高考数学总复习含答案：巩固练习_三角函数的图象和性质_提高

【巩固练习】 一、选择题
1．函数y ＝sin2xcos2x 的最小正周期是（ ） (A)2π (B)4π (C)4π (D)2
π 2. 若[]π2,0∈x ，函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）
A ．[]π,0
B ．⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡23,2ππ C ． ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡ππ,2 D ．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡ππ2,23 3．函数y=x+sin|x|, x ∈[-π,π]的大致图象是（ ）
4.cos(
2)sin(2)33
y x x π
π
=+-的单调递增区间是（以下k Z ∈）（ ）
(A) [
832,82ππππ++k k ] (B) [82,82π
πππ+-k k ]
(C) [
22,42ππππ++k k ] (D) [4
3,4π
πππ+
+k k ] 5. （2016 全国新课标Ⅱ）函数π
()cos 26cos()2
f x x x =+-的最大值为（ ） （A ）4 （B ）5
（C ）6
（D ）7
6. 若函数()sin +cos (>0)f x ax ax a =的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（ ）
(A) 1(,0)8
(B) (
,0)8π
(C) 1
(-,0)8
(D) (0,0) 7. （2016 全国新课标Ⅰ）已知函数ππ
()sin()(0),24
f x x+x ，
ωϕωϕ=>≤=-为()f x 的零点，π4x =为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在π5π
()1836
，单调，则ω的最大值为
（A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5
二、填空题
8.（2015湖南高考）已知ω＞0，在函数y =2sin ωx 与y=2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω= ． 9. 函数2
=cos +sin y x x 的最大值为________． 10. 方程2cos()=14
x π
-
在区间(0,)π内的解是________．
11．函数f(x)=sin (x ωϕ+)的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.
(1)若6
π
ϕ=
,点P 的坐标为(0,
33
2
),则ω=______ ; (2)若在曲线段¼
ABC 与x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为_______.
三、 解答题
12. 已知函数2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-,x R ∈.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期; (Ⅱ)求函数()f x 在区间[,
]44ππ
-
上的最大值和最小值.
13. （2015•安徽模拟）已知函数f （x ）=cos （ωx ﹣）﹣cos （ωx +
）﹣2cos 2
（ω＞
0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间．
14．设函数f (x )＝)R (cos sin 32sin 2
2∈+⋅+x x x x λωωω的图像关于直线x ＝π对称，
其中λω,为常数，且),1,2
1(∈ω (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若y ＝f (x )的图像经过点)0,4
π(，求函数f (x )的值域．
15. 已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
R ，（其中0ω>） （1）求函数()f x 的值域；
（2）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻
交点间的距离为π
2
，求函数()y f x =的单调增区间．
【参考答案与解析】 1．【答案】：D ； 【解析】：1=
sin 42y x ，从而最小正周期为2
π
. 2. 【答案】：C
【解析】：由函数sin 0x ≥且cos 0x -≥，注意到[]π2,0∈x 可知C 正确. 3．【答案】：C
【解析】：由函数的单调性及特殊点的坐标先排除B 、D ；又当2
x π
-
=时，x 12
y >+π
-
=，分析A 、C 图可知C 成立. 4．【答案】：A
【解析】
：化简出1
sin 42y x =-+，原题即求sin4x 的一个递减区间， 所以32422
2k x k π
πππ+≤≤+
⇒8
2ππ+k ≤x≤328k ππ+. 5.【答案】B
【解析】因为223
11
()12sin 6sin 2(sin )2
2
f x x x x =-+=--+
，而sin [1,1]x ∈-，所以当sin 1x =-时，取最大值5，选B.
6. 【答案】：C
【解析】：因()sin +cos =2sin (+
)4
f x ax ax ax π
=且 >0a ，从而有
2=1a
π
，即=2a π，
()=2sin (2+
)4
f x x π
π∴，令2+
=4x k π
ππ得1
=-28
k x
，故()f x 的对称中心为1(-,0)28k ，显然1
(-,0)8
是函数的一个对称中心. 7.【答案】B 【解析】由π4x =-
为()f x 的零点，π
4
x =为()y f x =图像的对称轴，得 12
,4,
42
k k π
ωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪⎨
⎪+=+⎪⎩消去ϕ，可得21k ω=+，其中,4k Z π
ϕ∈=±， 因为()f x 在π5π(
)1836，单调，所以5πππ236181222T π
ω
-=≤=
，得12ω≤，接下来用排除法，当11ω=时，4
π
ϕ=-
，此时()sin(11)4f x x π
=-
，()f x 在π3π
()1844
，递增，在()f x 在3π5π
(
)4436
，递减，不满足条件；当9ω=时，4πϕ=，此时()sin(9)4f x x π=+，满足()
f x 在π5π
(
)1836
，单调，故ω的最大值为9，故选B. 8.【答案】
2
π 【解析】∵函数y =2sin ωx 与y=2cos ωx 的图象的交点， ∴根据三角函数线可得出交点12
115,2,,244k k ππ
ππωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎝， k 1，k 2都为整数
∵距离最短的两个交点的距离为2，
∴这两个交点在同一个周期内， ∴12=（
）2+（
）2，ω=
9. 【答案】：
5
4
【解析】：22215=cos +sin =-sin +sin +1=-(sin -
)+24
y x x x x x ， 当max
15
sin =,()24
x f x =时 10. 【答案】：7=12
x π
【解析】：由1cos()=42x π-有=+243x k πππ-，即7=+2,12
x k k Z π
π∈，从而在(0,)
π内的解为7=12
x π
.
11. 【答案】：(1)3;(2)4
π
【解析】：(1)()y f x '=cos()x ωωϕ=+,当6
π
ϕ=
,点P 的坐标为
(0,
2
)时
cos
36
π
ωω=
∴=; (2)由图知222T AC π
πωω
===,122ABC S AC π
ω=⋅=V ,设,A B 的横坐标分别为,a b .
设曲线段
¼ABC 与
x
轴所围成的区域的面积为S
则
()()sin()sin()2b
b
a
a
S f x dx f x a b ωϕωϕ'=
==+-+=⎰
,由几何概型知该点在
△ABC 内的概率为224
ABC S P S π
π
===V . 12.【解析】：
()=sin 2cos
cos 2sin sin 2cos cos 2sin cos 23333
f x x x x x x ππππ
++-+
sin 2cos 2)4x x x π
=+=+
所以,()f x 的最小正周期22T π
π==.
(2)因为()f x 在区间[,]48ππ-上是增函数,在区间[,]84
ππ
上是减函数,又
()14f π-=-,()2,()184f f ππ==,故函数()f x 在区间[,]44ππ
-上的最大值为2,
最小值为1-.
13.【解析】（Ⅰ）f （x ）=cos （ωx ﹣）﹣cos （ωx +）﹣2cos 2 =cos ωx cos
+sin ωx sin
﹣（cos ωx cos ﹣sin ωx sin
）﹣2•
=sin ωx ﹣cos ωx ﹣1=sin （ωx ﹣
）﹣1，
因为f （x ）的最小正周期为=π，即ω=2． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 f （x ）=sin （2x ﹣
）﹣1．
由 2k π﹣
≤2x ﹣
≤2k π+
，k ∈z ，求得k π﹣
≤x ≤k π+，
所以f （x ）的单调递增区间为[k π﹣，k π+
]，k ∈z ．
14 .【解析】：
(1)因为λωωωω+⋅+-=x x x x x f cos sin 32cos sin )(2
2
.)6
π
2sin(22sin 32cos λωλωω+-=++-=x x x
由直线π=x 是)(x f y =图象的一条对称轴，可得，1)6
π
π2sin(±=-
ω 所以ππ1
2ππ(),().6223
k k k k ωω-+
∈=+∈Z Z ＝即 15
,1,1,.26
k k ωω∈∈=Z 又（）所以故＝
所以)(x f 的最小正周期是
.5
6π
(2)由)(x f y =的图象过点)0,4
π(，得0)4
π(=f ，
.2,24
π
sin 2)6π2π65sin(2-=-=-=-⨯-=λλ即即
,2)6
π
35sin(2)(--=x x f 故函数）（x f 的值域为]22,22[---．
15. 【解析】：（1
）11
()cos cos (cos 1)22
f x x x x x x ωωωωω=
+--+
12cos 122x x ωω⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
π2sin 16x ω⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭． 由π1sin 16x ω⎛
⎫--
⎪⎝
⎭≤≤，得π32sin 116x ω⎛
⎫--- ⎪⎝
⎭≤≤，
可知函数()f x 的值域为[31]-，．
（2）由题设条件及三角函数图象和性质可知，()y f x =的周期为π，
又由0ω>，得
2π
πω
=，即得2ω=． 于是有π()2sin 216f x x ⎛⎫
=-- ⎪⎝
⎭
， 再由πππ2π22π()262k x k k -
-+∈Z ≤≤，
解得ππ
ππ()63
k x k k -+∈Z ≤≤． 所以()y f x =的单调增区间为ππππ6
3k k ⎡
⎤
-+⎢⎥⎣
⎦
，()k ∈Z。