2021_2022学年高中数学第1章坐标系1.5柱坐标系和球坐标系讲义新人教B版选修4_4

1.5 柱坐标系和球坐标系
1.5.1 柱坐标系 1.5.2 球坐标系
学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．(难点)
1．柱坐标系
(1)柱坐标
设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，M 点在xOy 坐标面上的投影点为M 0，M 0点在xOy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，如图1­5­1所示，那么三个有序数ρ，θ，z 构成的数组(ρ，
θ，z )称为空间中点M 的柱坐标．在柱坐标中，限定ρ≥0,0≤θ<2π，z 为任意实数．
(2)空间直角坐标与柱坐标的变换公式
空间点M (x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θy ＝ρsin θ
z ＝z
.
2．球坐标系
(1)球坐标
设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M 0，连接OM 和OM 0.
如下图，设z 轴的正向与向量OM →的夹角为φ，x 轴的正向与OM 0→
的夹角为θ，M 点到原点
O 的距离为r ，那么由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐
标．假设设投影点M 0在xOy 平面上的极坐标为(ρ，θ)，那么极坐标θ就是上述的第二个球坐标θ.在球坐标中限定r ≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π.
(2)空间直角坐标与球坐标的变换公式
空间点M (x ，y ，z )与球坐标(r ，θ，φ)之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝r sin φcos θy ＝r sin φsin θ
z ＝r cos φ
.
思考1：要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？ [提示] 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离．
思考2：在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r ＝1分别表示空间中的什么曲面？
[提示] 柱坐标系中，ρ＝1表示以z 轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r ＝1表示球心在原点的单位球面．
1．在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为(2，π
4，3)，P 在xOy 平面上的射影为Q ，那
么Q 点的坐标为( )
A ．(2,0,3)
B ．(2，π
4，0)
C ．(2，π
4
，3)
D ．(2，
π
4
，0) [解析] 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. [答案] B
2．点A 的柱坐标为(1,0,1)，那么点A 的直角坐标为( ) A ．(1,1,0) B ．(1,0,1) C ．(0,1,1)
D ．(1,1,1)
[解析] x ＝ρ·cos θ＝1cos θ＝1，y ＝ρsin θ＝0，z ＝1. [答案] B
3．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，那么它的柱坐标是( ) A ．(2，π
3，3)
B ．(2，2π
3，3)
C ．(2，4π
3
，3)
D ．(2，5π
3
，3)
[解析] ∵ρ＝(－1)2
＋(－3)2
＝2，
tan θ＝－3
－1＝3，
∴θ＝π3或43
π.
又∵M 的直角坐标中x ＝－1，y ＝－3， ∴排除θ＝π3，∴θ＝4
3π.
∴M 的柱坐标为(2，4π
3，3)．
[答案] C
4．设点M 的直角坐标为(－1，－1,0)，那么它的球坐标为( ) A ．(2，π
4，0)
B ．(2，
5π4，π2
) C ．(2，5π
4
，0)
D ．(2,0，π
4
)
[解析] 由坐标变换公式，
得r ＝x 2
＋y 2
＋z 2
＝2，cos φ＝z r
＝0， ∴φ＝π2
.
∵tan θ＝y x ＝1，∴θ＝5
4
π.
[答案] B
点的柱坐标与直角坐标互化
[思路探究] 直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
z ＝z .求出
ρ，θ即可．
[解] 设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 那么有⎩⎪⎨⎪
⎧
1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，
z ＝1，
解之得，ρ＝2，θ＝
π
4
.
因此，点M 的柱坐标为(2，π
4
，1)．
由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )代入变换
公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
z ＝z .
求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2
，求ρ.利用tan θ＝y
x
，求θ，在
求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．
1．根据以下点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)(2，5π6，3)；(2)(2，π
4，5)．
[解] 设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝(2，5π
6
，3)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ＝2cos
5π
6
＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6
＝1，
z ＝3，
因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．
(2)∵(ρ，θ，z )＝(2，
π
4
，5)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ＝2cos π4
＝1，
y ＝ρsin θ＝2sin π
4
＝1，
z ＝5.
故所求点的直角坐标为(1,1,5)．
将点的球坐标化为直角坐标
【例2】 点M 的球坐标为(2，4π，4
π)，求它的直角坐标．
[思路探究] 球坐标
―――――――――――――――――→
x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，
z ＝r cos φ
直角坐标
[解] 设点的直角坐标为(x ，y ，z )． ∵(r ，θ，φ)＝(2，34π，3
4π)，
∴x ＝2sin 34πcos 3
4π
＝2×
22×(－2
2)＝－1， y ＝2sin 34
πsin 34
π
＝2×
22×2
2＝1， z ＝2cos 34
π＝2×(－
2
2
)＝－ 2. 因此点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．
1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r ，θ，
φ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤θ<2π，0≤φ≤π.
2．化点的球坐标(r ，θ，φ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，
z ＝r cos φ.
转化为三角函数的求值与运算．
2．假设“例2〞中点M 的球坐标改为M (3，5π3，5π
6)，试求点M 的直角坐标．
[解] 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )． ∵(r ，θ，φ)＝(3，5π3，5π
6
)，
x ＝r sin φcos θ＝3sin 5π6cos 5π3＝3
4， y ＝r sin φsin θ＝3sin
5π6sin 5π3＝－334
，
z ＝r cos φ＝3cos
5π6＝－332
. ∴点M 的直角坐标为(34，－334，－33
2)．
空间点的直角坐标化为球坐标
【例3】 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面正方形ABCD 的边长为1，棱AA 1的长为2，如图1­5­3所示，建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标和球坐标．
[思路探究] 先确定C 1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．
[解] 点C 1的直角坐标为(1,1，2)．
设C 1的球坐标为(r ，θ，φ)，其中r ≥0,0≤θ<2π，0≤φ≤π， 由x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，
z ＝r ·cos φ，
∴r ＝x 2
＋y 2
＋z 2
＝12
＋(2)2
＋12
＝2. 由z ＝r cos φ， ∴cos φ＝
22，φ＝π
4
. 又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π
4
，
从而点C 1的球坐标为(2，π4，π
4)．
1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M 的球坐标为(r ，θ，φ)，再利用变换
公式⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，
z ＝r cos φ.
求出r ，θ，φ.
2．利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2
，tan θ＝y x ，cos φ＝z r
.特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．
3．假设本例中条件不变，求点C 的柱坐标和球坐标． [解] 易知C 的直角坐标为(1,1,0)．
设点C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r ，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝x 2
＋y 2
＝12
＋12
＝ 2.
又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π
4
.
因此点C 的柱坐标为(2，
π
4
，0)． (2)由r ＝x 2
＋y 2
＋z 2
＝12
＋12
＋0＝ 2.
∴cos φ＝z r ＝0，∴φ＝π
2
.
故点C 的球坐标为(2，π2，π
4
)．
(教材P 21练习T 2)
设点M 的柱坐标为(2，π
6
，7)，求它的直角坐标．
在柱坐标系中，点M 的柱坐标为(2，2
3
π，5)，那么|OM |＝________.
[命题意图] 此题主要考察柱坐标系的意义，以及点的位置刻画． [解析] 设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )． 由(ρ，θ，z )＝(2，2
3
π，5)知
x ＝ρcos θ＝2cos 23π＝－1，y ＝2sin 23
π＝ 3.
因此|OM |＝x 2
＋y 2
＋z 2
＝(－1)2
＋(3)2
＋(5)2
＝3. [答案] 3。