为假。

【例】老妈说：“如果期终考了年级前10名， 那么奖励1000元”。 p:期终考了年级前10名 q:奖励1000元值情况：
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1.1 命题与联结词

4、蕴含：→
【例】老妈说：“如果期终考了年级前10名， 那么奖励1000元”。 p:期终考了年级前10名 q:奖励1000元 则上面的语句表示为p→q。 (1)当“p为1”即“我期终考了年级前10”， “q为1”即“我老妈奖励1000元”时， 这时妈妈的话就对了，即pq为1 p→q为假，当且仅当p为真、q为假。
0
0
0
1
1
1
p∧q为真，当且仅当p、q均为真。 p、q二命题中至少有一个为假，则合取式为假。
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1.1 命题与联结词
3、析取：∨ 设p、q是任意两个命题，复合命题“p或q”称 为p、q的析取式，记作：p∨q。“∨”称为析取 联结词。

【例】 (1) p：小王喜欢唱歌。 q：小王喜欢跳舞。则 p∨q：小王喜欢唱歌或喜欢跳舞。 (2) p：明天刮风。 q：明天下雨。则 p∨q：明天或者刮风或者下雨。 p∨q为假，当且仅当p、q同为假。
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1.1 命题与联结词

4、蕴含：→
【例】老妈说：“如果期终考了年级前10名， 那么奖励1000元”。 p:期终考了年级前10名 q:奖励1000元 则上面的语句表示为p→q。 （2）当“p为1”即“期终考了年级前10”， “q为0”即“没有奖励1000元”时， 这时老妈的话是假话，故pq为0 p→q为假，当且仅当p为真、q为假。

它们分别从不同角度出发，研究各种离散量之间数与形的 关系。

教学侧重点与教学目的
–
–
侧重于基本概念、基本理论和基本方法的介绍。 通过学习提高抽象思维能力和逻辑推理能力。
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四、教材及参考书目


参考教材：
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杨圣洪 ，离散数学，科学出版社
参考书目：
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蔡英，离散数学，西安电子科技大学出版社 耿素云，离散数学，高等教育出版社 Discrete Mathematical Structures, Bernard Kolman, Robert C.Busby, Sharon Ross, Prentice Hall Inc.,1996 Discrete Mathematics and Its Application, Kenneth H. Rosen, McGraw-Hill Companies, Inc., 1998
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1.1 命题与联结词
复合命题： 【例1.1.3】 下列命题不是简单命题： （1）4是偶数且是2的倍数。 （2）北京不是个小城市。 （3）小王或小李考试得第一。 （4）如果你努力，则你能成功。 （5）三角形是等边三角形，当且仅当三个内角 相等。

注： 这些语句都是命题，除了（ 3）的真假需根据具体情
注：
（4）是陈述句，但它的真假取决于变量x的取值，例如取x为4 时其值为真，取x为2时其值为假，即其真值不唯一，因此不是命 题。 （5 ）也是陈述句，但它是悖论，无法判定其真假，因而也不 是命题。
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1.1 命题与联结词

判断一个语句是否为命题的关键是： （1）语句必须是陈述句。 （2）必须具有唯一的真值。
要注意两点： （1）真值的判断不受人的知识范围所限，它是 客观存在的。 （2）暂时不能确定真值（到了一定时候就可以 确定），与其真值不能唯一确定是不同的。

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1.1 命题与联结词



简单命题： 以上所讨论的命题均是一些简单陈述句。在语 言学中称为简单句，其结构均具有“主语+谓语 ”的形式。 在数理逻辑中，我们将这种由简单句构成的命 题称为简单命题，或称为原子命题，用p、q、r 、pi、qi、ri 等符号表示。如： p：4是偶数。 q：煤是白的。 r：《几何原本》的作者是欧几里德。
第一章 命题逻辑
引言 逻辑学（Logic）是推理的基础，它在社会科 学、自然科学尤其是计算机科学中得到普遍应用 。数理逻辑是逻辑学的一个分支，同时也是数学 的一个分支。 数理逻辑是用数学的方法来研究推理规律的 科学，它采用符号的方法来描述和处理思维形式 、思维过程和思维规律。 数理逻辑在程序设计、数字电路设计、计算 机原理、人工智能等计算机课程中有着广泛的应 用。
离散数学
授课教师：刘慧明
第一章 命题逻辑
Email：huiming@
青岛科技大学
青岛市郑州路53号(四方校区) 邮编:266042
《离散数学》
绪论
一、离散数学的概念及研究内容 二、学习离散数学的重要性 三、课程教学内容
四、教材及参考书目
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《离散数学》
一、离散数学的概念及研究内容
《离散数学》
课程特点及学习要求：
特点：内容繁杂，概念繁多，方法性强，逻辑 性强，比较抽象，给学习带来一定难度。 学习要求： 1、准确掌握每个概念的内涵及外延。 2、多做习题，加深对内容的理解和掌握。 3、要有刻苦钻研精神,不断总结经验。 4、要注重培养分析问题和解决问题的能力。

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《离散数学》
1.1 命题与联结词

4、蕴含：→
【例】老妈说：“如果期终考了年级前10名， 那么奖励1000元”。 p:期终考了年级前10名 q:奖励1000元 则上面的语句表示为p→q。 (3) 至于“ p 为 0 ”即“期终不是考了年级前 10” 时 , 无论“ q 为 1 ”还是“ q 为 0 ”，即无论老妈 奖励还是不奖励，都不能说老妈的话是假的， 故善意的认为pq均为1。 p→q为假，当且仅当p为真、q为假。
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1.1 命题与联结词
命题：命题是能够唯一判断其真假的陈述句。

如果某个陈述句判断为真（与人们公认的客观 事实相符），则我们称其为真命题，并说此命 题的真值为真，否则称为假命题，并说此命题 的真值为假。
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1.1 命题与联结词
【例1.1.1】 下述语句均为命题： （真命题） （1）4是偶数。 （假命题） （2）煤是白色的。 （真命题） （3）《几何原本》的作者是欧几里德。 （命题） （4）2190年人类将移居火星。 （命题） （5）地球外也有生命存在。
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1.1 命题与联结词

命题联结词：
命题逻辑中常用的联结词有以下5种：
否定： “not” 非,不是,否定 合取： “and” 并且，而且，同时„ 析取： “or” 或 蕴含： “if„” 如果„那么，若p则q 等价： “if and only if„” 当且仅当， 若p则q且若q则p
艾兹格· W· 迪 科 斯 彻 （ Edsger Wybe Dijkstra，1930~2002）荷兰人。 计算 机科学家，早年钻研物理及数学，而后 转为计算学。 1972 年获得素有计算机 科学界诺贝尔奖之称的图灵奖。
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三、课程教学内容

教学内容
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四个相对独立的部分： 第一篇 数理逻辑 第二篇 集合论 第三篇 代数结构 第四篇 图论基础 并非完全独立，有着密切联系

【例】 (1) p：4是偶数。q：3是素数。则 p∧q：4是偶数且3是素数。其真值为1。 (2) r：煤是白的。则 p∧r：4是偶数且煤是白的。真值为0。
p∧q为真，当且仅当p、q均为真
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1.1 命题与联结词

2、合取：∧ p∧q的真值表如表1.2所示：
表 1.2
p
0
q
0
p^q
0
0
1
1
﹁p为真，当且仅当p为假
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1.1 命题与联结词

1、否定：﹁ ﹁p 的真值亦可由表 1.1 所示的表格（称之为 “真值表”）确定。
表 1.1
p 0 1
﹁p 1 0
命题p为真，当且仅当﹁p为假。 命题﹁p为真，当且仅当p为假。
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1.1 命题与联结词
2、合取：∧ 设 p 、 q 是任意两个命题，复合命题“ p 且 q ” （ p 与 q ） 称 为 p 与 q 的 合 取 式 ， 记 作 ： p ∧q 。 “∧”是合取联结词。
注：
（3）可能有人说不出它的真假，但客观上能判断真假。 （4）的结果目前谁也不知道，但到了2190年则真假可辨，即其 真值是客观存在的，因而是命题。 （5）的真值也是客观存在的，只是我们地球人尚不知道而已， 随着科学技术的发展，其真值是可以知道的，因而也是命题。
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1.1 命题与联结词
【例1.1.2】 下列语句不是命题： （疑问句） （1）你好吗？ （感叹句） （2）好棒啊！ （祈使句） （3）请勿吸烟。 （陈述句，但其真值不唯一） （4）x＞3。 （5）我正在说谎。 （陈述句，悖论）

《离散数学》
第一章 命题逻辑

命题逻辑是数理逻辑的基础部分

任何基于命题分析的逻辑称为命题逻辑 但究竟什么是命题？ 如何表示命题？ 如何构造出复杂的命题？ 如何进行命题逻辑演算？
在本章将讨论这些问题。
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第一章 命题逻辑 本章内容
1、命题与联结词 2、命题公式与赋值 3、命题公式的等值 4、析取范式与合取范式 5、命题逻辑的推理理论
组合数学 形式语言与自动机等等。 – 每个分支基本上可以看成是一门独立的学科。
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二、学习离散数学的重要性

离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与 技术领域有着广泛的应用。 通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散 结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创 造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑 推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工 作打下坚实的基础。