浅析“数形结合”的数学教育意义

浅析“数形结合”的数学教育意义
山西榆次一中王颖
【关键词】数形结合、数学教学.
【内容摘要】本文从激发学生的学习兴趣、提高学生综合能力以及培养学生情操等方面分析、探讨了“数形结合”在数学教学中的作用.【正文】数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为自己特定的研究对象.也就是说，数学是研究“数”与“形”及其相互关系的一门科学. 华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.”这句话所体现出的辩证唯物主义思想，对数学教学有着很主要的作用.要把数形结合思想贯穿在学习数学过程的始终，是学好数学的关键之一.数与形及其相互关系是数学研究的基本内容.在数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具.数形结合的思想是数学的重要思想之一，它在数学教学中的作用也是非凡的.
1.应用“数形结合”，激发学生的学习兴趣
数学的客观存在的美感，在数与形的结合上表现得十分完美.
例如：（1）在数与形的关系中特别引人注目的著名的“黄金分割率”，它被世人称之为和谐性的最完美的表现.“0.618”被誉为黄金数、神圣的比例.在日常生活中，人们习惯用“黄金分割”——审美的观念看世界.在绘画和建筑艺术中，如达·芬奇的《最后的晚餐》，埃菲尔铁塔等，都用到了“黄金率”，所以，它们才有经久不衰的魅力.
教师在数学教学活动中，要充分运用这些材料，引导学生领略数学的美，使学生对数学产生强烈的情感、浓厚的兴趣和探讨的欲望.诱发学生对数学美的追求心理，从而消除对学习数学感到单调、负担和惧怕的心理，产生对数学学习的兴趣和积极追求的欲望.所以，所学材料或研究对象的生动趣味有助于把学生从“要我学”转变成“我要学”的良好的学习心理，从而有可能获得最佳的教学效果.
2．应用“数形结合”，提高学生的能力
对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，稳定封闭，如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等.右半脑功能则偏听偏重于形象思维，讲究直觉想象，自由发散，如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等.左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达.“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力时，也促进了逻辑思维能力的发展.
2.1“数形结合”有助于对数学知识的记忆
教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，对学生输入的数学信息和映象就更加深刻，在学生的脑海中形成数学的模型，可以形象地帮助学生理解和记忆.
例如：在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的性质，如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等.这样，材料的
组成方式较好，内容的组织结构较严密，记时可以提纲挈领地在大脑中储存，今后可以随时纲举目张地提取，达到良好的记忆效果.
如图1是余弦函数y =cos x 的图
象，由图可知余弦函数的定义域是(－
∞，+∞)，值域是[-1，1]，函数在(2k
π－π，2k π)(k ∈Z)上单调递增，在
(2k π，2k π+π) (k ∈Z)上单调递减，
函数的周期是2π，图象关于y 轴对称，函数是偶函数.当x=2k π(k ∈Z)时，函数取最大值1；当x=(2k+1)π(k ∈Z)时，函数取最小值-1.直线x=k π(k ∈Z)都是图象的对称轴.
又如图2，在复习椭圆的知识点时，可将椭圆的图形以及定义
|PF 1|+|PF 2|=2a,|PF 1|/|PK 1|=|PF 2|/|PK 2|
=e,焦距2c,准线距c a 22，焦准距c b 2，焦半径a+ex,a-ex,近日距a-c,远日距a+c 等都标在图上，椭圆有关的知识一目了然. 2.2 应用“数形结合”，训练学
生数学直觉思维能力
在数学里，存在着大量的直觉
思维.这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论.它具有顿悟、飞跃的特征.用数形结合的方法解题，能最直接揭示问题的本质，直观地看到
问题的结果，只需稍加计算或推导，就能得到确
切的答案.
例1.若复数z 满足|z+i|+|z －i|＝2，则|z+i+1|
的最小值是（ ）
A 1
B 2
C 2
D 5
分析可知，由于|z+i|和|z-i|分别表示复数z
到i 和-i 的距离，且有|z+i|+|z-i|＝2，所以表示复数z 的点的集合是虚轴上点ｉ到-i 之间的线段
（含端点）.另外，|z+i+1|=|z －(－1－i)|为复数z 在
复平面上的对应点到－1－i 的距离，由图3可以看
到，当z=-i 时，|z+i+1|取得最小值1，所以选A.
例2.已知方程|x 2-4x+3|+k=0有四个根,求k 的取
值范围.
如图4，若以代数方法须保证方程x 2-4x+3+k=0
在区间(-∞,1)∪(3,+∞)内有两根，且方程
x 2-4x+3-k=0在区间[1,3] 内有两根.而画出
图2 图3 图4
y=|x 2-4x+3| 和y=-k 的图象后,只须两图象有四个交点即可.即-1<k<0.
2.3 应用“数形结合”，培养学生的发散思维能力
发散思维是从同一来源的材料或同一个问题，探求不同思路和方法的思维过程，其思维方向是从不同角度、不同方面看待同一个问题.在教学中常借助“一题多解”或“一题多变”的形式，突出已知与未知之间的矛盾联系，来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，达到知识融会贯通，发展思维的广阔性和灵活性，激励学生的好奇心和求知欲，提高解决问题的应变能力.
例3.如图
5，已知椭圆192522=+y x 的两焦点为F 1，F 2，点A （1，1），P 为椭圆上任一点，求|PA|+45
|PF 2|的最小值. 分析可知，.离心率e=54,由点P 向椭圆的右准线作垂线，垂足为K ，由椭圆的第二定义
知， 4
5|PF 2|=|PK|，故|PA|+45|PF 2|的最小值为421. 例4.已知实数x 、y 满足x+y =4
小值.
如图6， 将题中x 2+y 2理解为直线到(0, 0)距离平方的最小值,值为8.
2.4 应用“数形结合”维能力
目，让学生去研究，去探讨，去发现地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的
方法.
例5.求函数y =84736
22+-+++x x x x 的最小
值.
若改造为y=4)2(64)3(22+-+++x x 为点(x, 0)至(-3, 8)和(2, 2)距离之和，最小值为55.
例6.函数y=x x cos 2sin 3+-的最大值为最小值为_________.
将之理解为定点(2, 3)与动点(-cosx, 斜率，且不难得出动点(-cosx, sinx)x 2+y 2=1,则只要求出过(2, 3)图5
图7
斜率即可（图8）.
教师要引导学生通过一些典型题目最佳解法的寻求，增强学生的求新、求异意识，激发他们不甘满足，勇于创新的激情.
3.应用“数形结合”，培养学生的良好情操
3.1 树立现代思维意识
3.1.1在数学教育中，通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合起来，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件.
3.1.2在数学教学活动中，通过数与形的结合，能够有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题，可以养成多向性思维的好习惯.
3.1.3在数学教学活动中，教师引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置.运用动态思维方式处理教材、研究问题，能揭示前后知识的联系与变化，培养学生的辩证思维能力，更好地把握事物的本质.
3.2树立辩证唯物主义世界观
客观世界是一个普遍联系的整体，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各种方式相互依赖着，相互制约着，相互作用着.数学自身的发展即揭示出：事物无不处于普遍联系之中.例如，解析几何是由代数和几何，数和形两方面的联系、变化、发展而来的.几何图形的研究，要借助于代数对方程的研究.代数和几何，数和形是对立的，但又是相互联系的，可以互相转化的.当引入坐标后，它们就统一于解析几何中.这样，数学教师就能用鲜活的事例，引导学生用普遍联系的观点、对立统一的观点来全面的认识客观事物的运动、变化、规律，从而对人生观、世界观正处于定型期的中学生以良好的促进作用，帮助他们初步形成辩证唯物主义世界观.。