一维有限时域差分方法（FDTD）计算中参数的选择

时域有限差分方法（FDTD ）1966年由Yee 提出后，经过
许多年的发展，在电磁波散射方面得到了广泛的应用。

现
在，在光子晶体能隙的计算方面也得到了很多应用。

笔者
在一维、二维的FDTD 编程计算中，发现时间步长的选择不
同，会导致结果的不同，下面进行讨论。

一、一维FDTD 差分方程表达形式
一维波动方程əu əx +1v əu ət =0，在一维无限长
介质中，其解为u=f （x-vt ），是以速度v 向x 轴正向传播的行波。

用差分
形式，把波动方程进行改写：
由u （x+Δx ）=u （x ）+əu əx Δx+12ə2
u əx 2（Δx ）2，u （x-Δx ）=u （x ）-əu əx Δx+12ə2
u əx 2（Δx ）2。

两式相减，u （x+Δx ）-u （x-Δx ）=2əu əx Δx ，于是，əu əx =u （x+Δx ）-u （x-Δx ）2Δx 。

同理：əu ət =u （t+Δt ）-u （t-Δt ）2Δt 。

于是，一维波动方程əu əx +1v əu ət =0写为：u n （i+1）-u n （i-1）2Δx +1v u n+1（i ）-u n-1（i ）2Δt =0，整理得到：u n+1
（
i ）=u n-1（i ）-v Δt Δx [u n （i+1）-u n （i-1）]①二、初始、边界条件的确定以及编程计算的结果边界条件：u （t ，1）=0，u （t ，N x ）=0，对t=1到N t 。

初始条件：由于在差分形式的递推公式①中，要计算t=3的值，需要知道t=1，2时的值。

本文规定初始条件为u （t ，
i ）=0，对t=1，2.
下面是两组不同的参数，用Matlab 编程计算的结果：
第1组：L x =1×10-4，Δx=1×10-6，N x =100，N t =100，
v=c=3×108，Δt=Δx c
信号源u （t ，10）=5sin （π5t ），观察点在i=80，也就是
x=80Δx 处。

第2组：L x =1×10-4，Δx=1×10-6，N x =100，N t =1000，
v=c=3×108，Δt=Δx c
信号源u （t ，10）=5sin （π5t ），观察点在i=80，也就是
x=80Δx 处。

参数中时间长度N t 与第1组不同，其他参数相同。

第3组：L x =1×10-4，Δx=1×10-7，N x =1000，N t =3000，v=c=3×108，Δt=34Δx c
信号源u （t ，10）=5sin （π5t ），观察点在i=500，也就是x=500Δx 处。

从图中可以看出：
t=1到600，在观察点无信号，信号还没有到达；
t=600到900，是过渡阶段，与数值化的计算有关，在观
察点信号尚不稳定；
t=900到2400，观察点信号与用连续方程得到的结果
一致；
一维有限时域差分方法（FDTD ）计算中参数的选择
陈义万1，李文兵1，杜海霞2，彭波勇2
（1.湖北工业大学理学院，湖北武汉430068；2.第二炮兵工程大学，陕西西安710025）
摘要：在用一维时域有限差分方法计算波的传播时，为了防止出现发散的结果，要求时间步长Δt ＜Δx v ，但具体取多
大的值，没有定论。

通过编程试验，时间步长取Δt ＜0.75Δx c ，而时间步数Nt 大于波从波源传到观察点所需要的时间，又小
于反射波到达观察点的时间。

而且计算的时间格点和位置格点全部都可以取整数。

关键词：FDTD ；有限时域差分方法；参数
中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）
03-0155-02
图1从信号源到观察点需要70个时间步长图2N t =1000时，观察点的信号出现周期性的零
值
图3t=600到900是过渡阶段，t=900到2400与连续方程解
相同
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t=2400以后，观察点的信号的幅度比源的信号还大，是因为文中取一维两端边界为零，反射波到达观察点，与正向波形成干涉。

用快速傅里叶变换得出的频谱透射率，由于已经包含了开始的过渡阶段和以后的反射波的干涉的影响，在0.8左右，与波的无衰减传播结果接近。

三、结论
在一维的FDTD计算中，直接使用整数时刻和整数空间坐标，而不需要使用半整数时间和半整数空间坐标，简
化了坐标的标记形式；时间步长取Δt=3
4Δx
c
，时间总长
N t的取值，要求在这个时间信号源的信号可以到达观察点，但又没有界面反射波到达观察点，这样的参数比较理想，可以得到与连续方程相同的结果。

参考文献：
[1]葛德彪，阎玉波.电磁波时域有限差分方法[M].第2版.西安：西安电子科技大学出版社，2005.
[2]曾辉，杨亚培.FDTD法与平面波展开法在光子禁带计算中的差异分析[J].电子科技大学学报，2005，34（6）：901-904.
[3]张国华，袁乃昌，付云起.FDTD方法分析光子带隙能带结构[J].微波学报，2001，17（4）：14-17.
[4]张亮，寇晓艳.FDTD的Matlab语言的实现[J].延安大学学报：自然科学版，2009，28（2）：57-59.
[5]朱章虎，卢万铮，冯奎胜.FDTD计算中PML的简化应用及编程实现[J].空军工程大学学报（自然科学版），2006，7（2）：55-57.
作者简介：陈义万，湖北工业大学理学院物理学副教授，研究方向：光子晶体及性质。

本文将故障诊断问题看成一类特殊的分类问题，利用LVQ神经网络的分类功能，建立齿轮箱故障诊断的神经网络模型。

模型通过对一些典型的故障特征进行训练学习后，用于齿轮箱的故障诊断。

一、LVQ神经网络原理
早在1990年，著名的神经网络专家Kohonen就提出了学习向量量化（Learning Vector Quantization，LVQ）算法。

LVQ神经网络是用于模式分类是一种神经网络模型，允许对输入分到哪一类进行指定。

LVQ算法对应的网络结构如下：①包含n个输入神经元，输入向量为X=（x1，x2，…，x n），即样本是n维的，X所对应的类别为T；②每个输出神经元j 都对应一个权向量，W j=（w1，w2，…，w n），记所有输出神经元构成的集合为Ω；③C j为输出神经元j所代表的类别，不同的输出神经元可以代表同一个类别。

下面介绍LVQ算法：①初始化权向量W j，∀j∈Ω，设初始学习率为α（0）；②从训练集中选取一输入向量X，找出与X具有最小欧氏距离的W k；其中k=argmin
j∈Ω
‖X-W j‖；③按下列公式调整神经元k的权值，如果T=C k，即分类正确，则W k（t+1）=W k（t）+α（t）（X-W k（t）），如果T≠C k，即分类不正确，则W k（t+1）=W k（t）-α（t）（X-W k（t））；④选择下一个输入向量，返回第二步，直到样本集中所有的向量都提供一遍为止；⑤判断停机条件是否满足。

若满足，停机；若否，转第二步。

二、遗传算法优化的LVQ神经网络
LVQ神经网络具有很好的分类识别特性，能对任意输入向量进行分类，无论它们是否可分，但LVQ神经网络有两个不足：（1）存在“死神经元”，即未被充分利用的神经元；（2）算法天然对初始权值敏感，即如果初值的选择偏差太大就会影响聚类的结果，从而影响诊断结果。

为了克服LVQ算法对初始权值的敏感性，本文采用遗传算法对LVQ 的初始权值进行优化，形成基于遗传算法的LVQ神经网络。

遗传算法是模拟生物进化过程中自然选择和遗传变异的一种随机优化算法，它只是要求被优化的函数是可计算的，不要求目标函数具有连续性和可微性，搜索能力不依赖于特定的求解模型，具有很强的全局搜索能力。

目前遗传算法已被广泛应用于各个领域，如自适应控制、优化组合、机器学习等。

遗传的操作步骤为：（1）种群初始化。

由于染色体代表的是LVQ网络的权值，故染色体采用实数编码，假设训练样本输入向量的维数为n，则选择n个0-1的随机数作为初始网络权值，并组成染色体，染色体的长度为m×n，m为输出神经元的个数，重复上述过程，得到S个染色体。

（2）计算每一条染色体的适应度。

在本算法中，记适应度最小的染色体为W min，W min为一个好的初始权值。

因为LVQ算法是有导师的学习，所以，本文将适应度函数定义为：fitness=1
2
q
k=1
∑r i=1∑（y i（k）-t i（k））2。

其中，r为输出层节点
数，q为样本个数。

（3）交叉操作。

将染色体群体中的个体随机两两配对，采用双点交叉算子进行交叉操作，产生新一代群体。

（4）变异操作。

变异操作是遗传算法种群多样化的保证。

在该算法中，由于染色体对应于LVQ神经网络的权值，因此采用位置变异算子，以较小的变异率对新一代种群进行变异操作。

基于遗传算法和LVQ神经网络的故障检
一种基于遗传算法的LVQ神经网络及其在故障诊断中的应用
周西龙
（中国海洋大学数学科学学院，山东青岛266100）
摘要：本文通过分析LVQ神经网络及其变形的基本结构和算法，研究了基于LVQ神经网络的齿轮箱故障诊断方法。

常用的LVQ神经网络存在神经元未被充分利用和算法对初值敏感，从而影响诊断预测的精度。

本文提出采用遗传算法优化
LVQ神经网络的初始权向量，给出了正确的诊断结果，并与LVQ神经网络的结果作了对比，结果表明用遗传算法优化的
LVQ神经网络比LVQ神经网络有更高的诊断精度。

关键词：LVQ神经网络；遗传算法；故障诊断
中图分类号：G642.0文献标志码：A文章编号：1674-9324（2013）03-0156-02
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