2013年高考数学 热点专题专练 9-23函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 理

高考专题训练(二十三函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题
时间：45分钟 分值：72分
1．(12分)已知以1为首项的数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a n ＋1 n 为奇数a n
2
n 为偶数.
(1)写出a 2，a 3，a 4，并求{a n }的通项公式；
(2)设数列{a n }前n 项的和为S n ，求数列{S n }前n 项的和T n . 解 (1)a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2， a n ＝
3＋－1
n
2
(n ∈N *
)．
(2)由(1)知S n ＝3n 2＋1
2·
－1[1－－1
n
]2
＝3n 2－14＋14
(－1)n
， ∴T n ＝32·n n ＋12－14n ＋14·
－1[1－－1n
]2＝34n 2＋12n ＋18·(－1)n
－18
. 2．(12分)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；
(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．
分析 对于第(1)问可列方程求出数列的首项和公差；对于第(2)问则要运用分类讨论结合前n 项求和公式进行求解．
解 设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋，a 3＝a 1＋2d ，由题意得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
3a 1＋3d ＝－3，
a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8.
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝2，
d ＝－3，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－4，
d ＝3.
所以由等差数列通项公式可得
a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5，或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.
故a n ＝－3n ＋5，或a n ＝3n －7.
(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．
故|a n |＝|3n －7|＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
－3n ＋7，n ＝1，2，
3n －7，n ≥3.
记数列{|a n |}的前n 项和为S n .
当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5； 当n ≥3时，
S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋
n －2[2＋3n －7]2＝3
2n 2
－112
n ＋10.当n ＝2时，满足此式． 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
4，n ＝1，32
n 2－11
2n ＋10，n >1.
3．(12分)(2011·某某卷)已知a >0，函数f (x )＝ln x －ax 2
，x >0.(f (x )的图象连续不断) (1)求f (x )的单调区间；
(2)当a ＝18时，证明：存在x 0∈(2，＋∞)，使f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32； (3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β －α≥1，使f (α)＝f (β)，证明：
ln3－ln2
5≤a ≤ln23
.
分析 本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力、分类讨论的思想、分析解决问题的能力．
解 (1)f ′(x )＝1x －2ax ＝1－2ax 2
x ，x ∈(0，＋∞)．令f ′(x )＝0，解得x ＝2a
2a .
当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：
x ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，2a 2a
2a
2a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a 2a ，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － f (x )
↗
极大值
↘
所以，f (x )的单调递增区间是 ⎛
⎪⎫0，
2a ，f (x )的单调递减区间是 ⎛⎪⎫2a ，＋∞. (2)证明：当a ＝18时，f (x )＝ln x －18x 2
，由(1)知f (x )在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)
内单调递减．
令g (x )＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32.由于f (x )在(0,2)内单调递增， 故f (2)>f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，即g (2)>0. 取x ′＝32e>2，则g (x ′)＝41－9e
2
32
<0.
所以存在x 0∈(2，x ′)，使g (x 0)＝0，即存在x 0∈(2，＋∞)，使f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32.(说明：x ′
的取法不唯一，只要满足x ′>2，且g (x ′)<0即可．)
(3)证明：由f (α)＝f (β)及(1)的结论知α<
2a
2a
<β，从而f (x )在[α，β]上的最小值为f (α)，又由β－α≥1，α，β∈[1,3]，知1≤α≤2≤β≤3.
故⎩
⎪⎨⎪⎧
f 2≥f α≥f 1，f 2≥f β≥f 3.
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
ln2－4a ≥－a ，
ln2－4a ≥ln3－9a .
从而ln3－ln25≤a ≤ln2
3
.
4．(12分)(2012·某某)已知椭圆C 1：x 2
4＋y 2
＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有
相同的离心率．
(1)求椭圆C 2的方程；
(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →
＝2OA →
，求直线AB 的方程． 分析 (1)利用圆锥曲线的性质，用待定系数法求曲线方程；(2)求出直线与两曲线交点
的横坐标，用斜率k 表示；(3)利用向量OB →
＝2OA →
，得出A ，B 两点的坐标关系，得出关于斜率
k 的方程，从而求解．
解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2
4
＝1(a >2)，
其离心率为32，故a 2
－4a ＝3
2，则a ＝4，
故椭圆C 2的方程为y 216＋x 2
4
＝1.
(2)解法一：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →
＝2OA →
及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为
y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 2
4＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2
A ＝41＋4k 2.
将y ＝kx 代入y 216＋x 2
4＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2
B ＝164＋k
2.
又由OB →
＝2OA →
，得x 2
B ＝4x 2
A ，即
164＋k 2＝16
1＋4k
2， 解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x . 解法二：A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )， 由OB →
＝2OA →
及(1)知，O ，A ，B ，三点共线且点A ，B 不在y 轴上， 因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .
将y ＝kx 代入x 2
4＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2
A ＝41＋4k
2.
由OB →＝2OA →
，得x 2
B ＝161＋4k 2，y 2
B ＝16k 2
1＋4k
2，
将x 2
B ，y 2
B 代入y 216＋x 2
4＝1中，得4＋k 2
1＋4k
2＝1，即4＋k 2＝1＋4k 2
，
解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .
5．(12分)(2012·某某模拟)已知点P n (a n ，b n )(n ∈N *
)满足a n ＋1＝a n b n ＋1，b n ＋1＝b n
1－4a 2n
，且
点P 1的坐标为(1，－1)．
(1)求经过点P 1，P 2的直线l 的方程；
(2)已知点P n (a n ，b n )(n ∈N *
)在P 1，P 2两点确定的直线l 上，求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是等差数列；
(3)在(2)的条件下，求对于所有n ∈N *
，能使不等式(1＋a 1)(1＋a 2) (1)
a n )≥k
1
b 2b 3…b n ＋1
成立的最大实数k 的值．
解 (1)因为a 1＝1，b 1＝－1，所以b 2＝
b 1
1－4a 2
1
＝13，故a 2＝a 1b 2＝13，所以P 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，13，
所以过点P 1，P 2的直线l 的方程为2x ＋y －1＝0.
(2)由(1)知，因为P n (a n ，b n )在直线l 上，所以2a n ＋b n ＝1， 所以b n ＋1＝1－2a n ＋1，由a n ＋1＝a n b n ＋1得a n ＋1＝a n (1－2a n ＋1)， 即a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1，
所以1a n ＋1－1
a n ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a n 是公差为2的等差数列．
(3)由(2)得1a n ＝1a 1＋2(n －1)＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝12n －1，b n ＝1－2a n ＝2n －32n －1.
依题意得k ≤(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )b 2b 3…b n ＋1恒成立，设F (n )＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )b 2b 3…b n ＋1，
所以
只
需
满足
k ≤[F (n )]min
即可，因为
F n ＋1
F n
＝
1＋a 1
1＋a 2…1＋a n
1＋a n ＋1
b 2b 3…b n ＋21＋a 1
1＋a 2…1＋a n
b 2b 3…b n ＋1＝(1＋a n ＋1)b n ＋2＝2n ＋2
2n ＋12n ＋3
＝
4n 2
＋8n ＋4
4n 2
＋8n ＋3
>1， 所以F (n )(n ∈N *
)为增函数，所以[F (n )]min ＝F (1)＝2
3
＝233，即k ≤233，
所以满足题意的实数k 的最大值为23
3
.
6．(12分)(2012·某某)若函数h (x )满足 ①h (0)＝1，h (1)＝0；
②对任意a ∈[0,1]，有h (h (a ))＝a ； ③在(0,1)上单调递减．
则称h (x )为补函数．已知函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－x p
1＋λx p 1p
(λ>－1，p >0)．
(1)判断函数h (x )是否为补函数，并证明你的结论；
(2)若存在m ∈[0,1]，使h (m )＝m ，称m 是函数h (x )的中介元．记p ＝1
n
(n ∈N ＋)时h (x )
的中介元为x n ，且S n ＝x i ，若对任意的n∈N ＋，都有S n <1
2
，求λ的取值X 围；
(3)当λ＝0，x ∈(0,1)时，函数y ＝h (x )的图象总在直线y ＝1－x 的上方，求p 的取值X 围．
分析 第(1)问前两个条件代入验证就可以了，第三个条件需要转化为原函数h (x )的p 次方，再对其求导，即可证；第(2)问根据已知条件先求数列的通项公式和求和公式，再解不等式；第(3)问，先转化为恒成立问题，再由导数解答．
解 (1)函数h (x )是补函数，证明如下： ①h (0)＝⎝
⎛⎭⎪⎫1－01＋01p ＝1，h (1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－11＋λ1p ＝0；
②对任意a ∈[0,1]，有
h (h (a ))＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝
⎛⎭⎪⎫1－a p
1＋λa p 1p ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1－a
p
1＋λa p 1＋λ1－a p
1＋λa
p
1p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋λa p
1＋λ1p
＝a ； ③令g (x )＝(h (x ))p
， 有g ′(x )＝－px
p －1
1＋λx p －1－x
p
λpx p －1
1＋λx p 2
＝－p
1＋λx
p －1
1＋λx
p 2
.
因为λ>－1，p >0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，所以函数g (x )在(0,1)上单调递减，故函数h (x )在(0,1)上单调递减．
(2)当p ＝1n (n ∈N ＋)时，由h (x )＝x ，得：λx 2n ＋2x 1
n
－1＝0，(*)
(i)当λ＝0时，中介元x n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n
；
(ii)当λ>－1且λ≠0时，由(*)得x 1
n
＝
11＋λ＋1
∈(0,1)或x 1
n ＝
1
1－1＋λ
∉[0,1]；
得中介元x n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫11＋λ＋1n
.
综合(i)(ii)：对任意的λ>－1，中介元为x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ＋1n
(n ∈N ＋)，于是，当λ>－1
时，
有S n ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫11＋λ＋1i
＝1
1＋λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋λ＋1n <
11＋λ， 当n 无限增大时，⎝
⎛⎭⎪
⎫11＋λ＋1n
无限接近于0，S n 无限接近于11＋λ
，故对任意的n∈N ＋
，S n <12成立等价于11＋λ≤1
2
，即λ∈[3，＋∞)．
(3)当λ＝0时，h (x )＝(1－x p )1
p ，中介元为x p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121p
，
(i)当0<p ≤1时，1p ≥1，中介元为x p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121p ≤1
2
，
所以点(x p ，h (x p ))不在直线y ＝1－x 的上方，不符合条件；
(ii)当p >1时，依题意只需(1－x p )1
p
>1－x 在x ∈(0,1)时恒成立，
也即x p ＋(1－x )p
<1在x ∈(0,1)时恒成立， 设φ(x )＝x p
＋(1－x )p
，x ∈[0,1]，则φ′(x )＝p [x
p －1
－(1－x )
p －1
]，
由φ′(x )＝0得x ＝12，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，φ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，φ′(x )>0， 又因为φ(0)＝φ(1)＝1，所以当x ∈(0,1)时，φ(x )<1恒成立． 综上：p 的取值X 围是(1，＋∞)．。