初中数学重点梳理：几何不等式

几何不等式
知识定位
不等式是初中数学竞赛比较重要的一个知识点，在历年竞赛中占据非常大比例，几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式。

本文归纳总结了几何不等式的若干性质及定理，将通过例题来说明这些方法的运用。

知识梳理
1、几何不等式定理：几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积
不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式。

下面先给出几个基本定理：
定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边．
定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然．
定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然．定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和．
定理5自直线l外一点P引直线l的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长．
说明：如图2-135所示．PA，PB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在l上的射影若HA＞HB，则PA＞PB；
若PA＞PB，则HA＞HB．事实上，由勾股定理知：PA2-HA2=PH2=PB2-HB2，
所以PA2-PB2=HA2-HB2．
从而定理容易得证．
定理6 在△ABC中，点P是边BC上任意一点，则有PA≤max｛AB，AC｝，当点P为A 或B时等号成立．
说明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的较大者，如图2-136所示，若P在线段BH上，则由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，从而PA≤max｛AB，AC｝．
同理，若P在线段HC上，同样有PA≤max｛AB，AC｝
例题精讲
【试题来源】
【题目】在锐角三角形ABC中，AB＞AC，AM为中线，P为△AMC内一点，证明：PB＞PC 【答案】如下解析
【解析】证：在△AMB与△AMC中，AM是公共边，BM=MC，且AB＞AC，
由定理3知，∠AMB＞∠AMC，
所以∠AMC＜90°
过点P作PH⊥BC，垂足为H，则H必定在线段BM的延长线上．
如果H在线段MC内部，则BH＞BM=MC＞HC．
如果H在线段MC的延长线上，显然BH＞HC，
所以PB＞PC．
【知识点】几何不等式
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知P是△ABC内任意一点
（1）求证：1/2（a+b+c）<PA+PB+PC<a+b+c
（2）若△ABC为正三角形，且边长为1，求证：PA+PB＋PC＜2
【答案】如下解析
【解析】证明：（1）由三角形两边之和大于第三边得PA＋PB＞c，PB＋PC＞a，PC＋PA＞b 把这三个不等式相加，再两边除以2，
便得PA+PB＋PC>1/2（a+b+c）
又由定理4可知PA＋PB＜a＋b， PB＋PC＜b＋c，PC+PA＜c＋a．
把它们相加，再除以2，便得PA＋PB＋PC＜a＋b＋c．
所以1/2（a+b+c）<PA+PB+PC<a+b+c
（2）过P作DE∥BC交正三角形ABC的边AB，AC于D，E，于是
PA＜max｛AD，AE｝＝AD，
PB＜BD＋DP，PC＜PE＋EC，
所以PA＋PB＋PC＜AD＋BD＋DP＋PE＋EC=AB＋AE＋EC=2．
【知识点】几何不等式
【适用场合】当堂练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，在线段BC同侧作两个三角形ABC和DBC，使得AB=AC，DB＞DC，且AB＋AC=DB ＋DC．若AC与BD相交于E，求证：AE＞DE
【答案】如下解析
【解析】证：在DB上取点F，使DF=AC，并连接AF和AD．
由已知2DB＞DB+DC=AB+AC=2AC，
所以 DB＞AC．
由于DB＋DC=AB＋AC=2AC，
所以DC＋BF=AC=AB．
在△ABF中，AF＞AB-BF=DC．
在△ADC和△ADF中，AD=AD，AC=DF，AF＞CD．
由定理3，∠1＞∠2，
所以AE＞DE
【知识点】几何不等式
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】设G是正方形ABCD的边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K，求证：1/2（AG+AK）>AC
【答案】如下解析
【解析】证如图，在GK上取一点M，使GM=MK，
则1/2（AG+AK）=AM
在Rt △GCK 中，CM 是GK 边上的中线， 所以∠GCM=∠MGC ．
而∠ACG=45°，∠MGC ＞∠ACG ， 于是∠MGC ＞45°，
所以∠ACM=∠ACG ＋∠GCM ＞90°．
【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】设h a 、h b 、h c 是ΔABC 三边上的高，求证：12＜h a ＋h b ＋h c
a ＋
b ＋
c ＜1
【答案】如下解析
【解析】 证明：在Rt ΔADC 中，∵AC ＞AD ，
∴b ＞h a ．
同理可证：c ＞h b ，a ＞h c ，
∴h a ＋h b ＋h c ＜a ＋b ＋c ，h a ＋h b ＋h c
a ＋
b ＋
c ＜1．（1）
设ΔABC 的垂心为H 点，
∵HA ＋HF ＞AF ，HF ＋HB ＞FB ，HB ＋HD ＞BD ， HD ＋HC ＞CD ，HC ＋HE ＞CE ，HE ＋HA ＞EA ，
上述六个式子相加得，2(h a ＋h b ＋h c )＞a ＋b ＋c ， 则得，h a ＋h b ＋h c a ＋b ＋c ＞12 （2）
由（1）、（2）
∴12＜h a ＋h b ＋h c a ＋b ＋c
＜1． 【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】ΔABC 中，∠A ＞90°，AD ⊥BC 于D ．求证：AB ＋AC ＜AD ＋BC
【答案】如下解析
【解析】 证明：（法一）在BC 上取点E ，使BE ＝AB ，在AC 上取点F ，使AF ＝AD ，
连结AE 、EF 、DF ．
则∠BEA ＝∠BAE ＝90°－1
2∠B ． ∠1＝90°－∠BEA ， ∴∠1＝1
2∠B ，又∠A ＞90°， ∴∠DAC ＞∠B ∴∠2＞∠1， ∵AD ＝AF ，AE ＝AE
∴DE ＜EF ，且∠ADF ＝∠AFD ， ∴∠EDF ＞∠EFD ，
∵∠ADE ＝∠ADF ＋∠EDF ＝90°， ∴∠AFE ＝∠AFD ＋∠EFD ＜90°， ∴∠EFC ＞90°．
∴在ΔEFC 中，EF ＞FC ．即BC －AB ＞AC －AD ∴AB ＋AC ＜AD ＋BC
（法二）以A 为顶点，AB 为一边，作∠GAB ＝90°．
∵∠A ＞90°，∴AG 在∠BAC 内部，
A
B
C
D
2
1F
A B C D
E
∵AD ⊥BC ，AB ⊥AG ，
∴BG 2＝AB 2＋AG 2 （1），BG ·AD ＝AB ·AG （2） (1)＋(2)×2得BG 2＋2BG ·AD ＝(AB ＋AG )2．
∴(BG ＋AD )2＞(AB ＋AG )2，即BG ＋AD ＞AB ＋AG ， 在ΔAGC 中，GC ＞AC －AG ．
∴BG ＋AD ＋GC ＞AB ＋AG ＋AC －AG ， 即AB ＋AC ＜AD ＋BC ．
【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】在锐角三角形ABC 中，AH 是其最大的高，BM 是AC 边上的中线，且AH ＝BM ，
证明：∠B ≤60°
【答案】如下解析
【解析】 证明：延长BM 至D ，使DM ＝BM ，连结AD ，
则ΔADM ≌ΔCBM ．
∴AD ＝BC ， ∠D ＝∠CBM ．
∵AH 是ΔABC 最大的高，又三角形的一边与这条边上的高的乘积是定值， ∴BC 是ΔABC 最小的边． ∴BC≤AB ，AD≤AB ．
∴∠CBM ＝∠D≥∠ABM ，
过点M 作MN ⊥BC 于N ，则MN ∥AH ． ∵AH ＝BM ， ∴MN ＝1
2BM ． ∴∠CBM ＝30°．
∵∠B ＝∠ABM ＋∠CBM≤30°＋30°＝60°．
即∠B≤60°（当三角形为等腰三角形时，等号成立）
A
B
C
D
G
【知识点】几何不等式
【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】在ΔABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC 于D ，ΔPQR 是它的任一内接三角形．
求证：PQ ＋QR ＋RP ＞2AD ．
【答案】如下解析
【解析】 证明：作点Q 关于AB 、AC 的对称点Q '、Q "，连PQ '，RQ "，AQ ，AQ '，AQ "．
显然，PQ '＝PQ ，RQ "＝RQ ，AQ '＝AQ ＝AQ "．
∠Q 'AB ＝∠QAB ，∠Q "AC ＝∠QAC ， 而∠BAC ＝∠BAQ ＋∠CAQ ＝90°， ∴∠Q 'AQ "＝2∠BAC ＝180°．
即Q '、A 、Q "三点在一条直线上．
∴PQ ＋QR ＋RP ＝Q 'P ＋PR ＋RQ "≥Q 'Q "＝2AQ ． ∵AD ⊥BC ， ∴AQ ≥AD ．
故PQ ＋QR ＋RP ＞2AD ．
D
N
M
H
A
B
A B
C
D
P
R
Q
【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】2×3的矩形内放入两个与此矩形相似的互不重叠的小矩形．且每个矩形的边与大矩形的边平行，求两个矩形周长之和的最大值． 【答案】40
3
【解析】 解：这两个小矩形可以都竖放，或都横放，或一横一竖放．
（1）都竖放：宽＝2×23＝43，两个矩形周长＝8＋163＝40
3．（图1） （2）都横放，一个在另一个上面：设一个矩形的宽为x ，
另一个为2－x ，则周长＝2(x ＋2－x )＋2×3
2×2＝10．（图2） 都横放，并排放置：周长＝3×2＋2×2＝10，（图3） （3）一横放一竖放，左边一个宽x ，右边一个长y ，
则x ＋y ≤3，32x ≤2，2
3y ≤2．
周长＝2(52x ＋53y )＝2×53(x ＋y )＋2×56x ≤12＋2
9．（图4） 即最大值为403．
【知识点】几何不等式
【适用场合】当堂例题 【难度系数】5
A
C
D
P
R
Q
"
Q '
图2
图3
图4
图1
【试题来源】
【题目】试证：锐角三角形的内接三角形中，以垂足三角形的周长最小 【答案】如下解析
【解析】 证明：1︒ 先在BC 上任取一点D ，固定D ，求出以D 为一个顶点⊿ABC 的内接三角形
中周长最小者．
作D 关于AB 、AC 的对称点D ’、D”，连D’D”交AB 、AC 于点F 、E ，连DF 、D’F ，DE 、D”E ，对于任一以DD 一个顶点的⊿ABC 的内接三角形XPQ ，连QD’、QD ，PD ”、PD ， 于是可证DE +EF +FD ＝D’D”≤D’Q +QP +PD”＝DQ +QP +PD ． 即⊿DEF 为固定点D 后周长最小的内接三角形．
2︒ 当点D 的BC 上运动时，对每一点D ，都作出1︒中得出的周长最小三角形，再求这些三角形的周长最小值．
连AD 、AD’、AD ”，则AD ＝AD’＝AD ”，且∠D’AB ＝∠DAB ，∠D”AC ＝∠DAC ， 于是∠D’AD”＝2∠A ． 所以D’D”＝2AD sin A ．
当点D 在BC 上运动时，以点D 为BC 边上高的垂足时AD 最小．
3︒ 说明此时的最小三角形就是⊿ABC 的垂足三角形．由于D 为BC 边上的垂足． 对于垂足三角形DEF ，由∠DEC ＝∠AEF ，而∠DEC ＝∠CED"， 故点E 在D’D”上，
同理，F 在D’D”上，即⊿DEF 为所求得的周长最小三角形．
【知识点】几何不等式 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】5
习题演练
A
B
C
D
D'
D"
E F
A
B
C
D
D'
D"
E
F
A B
C
D
D'
D"
E F P Q
【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，E、F分别在AB、AC上且AE=CF．求证：EF≥BC．
【答案】如下解析
【解析】证明：过E作ED平行且等于BC，连接DF，DC（如图），
∴BCDE是平行四边形，
∴DC平行且等于BE，
∴∠1=∠A，
∵AB=AC，AE=FC，
∴BE=AF=DC，
∴△AEF≌△CFD，
∴EF=DF，
在△EFD中，EF+DF＞DE，
∴2EF＞BC，即EF＞BC，
当E、F为AB、AC中点时，EF=BC，
∴EF≥BC．
【知识点】几何不等式
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【题目】如图，在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且2b＜a+c，求证：2∠B＜∠A+∠C．
【答案】如下解析
【解析】证明：延长BA到D，使AD=BC=a，延长BC到E，
使CE=AB=c，连接DE，
这就把图形补成一个等腰三角形，即有BD=BE=a+c，
∴∠BDE=∠BED，
作DF∥AC，CF∥AD，相交于F，连接EF，
则ADFC是平行四边形．
∴CF=AD=BC，
又∠FCE=∠CBA，
∴△FCE≌△CBA
∴EF=AC，
于是DE≤DF+EF=2b＜a+c=BD=BE．
这样，在△BDE中，便有∠B＜∠BDE=∠BED
∴∠2B＜∠BDE+∠BED=180°一∠B=∠A+∠C，
即2∠B＜∠A+∠C．
【知识点】几何不等式
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】过三角形的重心任作一直线，把这个三角形分成两部分，求证：这两部分面积之差不大于整个三角形面积的．
【答案】如下解析
【解析】证明：设△ABC重心为G，
过点G分别作各边的平行线与各边交点依次为A1、B1、B2、C1、C2、A2
连接A1A2；B1B2、C1C2，
∵三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的二倍，
∴A1A=A1B l=B1B，BB2=B2C l=C1C，CC2=C2A2=A2A，
∵A1A2∥BC，B1B2∥AC，C1C2∥AB，
∴图中的9个三角形全等．
即△AA1A2≌△A1B1G≌△B2GB1≌△C2C l C、
所以上述9个小三角形的面积均等于△ABC面积的．
若过点C作的直线恰好与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，则△ABC被分成的两部分的面积之差等于一个小三角形的面积，即等于△ABC面积的．
若过点C作的直线不与直线A1C1、B1C2、B2A2重合，不失一般性，设此直线交AC于F，交AB于E，交C1C2于D，
∵GB l=GC2，∠EB1G=∠DC2C，∠B1GE=∠C2GD，
∴△B1GE≌△C2GD、
∴EF分△ABC成两部分的面积之差等于，
而这个差的绝对值不会超过S△C1C2C的面积．
从而EF分△ABC成两部分的面积之差不大于△ABC面积的．
综上所述：过三角形重心的任一直线分三角形成两部分的面积之差不大于整个三角形面积的．
【知识点】几何不等式
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB上，求证：．
【答案】如下解析
【解析】证明：作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，
∴RH∥CL，
∴，
则==，
不妨设△ABC的周长为1，则PQ=，AB＜，
∴．
∵AP≤AP+BQ=AB﹣PQ＜，
∴AR=﹣AP＞﹣，
又AC＜，从而，
∴，
∴＞．
【知识点】几何不等式
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】4。