河南省郑州市2018届高三第二次质量预测数学理含答案

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2018年河南省郑州市高中毕业年级第二次质量预测
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 1.已知集合已知集合，则
（
）
A ．
B B．．
C ．
D D．．
2. 2.若复数若复数,则复数在复平面内对应的点在在复平面内对应的点在( ) ( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限3. 3.命题“命题“”的否定为”的否定为( ) ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4. 4.已知双曲线已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于
( )
A ．
B ． C.
D ．
5. 5.运行如图所示的程序框图，则输出的运行如图所示的程序框图，则输出的为( )
A ．1009
B 1009 B．．-1008 C.1007 D -1008 C.1007 D．．-1009 6.6.已知已知
的定义域为，数列
满足
,且
是递增
数列，则的取值范围是的取值范围是( ) ( )
A ．
B B．． C. D D．．
7.7.已知平面向量已知平面向量满足,若,则的最小值为的最小值为( ) ( )
A ．-2
B -2 B．．- C. -1 D C. -1 D．．0
8.8.《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撒侨任务的故事务的故事..撒侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务必须排在前三位，且任务
必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( ) ( )
A ．240种
B B．．188种 C.156种 D D．．120种
9.9.已知函数已知函数
,若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数
的图象
( )
A ．向左平移个单位长度个单位长度
B B B．向右平移．向右平移个单位长度个单位长度
C. C. 向左平移向左平移个单位长度个单位长度 D D D．向右平移．向右平移个单位长度个单位长度
10.10.函数函数在区间上的大致图象为上的大致图象为( ) ( )
A ．
B B．．
C. D D．．
11.11.如图，如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆
,
过圆心
的直线与抛物线和圆分别交于
,则
的最小值为的最小值为( ) ( )
A ．23
B 23 B．．42 C.12 D 42 C.12 D．．52 12.12.已知已知,
,若存在
,使得
,则称函数
与
互为“度零点函数”度零点函数”..若与
互为“互为“11度零点函数”，则实数
的取值范围为的取值范围为( ) ( ) A ．
B B．．
C.
D D．．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.13.已知二项式已知二项式
的展开式中二项式系数之和为6464，则展开式中，则展开式中
的系数为的系数为 ．．
14.14.已知实数已知实数满足条件则的最大值为的最大值为 ．．
15.15.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数学用语可见，譬如“憋臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥..某“憋臑”的三视图（图中网格纸上每个小正方形的边长为1）如图所示，已知几何体高为
，则该几何体外接球的表面积为，则该几何体外接球的表面积为 ．．
16.16.已知椭圆已知椭圆
的右焦点为
,且离心率为，
的三个顶点都在椭圆
上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为
，且
均不为0.为坐标原点，若直线
的斜率之和为1.1.则则
．．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.
内接于半径为的圆，
分别是的对边，且
.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若是边上的中线，，求的面积的面积. .
18.18.光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位，期的能源战略中具有重要地位，20152015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用量得到以下统计表户，统计其年用量得到以下统计表..以样本的频率作为概率以样本的频率作为概率. . 用电量（单位：
度）度）
户数户数 7 8 15 13 7
(Ⅰ)在该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，求的数学期望；的数学期望； (Ⅱ)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式..已知该县某自然村有居民300户若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度的价格进行收购度的价格进行收购..经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接受益多少元？ 19.19.如图所示四棱锥如图所示四棱锥
平面
为线段
上的一点，且
,连接
并延长交
于. (Ⅰ)若为的中点，求证：平面
平面；
(Ⅱ)若
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值所成锐二面角的余弦值. .
20.20.已知圆已知圆,点
为平面内一动点，以线段
为直径的圆内切于圆,设动点的
轨迹为曲线. (Ⅰ)求曲线的方程；的方程；
(Ⅱ)是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得
，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由，若不存在，请说明理由. .
21.21.已知函数已知函数.
(Ⅰ)求曲线
在
处的切线方程；处的切线方程；
(Ⅱ)求证：当时，.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.22.选修选修4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点的极坐标为
，直线的极坐标方程为
，且过点，曲线的参数方程为(
为参数为参数). ).
(Ⅰ)求曲线上的点到直线的距离的最大值；的距离的最大值；
(Ⅱ)过点与直线平行的直线与曲线与曲线 交于两点，求的值的值. .
23.23.选修选修4-54-5：不等式选讲：不等式选讲：不等式选讲 已知函数.
(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；的取值范围；
(Ⅱ)当时，函数
的最小值为
,求实数的值的值. .
2018年高中毕业年级第二次质量预测
理科数学 参考答案
一、选择题
1-5: BCCBD 6-10: DBDCA 111-5: BCCBD 6-10: DBDCA 11、、1212：：AB
二、填空题
13.4860 14. 15.
16.
三、解答题
17.17.解：解：（Ⅰ）由正弦定理得， 可化为
即即
.
(Ⅱ)以为邻边作平行四边形，在中，.
在中，由余弦定理得
.
即：
,解得，
.
故133sin 22
ABC
S bc A D ==. 18.18.解：解：解：((Ⅰ)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件，则
.
由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为，服从二项
分布，即，故.
(Ⅱ)设该县山区居民户年均用电量为，由抽样可得，由抽样可得
7815137()10030050070090052050
50
50
50
50
E Y =´
+´
+´
+´
+´
=则该自然村年均用电量约156
000度.
又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约144 000度，能为该村创造直接收益元.
19. 19. 解：解：（Ⅰ）在中，，故,23
BCD CBE CEB p p Ð=Ð=Ð=，
因为
，∴
，从而有.3
FED BEC AEB p Ð=Ð=Ð=
∴FED FEA Ð=Ð，故． 又
，．又
平面
，
故
平面
，，CF EF F Ç=故平面
.
又AD Ì平面
，∴平面
平面
.
（Ⅱ）以点为坐标原点建立如图所示的坐标系，则为坐标原点建立如图所示的坐标系，则
(000)(200)(330)(0230)(003).A B C D P ，，，，，，，，，，，，，，
故(130BC =，，）u u u r ，(333CP =--，，）u u r ，(330CD =-，，
）u u u r ． 设平面
的法向量111(1)y z =，，n ，
则111130,
3330,y y z ì+=ïí--+=ïî解得113,32.
3y z ì=ïíï=î
－即132(1).33=，－，n
设平面
的法向量222(1)y z =，，n ，则2
223303330y y z ì-+=ïí
--+=ïî，，解得2232y z ì=ïí=ïî，， 即2(132)=，，
n ．从而平面与平面
的夹角的余弦值为的夹角的余弦值为
1212
4
||23cos .||||4168
9
q ==
=´n n n n
20.20.解：解：（Ⅰ）设的中点为，切点为，连
，则，取关于轴的对称
点，连
，故
．
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为4的椭圆．的椭圆．
其中，曲线方程为.
(Ⅱ)假设存在满足题意的定点Q ，设(0,),Q m 设直线
的方程为12
y kx =+
，
．由2
2
1,
4312x y y kx ì+=ïïíï=+ïî
消去，得22(34)4110.k x kx ++-=
由直线过椭圆内一点1(0,)
2作直线故
，由求根公式得：，由求根公式得：
12
1222411
,,3434k x x x x k k
--+=×=++ 由得MQO NQO Ð=Ð,得直线得MQ 与NQ 斜率和为零斜率和为零..故
121212121212121112()()2220,kx m kx m kx x m x x y m y m x x x x x x
+-+-+-+--+=+== 12
12
2
2
2
1
111
44(6)
2()()2()0.
23423434k k m kx x m x x k m k k k
---+-+=×+-×==+++
存在定点
，当斜率不存在时定点
也符合题意．也符合题意．
21.21.（Ⅰ）（Ⅰ）'()2x
f x e x =-， 由题设得由题设得'(1)2f e =-，(1)1f e =-，
()f x 在1x =处的切线方程为(2) 1.y e x =-+
(Ⅱ)x e x f x
2)('-=，2)(''-=x
e x
f ，∴)('x f 在)2ln ,0(上单调递减，在),2(ln +¥上单调递增，
所以
02ln 22)2(ln ')('>-=³f x f ，所以)(x f 在]1,0[上单调递增，上单调递增，
所以max ()(1)1,[0,1]f x f e x ==-Î.)(x f 过点)1,1(-e ，且)(x f y =在1=x 处的切线方程为
1)2(+-=x e y ，故可猜测：当1,0¹>x x 时，)(x f 的图象恒在切线1)2(+-=x e y 的上方的上方. . 下证：当0>x 时，
,1)2()(+-³x e x f
设()()(2)1,0g x f x e x x =--->，则2)(''),2(2)('-=---=x
x
e x g e x e x g ，
)
('x g 在
)2ln ,0(上单调递减，在
)
,2(ln +¥上单调递增，又上单调递增，又
'(0)30,'(1)0,0ln 21g e g =->=<<，∴0)2(ln '<g ，
所以，存在0(0,12)x n Î，使得0'()0g x =，
所以，当),1(),0(0+¥Î x x 时，0)('>x g ；当)1,(0x x Î时，0)('<x g ，故)(x g 在),0(0x 上单调递增，在)1,(0x 上单调递减，在),1(+¥上单调递增，上单调递增， 又0)1()0(==
g g ，∴01)2()(2
³----=x e x e x g x
，当且仅当1=x 时取等号，故
0,1)2(>³--+x x x
x e e x
. 又ln 1x x ³+，即1ln 1)2(+³--+x x x e e x
，当1=x 时，等号成立时，等号成立. . 22.22.解：解：解：((Ⅰ)由直线过点A 可得2cos 44a p p æö-=ç
÷èø
，故2a =， 则易得直线的直角坐标方程为20x y +-=
根据点到直线的距离方程可得曲线1C 上的点到直线l 的距离的距离 ()2cos 3sin 2
7sin 2
221
,sin 7,cos 7722a a a d f f f +-+-===，
max 72142222
d ++\== (Ⅱ)由（由（11）知直线的倾斜角为
34p ， 则直线的参数方程为31cos ,431si (n ,4)x t y t f x p p ìïï=í=-+=+ïïî
（t 为参数）为参数）. . 又易知曲线的普通方程为22
143x y +=.
把直线的参数方程代入曲线的普通方程可得2772502t t +-=， 12107t t \=-，依据参数t 的几何意义可知12710BM BN t t ×== 23.23.解：解：解：((Ⅰ)()12f x x +-³可化为||112a x x -+-³．||1122a a x x -+-³-\11,
2a -³
解得：0a £或4a ³．\实数a 的取值范围为(,0][4,).-¥+¥
（Ⅱ）函数()
21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知 1.
2a <
31,(),2()1,(1),231,(1),a x a x a f x x a x x a x ì-++<ïïï\=-+££íï-->ïï
î
如图可知()f x 在(,)2a
-¥单调递减，在[,)2
a +¥单调递增，单调递增， min ()()11,22a a f x f a \==-+=-解得：4 2.3a =<4.3
a \=。